Re[4]: Девочка Таня и лохотрон - 2 - Этюды для программистов

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>Здравствуйте, baily, Вы писали:

B>>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>>>До этого Вы, кстати, утверждали всегда, что вероятность равна 1/2. Вполне понятная интуиция. После этого стали утверждать, что она "пролетит". А теперь про какие-то сверх малые...

B>>

Не передергивайте. Вы уже в течение этого топика несколько раз изменили условие задачи. Там, где я утверждал про 1/2, на стратегию Тани не было
B>>никаких ограничений.

V>Не правда. Условие все тоже. Вова пишет два числа. Таня выбирает одно наугад и говорит, больше ли второе, или меньше. Все, что написано про F() -- это и есть стратегия Тани как она ведет себя в этом случае.

Мдя! То есть вы полагаете, что от F ничего не зависит? И это есть ваше "решение"? Не затруднит ли вас доказать его корректность? Вы упорно избегаете конкретики.

Здравствуйте, baily, Вы писали:

B>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>>Здравствуйте, baily, Вы писали:

B>>>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>>>>До этого Вы, кстати, утверждали всегда, что вероятность равна 1/2. Вполне понятная интуиция. После этого стали утверждать, что она "пролетит". А теперь про какие-то сверх малые...

B>>>

Не передергивайте. Вы уже в течение этого топика несколько раз изменили условие задачи. Там, где я утверждал про 1/2, на стратегию Тани не было
B>>>никаких ограничений.

V>>Не правда. Условие все тоже. Вова пишет два числа. Таня выбирает одно наугад и говорит, больше ли второе, или меньше. Все, что написано про F() -- это и есть стратегия Тани как она ведет себя в этом случае.

B>Мдя! То есть вы полагаете, что от F ничего не зависит? И это есть ваше "решение"? Не затруднит ли вас доказать его корректность? Вы упорно избегаете конкретики.

От F() зависит то, с какой вероятностью она выигрывает, естественно. Это вопрос колличественный. Вова может называть числа близкие друг к другу, уменьшая вероятность выигрыша.
Качественно же, вероятность выигрыша всегда больше 1/2.
Ну а формулы, я подожду, ибо это простая формула полной вероятности.

Здравствуйте, baily, Вы писали:

B>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>>Где там новое условие задачи? Там то же самое условие. Это скорее уже ответ...

на вопрос, для которого у Вас ответ был 1/2.

B>Ну чтож. Не затрудните ли себя доказательством, что эта ваша стратегия дает ответ? А то вы пока ничего своего так и не привели. То есть вы считаете, что от F ничего не зависит и она может быть любой? Если так, то давайте я предложу вам конкретную F и мы с вами сыграем на деньги, пользуясь данной стратегией? Скажем в каждом туре ставка 100 рублей, пока кто-то не проиграет 10000?

Нет уж, увольте.
По двум причинам.
Первая, нематематическая. Не люблю играть на деньги. Меня больше интересуют качественные результаты, а не количественные.
Вторая, математическая. Допустим, что моя вероятность выигрыша ровно 1/2. По сути, в этом случае то, что я выиграю, это random walk. С вероятностью 1/2 в каждом туре я получаю +1, с вероятностью 1/2 -- -1. Random walk такая хитрая штука, что она запросто уходит на бесконечность, а потому любой границы (например, 10000) достигает без проблем. Так вот, даже если вероятность выигрыша в каждом туре немного больше, чем 1/2, вероятность достижения -10000 по-прежнему очень близка к 1/2. Такая вот особенность random walk. Пусть уж Таня радуется по этому поводу. Я отношусь более скептично.

Я лучше с Вами пивка попью и в гусарика поиграю... на "спички".

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

B>>Мдя! То есть вы полагаете, что от F ничего не зависит? И это есть ваше "решение"? Не затруднит ли вас доказать его корректность? Вы упорно избегаете конкретики.

V>От F() зависит то, с какой вероятностью она выигрывает, естественно. Это вопрос колличественный. Вова может называть числа близкие друг к другу, уменьшая вероятность выигрыша.
V>Качественно же, вероятность выигрыша всегда больше 1/2.
V>Ну а формулы, я подожду, ибо это простая формула полной вероятности.

Дайте определение, что вы подразумеваете под

количественными

качественными

вероятностями. Я не слышал о таком. Я веду речь о вероятности выигрыша в данном конкретном розыгрыше.

Здравствуйте, baily, Вы писали:

B>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

B>>>Мдя! То есть вы полагаете, что от F ничего не зависит? И это есть ваше "решение"? Не затруднит ли вас доказать его корректность? Вы упорно избегаете конкретики.

V>>От F() зависит то, с какой вероятностью она выигрывает, естественно. Это вопрос колличественный. Вова может называть числа близкие друг к другу, уменьшая вероятность выигрыша.
V>>Качественно же, вероятность выигрыша всегда больше 1/2.
V>>Ну а формулы, я подожду, ибо это простая формула полной вероятности.

B>Дайте определение, что вы подразумеваете под

количественными

качественными

вероятностями. Я не слышал о таком. Я веду речь о вероятности выигрыша в данном конкретном розыгрыше.

A-a-a-a-a! Я говорю о количественном или качественном результате, а не о вероятностях.
Результат "вероятность > 1/2 " качественный
Результат "вероятность = 0.753" количественный

Вопрос о том, "честная ли игра" качественный. Вопрос о том, например, в какой степени она честная может быть количественным.

Вот Вам два вопроса и два ответа на них.
1) Зависит ли вероятность выигрыша Тани от того, какие числа написал Вова и от ее функции F()? Ответ: да.
2) Всегда ли она больше 1/2? Ответ: да.

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>Здравствуйте, baily, Вы писали:

B>>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>A-a-a-a-a! Я говорю о количественном или качественном результате, а не о вероятностях.
V>Результат "вероятность > 1/2 " качественный
V>Результат "вероятность = 0.753" количественный

V>Вопрос о том, "честная ли игра" качественный. Вопрос о том, например, в какой степени она честная может быть количественным.

V>Вот Вам два вопроса и два ответа на них.
V>1) Зависит ли вероятность выигрыша Тани от того, какие числа написал Вова и от ее функции F()? Ответ: да.
Согласен

V>2) Всегда ли она больше 1/2? Ответ: да.

Не согласен. В приведенном мной примере, данная вероятность близка к 0, что на "качественном" уровне очевидно

Здравствуйте, baily, Вы писали:

V>>Вот Вам два вопроса и два ответа на них.
V>>1) Зависит ли вероятность выигрыша Тани от того, какие числа написал Вова и от ее функции F()? Ответ: да.
B>Согласен

V>>2) Всегда ли она больше 1/2? Ответ: да.

B>Не согласен. В приведенном мной примере, данная вероятность близка к 0, что на "качественном" уровне очевидно

Нет, она там близка к одной второй, причем больше ее.

Давайте так.
Вова написал два числа a и b.
Вы вытаскиваете одну из бумажек случайно. Видите x, который на самом деле либо a, либо b.
"Бросаете монетку" и с вероятностью F(x) говорите "другое число меньше", а с вероятностью 1-F(x) говорите, "другое число больше".
Какова вероятность того, что Вы угадаете?

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>Извините, если не очень аккуратно выразился, описывая стратению Тани. Она НЕ может говорить "оно больше с вероятностью ...", но она может посмотрев на число "подбросить монетку" и сказать "больше" с некоторой вероятностью, или "меньше" с некоторой вероятностью. Т.е. ответ однозначный, но с какой вероятностью она дает тот или иной ответ -- личное дело Тани.
Понятно, что в вероятностной стратегии ответ однозначный. В такой стратегии:
— сгенерировать число z по распределению F,
— в ответ на вопрос Вовы ответить "больше", если z>x и "меньше", в противном случае
ответ тоже однозначный. Более того — это в точности та самая стратегия, которую предлагаете вы. Просто "подбрасывание монетки" эмулируется генерацией случайного числа.
Так каков ваш ответ на вопросы предыдущего поста?

Здравствуйте, andyJB, Вы писали:

JB>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>>Извините, если не очень аккуратно выразился, описывая стратению Тани. Она НЕ может говорить "оно больше с вероятностью ...", но она может посмотрев на число "подбросить монетку" и сказать "больше" с некоторой вероятностью, или "меньше" с некоторой вероятностью. Т.е. ответ однозначный, но с какой вероятностью она дает тот или иной ответ -- личное дело Тани.
JB>Понятно, что в вероятностной стратегии ответ однозначный. В такой стратегии:
JB> — сгенерировать число z по распределению F,
JB> — в ответ на вопрос Вовы ответить "больше", если z>x и "меньше", в противном случае
JB>ответ тоже однозначный. Более того — это в точности та самая стратегия, которую предлагаете вы. Просто "подбрасывание монетки" эмулируется генерацией случайного числа.
JB>Так каков ваш ответ на вопросы предыдущего поста?

Я запутался там в формулах.
С вероятностью 1/2 она достанет a, с вероятностью 1/2 -- b (a<b). Далее она говорит "другое больше" или "другое меньше" с вероятностями 1-F(x) и F(x), где x -- это то число, которое она достала, либо a, либо b. Она выиграет, если достала a и сказала, что "другое больше", или достала b и сказала, что "другое меньше". По сути это тоже самое, что сгенерить z~F() и сравнить его с тем, что она достала, т.е. с x, как Вы предлагаете. Сути это не меняет.
Есть вполне законченное выражение для того, с какой вероятностью она выиграет. Оно включает a,b и F(). Оно всегда больше 1/2.

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Я запутался там в формулах.
V>С вероятностью 1/2 она достанет a, с вероятностью 1/2 -- b (a<b). Далее она говорит "другое больше" или "другое меньше" с вероятностями 1-F(x) и F(x), где x -- это то число, которое она достала, либо a, либо b. Она выиграет, если достала a и сказала, что "другое больше", или достала b и сказала, что "другое меньше". По сути это тоже самое, что сгенерить z~F() и сравнить его с тем, что она достала, т.е. с x, как Вы предлагаете. Сути это не меняет.
V>Есть вполне законченное выражение для того, с какой вероятностью она выиграет. Оно включает a,b и F(). Оно всегда больше 1/2.
Вы имеете в виду 1/2*(1-F(a)) + 1/2*F(b), которое отличается от 1\2 на 1/2*(F(b)-F(a))?

Здравствуйте, andyJB, Вы писали:

JB>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Я запутался там в формулах.
V>>С вероятностью 1/2 она достанет a, с вероятностью 1/2 -- b (a<b). Далее она говорит "другое больше" или "другое меньше" с вероятностями 1-F(x) и F(x), где x -- это то число, которое она достала, либо a, либо b. Она выиграет, если достала a и сказала, что "другое больше", или достала b и сказала, что "другое меньше". По сути это тоже самое, что сгенерить z~F() и сравнить его с тем, что она достала, т.е. с x, как Вы предлагаете. Сути это не меняет.
V>>Есть вполне законченное выражение для того, с какой вероятностью она выиграет. Оно включает a,b и F(). Оно всегда больше 1/2.
JB>Вы имеете в виду 1/2*(1-F(a)) + 1/2*F(b), которое отличается от 1\2 на 1/2*(F(b)-F(a))?

Да, именно это и имелось в виду. Честно говоря, я полагал, что это известная задачка, а потому труда не вызовет. Я нашел ее в сборнике "классических вероятностных приколов". Видимо, не такой уж классический сборник был.

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>>>Есть вполне законченное выражение для того, с какой вероятностью она выиграет. Оно включает a,b и F(). Оно всегда больше 1/2.
JB>>Вы имеете в виду 1/2*(1-F(a)) + 1/2*F(b), которое отличается от 1\2 на 1/2*(F(b)-F(a))?

V>Да, именно это и имелось в виду. Честно говоря, я полагал, что это известная задачка, а потому труда не вызовет. Я нашел ее в сборнике "классических вероятностных приколов". Видимо, не такой уж классический сборник был.

Посыпаю голову пеплом

Что то интуиция меня подвела. Действительно, так и есть и все просто. При конкретных числах, полученных у Вовы, имеем вероятность выигрыша Тани S(a,b) = 1/2*(1-F(a)) + 1/2*F(b). Пусть теперь Вова генерит числа случайной функцией, с распределением G. Пусть P(a,b) — вероятность того, что было сгенерированы числа (a,b). Тогда вероятность выигрыша Тани до того моммента, как Вова сгенерил числа равна

P = сумма по всем (a,b) чисел S(a,b)*P(a,b)

Но, так как S(a,b) >= 1/2 для всех (a,b), то

P >= 1/2*(сумма по всем (a,b) P(a,b)) = 1/2

Интересно подумать только, как Вова и Таня должны выбирать свои функции F и G, чтобы улучшить свою ситуацию. Ясно, что худший вариант для Тани, если F тождественна равна 0 или 1, то есть когда она говорит всегда ответ меньше или больше, независимо от того, какое число она видит при открытии. И даже в этом случае у нее вероятность выигрыша 1/2!

Здравствуйте, baily, Вы писали:

B>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>>>>Есть вполне законченное выражение для того, с какой вероятностью она выиграет. Оно включает a,b и F(). Оно всегда больше 1/2.
JB>>>Вы имеете в виду 1/2*(1-F(a)) + 1/2*F(b), которое отличается от 1\2 на 1/2*(F(b)-F(a))?

V>>Да, именно это и имелось в виду. Честно говоря, я полагал, что это известная задачка, а потому труда не вызовет. Я нашел ее в сборнике "классических вероятностных приколов". Видимо, не такой уж классический сборник был.

B>Посыпаю голову пеплом

А результат действительно странный, если так подумать.
Два различых числа, с равной вероятностью выбираем любое из них, ситуация абсолютно симметричная. Но при этом, больше ли второе число угадываем почему-то с вероятностью больше 1/2.

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Да, именно это и имелось в виду. Честно говоря, я полагал, что это известная задачка, а потому труда не вызовет. Я нашел ее в сборнике "классических вероятностных приколов". Видимо, не такой уж классический сборник был.

Спасибо за задачу. Весьма интересная. Тем не менее, я не согласен с Вашим мнением, что если Вовины случайные числа распределены "псевдоравномерно" на Z или R, вероятность выигрыша Тани стремится к 1. Наоборот, для такого распределения разность F(b)-F(a) (a<b) для любых a и b будет стремиться к нулю, а вероятность выигрыша Тани — к 1/2.

Здравствуйте, Mr.Cat, Вы писали:

MC>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Да, именно это и имелось в виду. Честно говоря, я полагал, что это известная задачка, а потому труда не вызовет. Я нашел ее в сборнике "классических вероятностных приколов". Видимо, не такой уж классический сборник был.

MC>Спасибо за задачу. Весьма интересная. Тем не менее, я не согласен с Вашим мнением, что если Вовины случайные числа распределены "псевдоравномерно" на Z или R, вероятность выигрыша Тани стремится к 1. Наоборот, для такого распределения разность F(b)-F(a) (a<b) для любых a и b будет стремиться к нулю, а вероятность выигрыша Тани — к 1/2.

Тонкий вопрос. Равномерного как такового на R нет. Но можно симулировать каким-нибудь пределом.

Например, пусть Вова генерит свои два числа случайно и равномерно на [-k,k]. Берем выборку из двух элементов. Какова вероятность, что разница между a и b меньше, чем x? (x/k)-(x/2k)^2. Какова вероятность, что |b-a|>sqrt(k), например. 1-(sqrt(k)-1/4)/k->1. Т.е. с вероятностью, стремящейся к единице, a и b разъезжаются, на разные бесконечности (в силу симметрии). F(b)->1, F(a)->0.

Вове наоборот надо стремиться назвать a и b как можно ближе.

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>Здравствуйте, Mr.Cat, Вы писали:

V>Тонкий вопрос. Равномерного как такового на R нет. Но можно симулировать каким-нибудь пределом.

V>Например, пусть Вова генерит свои два числа случайно и равномерно на [-k,k]. Берем выборку из двух элементов. Какова вероятность, что разница между a и b меньше, чем x? (x/k)-(x/2k)^2. Какова вероятность, что |b-a|>sqrt(k), например. 1-(sqrt(k)-1/4)/k->1. Т.е. с вероятностью, стремящейся к единице, a и b разъезжаются, на разные бесконечности (в силу симметрии). F(b)->1, F(a)->0.

V>Вове наоборот надо стремиться назвать a и b как можно ближе.
Если у Тани F фиксирована, то Вове можно стремиться либо ближе, либо дальше, чтобы минимизировать вероятность своего проигрыша до 1/2

Вопрос действительно тонкий. Обозначим через R(k) — функцию равномерного распределения на [-k,k]
Пусть Вова генерит числа с функцией распределения G, а Таня использует F. Обозначим P(F,G) вероятность выигрыша Тани при таком раскладе
Получаем следующие факты
1) Равномерного распределения на R нет. R(k) не сходятся при k стремящемся к бесконечности
2) Если у Тани фиксирована функция F, Вова использует G = R(k) и устремит k либо к бесконечности, либо к 0, то шансы его проигрыша устремляются к 1/2.
3) Если Таня, тоже будет использовать F = R(k), а у Вова фиксированная G, то существует k, такое что P(R(k), G) достигает максимума

Получаем на мой взгляд интересную задачу. Ясно, что inf( P(F,G) ) = 1/2, где inf берется по всем F и G — это мы уже показали. Но у меня родилась гипотеза, что sup( P(F,G) ) < 1. Иными словами, как бы плохо Вова не выбирал свою функцию распределения, а Таня не выбирала хорошо, то не получится так, что Таня выигрывает с вероятностью, сколь угодно близкой к 1. Было бы интересно найти этот sup.

Здравствуйте, baily, Вы писали:
B>Получаем на мой взгляд интересную задачу. Ясно, что inf( P(F,G) ) = 1/2, где inf берется по всем F и G — это мы уже показали. Но у меня родилась гипотеза, что sup( P(F,G) ) < 1. Иными словами, как бы плохо Вова не выбирал свою функцию распределения, а Таня не выбирала хорошо, то не получится так, что Таня выигрывает с вероятностью, сколь угодно близкой к 1. Было бы интересно найти этот sup.
Почему бы Тане не использовать R(-1,1), а Вове загадывать всегда -1 и 1 (т.е. функция распределения — две ступеньки)? Тогда Таня будет выигрывать с вероятностью 1.

Здравствуйте, andyJB, Вы писали:

JB>Здравствуйте, baily, Вы писали:
B>>Получаем на мой взгляд интересную задачу. Ясно, что inf( P(F,G) ) = 1/2, где inf берется по всем F и G — это мы уже показали. Но у меня родилась гипотеза, что sup( P(F,G) ) < 1. Иными словами, как бы плохо Вова не выбирал свою функцию распределения, а Таня не выбирала хорошо, то не получится так, что Таня выигрывает с вероятностью, сколь угодно близкой к 1. Было бы интересно найти этот sup.
JB>Почему бы Тане не использовать R(-1,1), а Вове загадывать всегда -1 и 1 (т.е. функция распределения — две ступеньки)? Тогда Таня будет выигрывать с вероятностью 1.

Наложим дополнительное условие, что функция G не должна иметь разрывов, или, даже , что она всюду дифференциреума на R, то есть имеется функция плотности

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>Тонкий вопрос. Равномерного как такового на R нет. Но можно симулировать каким-нибудь пределом.
V>Например, пусть Вова генерит свои два числа случайно и равномерно на [-k,k]. Берем выборку из двух элементов. Какова вероятность, что разница между a и b меньше, чем x? (x/k)-(x/2k)^2. Какова вероятность, что |b-a|>sqrt(k), например. 1-(sqrt(k)-1/4)/k->1. Т.е. с вероятностью, стремящейся к единице, a и b разъезжаются, на разные бесконечности (в силу симметрии). F(b)->1, F(a)->0.
V>Вове наоборот надо стремиться назвать a и b как можно ближе.

Я Вам не поверил

и написал такую вот программу , чтобы прикинуть lim(F(b)-F(a)):

from math import fabs
from random import random, seed

def F(hi, x):
    'Функция распределения равномерно распределенной на интервале [-hi, hi] случайной величины'
    return (x + hi) / (2*hi)

if __name__ == '__main__':
    seed()
    n = 1000 #Число измерений для определения среднего |F(b)-F(a)|
    hi = 2 #Величина полуинтервала
    for i in range(200):
        s = 0
        for j in range(n):            
            a = 2 * (random() - 1) * hi
            b = 2 * (random() - 1) * hi
            s += fabs(F(hi, a) - F(hi, b))
            
        print '[-2^%d, 2^%d]: avg F(b)-F(a) = %f' % (i+1, i+1, s/n)
        hi *= 2

Результат — lim|F(b)-F(a)| ~= 0.33. Неужели так и должно быть? Может, я наглючил где?

Здравствуйте, Mr.Cat, Вы писали:

MC>Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:
V>>Тонкий вопрос. Равномерного как такового на R нет. Но можно симулировать каким-нибудь пределом.
V>>Например, пусть Вова генерит свои два числа случайно и равномерно на [-k,k]. Берем выборку из двух элементов. Какова вероятность, что разница между a и b меньше, чем x? (x/k)-(x/2k)^2. Какова вероятность, что |b-a|>sqrt(k), например. 1-(sqrt(k)-1/4)/k->1. Т.е. с вероятностью, стремящейся к единице, a и b разъезжаются, на разные бесконечности (в силу симметрии). F(b)->1, F(a)->0.
V>>Вове наоборот надо стремиться назвать a и b как можно ближе.

MC>Я Вам не поверил

и написал такую вот программу , чтобы прикинуть lim(F(b)-F(a)):
MC>

MC>from math import fabs
MC>from random import random, seed

MC>def F(hi, x):
MC>    'Функция распределения равномерно распределенной на интервале [-hi, hi] случайной величины'
MC>    return (x + hi) / (2*hi)

MC>if __name__ == '__main__':
MC>    seed()
MC>    n = 1000 #Число измерений для определения среднего |F(b)-F(a)|
MC>    hi = 2 #Величина полуинтервала
MC>    for i in range(200):
MC>        s = 0
MC>        for j in range(n):            
MC>            a = 2 * (random() - 1) * hi
MC>            b = 2 * (random() - 1) * hi
MC>            s += fabs(F(hi, a) - F(hi, b))
            
MC>        print '[-2^%d, 2^%d]: avg F(b)-F(a) = %f' % (i+1, i+1, s/n)
MC>        hi *= 2
MC>

MC>Результат — lim|F(b)-F(a)| ~= 0.33. Неужели так и должно быть? Может, я наглючил где?

И правильно сделали. А я сам себе не поверил, и вот почему: я сделал "прыжок" в рассуждениях, я пока лишь показал, что вероятность того, что |b-a|>sqrt(k) стремится к 1. Однако, может так случиться, что многие, например, половина, из этих a и b, отстоящих более, чем на sqrt(k), лежат по одну сторону, например, от 0, т.е. F(b)-F(a) будет для них заведомо меньше 1/2.

Надо сразу говорить о распределении (F(a),F(b)).
Чтобы было проще, посмотрим на рапределение F(x2)-F(x1), а не |F(b)-F(a)|. Ясно, что распределение F(x2)-F(x1) симметрично относительно 0, а потому распределение модуля легко получить из распределения без модуля (для положительных значений плотность умножим на 2, а для отрицательных она станет 0).

Зафиксируем x1. Тогда Pr{F(x2)-F(x1)<s}=Pr{F(x2)<F(x1)+s}=Pr{x2<Finv(F(x1)+s)}=(Finv(F(x1)+s)+k)/2k для F(-k)-F(x1) < s < F(k)-F(x1).
Теперь, если не фиксировать x1, s>0, то Pr{F(x2)-F(x1)<s} = int[x1=-k,Finv(F(k)-s)]{Finv(F(x1)+s)+k}/2kdx1/2k+int[x1=Finv(F(k)-s),k]{1}dx1/2k = int[x1=-k,Finv(F(k)-s)]{Finv(F(x1)+s)+k}dx1/2k+(k-Finv(F(k)-s))/2k

Допустим, что Таня не фиксирует F, а для простоты рассуждений пользуется также функцией равномерного распределения на [-k,k] (так интеграл легче брать, можно, конечно, какую-нибудь фиксированную функцию распределения взять, но влом нелинейные интегралы считать).
F(x) = (x+k)/2k для -k<x<k
Finv(y) = 2ky-k

Pr{F(x2)-F(x1)<s} = (1+2s-s^2)/2.

Не зависит от k!

Т.е. в этом случае ничто никуда не стремится! Это было для положительных s. Поэтому получилось Pr{F(x2)-F(x1)<0} = 1/2.

Плотность этого распределения равна 1-s, при s>0, т.е. треугольная! Соответственно если мы теперь посмотрим на плотность распределения для |F(x1)-F(x2)|, то она равна 2-2s на [0,1].

Какую среднюю "надбавку" в вероятности над 1/2 следует ожидать Тане? int[s=0,1]{s*(2-2s)}ds=1/3!

Так что, похоже, Ваша программа вполне правильно это показала! Т.е. она в среднем выигрывает с вероятностью 5/6 внезависимости от того, какого размера интервал (однако мы предположили, что она знает его размер и использует F() -- функцию равномерного распределения на [-k,k]).

	От:	baily
	Дата:	06.02.08 15:11
	Оценка:

	От:	vadimcher
	Дата:	06.02.08 15:15
	Оценка:

	От:	vadimcher
	Дата:	06.02.08 15:29
	Оценка:

	От:	baily
	Дата:	06.02.08 16:49
	Оценка:

	От:	vadimcher
	Дата:	06.02.08 16:52
	Оценка:

	От:	andyJB
	Дата:	07.02.08 11:56
	Оценка:	10 (1)

	От:	Mr.Cat
	Дата:	07.02.08 22:38
	Оценка:

	От:	andyJB
	Дата:	08.02.08 17:10
	Оценка:

	От:	Mr.Cat
	Дата:	08.02.08 19:30
	Оценка:	10 (1)