Волшебник-пенсионер владеет удивительными часами, которые позволяют ему путешествовать во времени. У этих часов самые обыкновенные часовая и минутная стрелки. Если поменять эти стрелки местами, то время показываемое часами не всегда будет реально возможным (Например, если замену произвести в 12:00 то полученное время будет возможным: опять 12:00; НО! если замена будет иметь место быть произведённой в 3:00, то получется "время" которое никогда не реализовывается в реальности (проверьте!)). В случае удачного перемещения стрелок, волшебнику открывается временной портал... Сколько всего таких порталов есть в суках?

Здравствуйте, hemmul, Вы писали:

H>Сколько всего таких порталов есть в суках?
23 портала, портал в польносчть считаем 1 раз на сутки — существуют порталы только когда стрелки совпадают. Как нашёл не спрашивайте

Здравствуйте, adontz, Вы писали:

A>Здравствуйте, hemmul, Вы писали:

H>Сколько всего таких порталов есть в суках?
A>23 портала, портал в польносчть считаем 1 раз на сутки — существуют порталы только когда стрелки совпадают. Как нашёл не спрашивайте

Док-во в студию!

Здравствуйте, LCR, Вы писали:

LCR>Док-во в студию!
Взял часы и вертел стрелки

Здравствуйте, adontz, Вы писали:

A>Здравствуйте, LCR, Вы писали:

LCR>Док-во в студию!
A>Взял часы и вертел стрелки

А доказать что в каждом часу есть портал?
Держу пари, на Ваших дискретных часах (там у стрелок зубчатки имеются с конечным числом зубчиков!) порталов кроме как в 12:00 может и не найтись! Тут нужны магические, непрерывные часы!

Здравствуйте, hemmul, Вы писали:

H>А доказать что в каждом часу есть портал?
H>Держу пари, на Ваших дискретных часах (там у стрелок зубчатки имеются с конечным числом зубчиков!) порталов кроме как в 12:00 может и не найтись! Тут нужны магические, непрерывные часы!

Фигурные скобки это дробная часть

если прошло x часов, то

х/12 положение часовой стрелки
{x/12} положение минутной стрелки

Надо найти такое число у,

что у/12 = {x/12} и {y/12}=x/12

Пусть n и m целые части x и y при делении на 12, эти числа меньше 2
Пусть a и b дробные части x и y при делении на 12, эти числа меньше 1

тогда

m + b = a
b = n + a

m = -n или в контексте задачи

n = 0 m = 0
n = 1 m = -1
n = 2 m = -2

Итого имеем уравнения

2 + b = a

1 + b = a

b = a

Учитывая что a и b это дробные части остаёться только

a = b
Или говоря другими словами (как я понял) совпадение стрелок. Таких моментов в сутках 23

Здравствуйте, adontz, Вы писали:

A>Или говоря другими словами (как я понял) совпадение стрелок. Таких моментов в сутках 23

22

Здравствуйте, hemmul, Вы писали:

H>Волшебник-пенсионер владеет удивительными часами, которые позволяют ему путешествовать во времени. У этих часов самые обыкновенные часовая и минутная стрелки. Если поменять эти стрелки местами, то время показываемое часами не всегда будет реально возможным (Например, если замену произвести в 12:00 то полученное время будет возможным: опять 12:00; НО! если замена будет иметь место быть произведённой в 3:00, то получется "время" которое никогда не реализовывается в реальности (проверьте!)). В случае удачного перемещения стрелок, волшебнику открывается временной портал... Сколько всего таких порталов есть в суках?

286

Я приведу решение, которое не является строгим (поскольку основано на рисунках), а скорее -- интуитивным доказательством того, что таких временных порталов в сутках больше чем 22, так как они не ограничиваются теми случаями, когда часовая и минутная стрелки совпадают.

Итак, в качестве единицы измерения положения стрелок для определенности выберем 1 оборот отсчитываемый по направлению движения часовой стрелки. Например, к моменту 3:00 часовая стрелка находится в положении 1/4 оборота, а минутная 0 оборотов, к моменту 21:30 -- часовая (9/12+10/12)/2 = 19/24 оборота, а минутная 1/2 оборота.
Положение обоих стрелок можно задать парой чисел: положение часовой и положение минутной стрелки. Естественно, эту пару чисел можно изобразить точкой на коодинатной плоскости. Геометрическое место точек на координатной плоскости, соответствующее всем реально возможным положениям стрелок выглядит так:

(ГМТ -- красные линии, начало координат в левом нижнем углу, положение минутной стрелки по горизонтали вправо, часовой -- по вертикали вверх, ширина и высота квадрата -- 1 оборот, маленькие квадраты (белые и серые) изображены для удобства и их ширина и высота -- 1/12 оборота)

Теперь, для того, чтобы найти моменты временных порталов, нужно нарисовать такое же ГМТ, но симметричное относительно линии абсциса == ордината, и найти их точки пересечения.

(симметричное ГМТ -- синие линии, точки пересечения -- зеленые)

Из рисунка видно, что в каждом часу (за исключением последнего) в 12-часовом периоде по 12 порталов, в последнем -- 11. Точка (1, 1) является точкой (0, 0) и поэтому не учитывается, так как была учтена раньше.

Итак, всего в 12-часовом периоде 12*12-1 = 143 временных портала. А в сутках -- 2*143 = 286.

--
Дмитрий

Здравствуйте, Дмитро, Вы писали:


Д>286

Д>Я приведу решение, которое не является строгим (поскольку основано на рисунках), а скорее -- интуитивным доказательством того, что таких временных порталов в сутках больше чем 22, так как они не ограничиваются теми случаями, когда часовая и минутная стрелки совпадают.

...

Красивое решение!!!

Здравствуйте, Дмитро, Вы писали:

Д>Итак, всего в 12-часовом периоде 12*12-1 = 143 временных портала. А в сутках -- 2*143 = 286.

Молоток

Я, к моему сожалению, опоздал (у меня примерно то же только формулами)

Здравствуйте, LCR, Вы писали:

LCR>Здравствуйте, Дмитро, Вы писали:

Д>>Итак, всего в 12-часовом периоде 12*12-1 = 143 временных портала. А в сутках -- 2*143 = 286.

LCR>Молоток

LCR>Я, к моему сожалению, опоздал (у меня примерно то же только формулами)

Давай! Хорошо, когда есть несколько разных решений.

"Если у тебя есть яблоко и у меня есть яблоко и мы ими поменяемся, то у каждого останется по яблоку.
Если у тебя есть идея и у меня есть идея, то после обмена у каждого будет уже по две идеи."

Здравствуйте, LCR, Вы писали:

LCR>Я, к моему сожалению, опоздал (у меня примерно то же только формулами)

С формулами лучше. Кстати, кроме строгого доказательства остался открытым вопрос о моментах временных порталов.

--
Дмитрий

Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

M>"Если у тебя есть яблоко и у меня есть яблоко и мы ими поменяемся, то у каждого останется по яблоку.
M>Если у тебя есть идея и у меня есть идея, то после обмена у каждого будет уже по две идеи."

Циферблат будем понимать как полуинтервал T=[0,12).

Пусть x — это положение часовой стрелки, y — это положение минутной стрелки (обе величины \in T). Тогда зависимость y(x) запишется следующим образом.

  y(x) = 12*{x};

где {x} — это дробная часть x.

Что будет обратной функцией к y^{-1}(x)? Обратная функция y(x) — такое число y \in T, что его дробная часть, умноженная на 12 даст x, является, естественно, многозначной функцией, поскольку например для x=6 соответствующие y будут 0.5, 1.5, 2.5 ..., для y \in T. Мы можем выписать каждую ветку такой многозначной функции:

  y(x) = {x/12}
  y(x) = {x/12}+1
  ..
  y(y) = {x/12}+11

"Обмен стрелками" означает переход к обратной функции. Поэтому все точки, удовлетворяющие уравнению

  12*{x} = {x/12};

будут с одной стороны точками прямой функции y(x)=12*{x} (то есть когда стрелки нормальные), а с другой стороны точками обратной функции y(x) = {x/12} (то есть когда стрелки изменены).

Таким образом нам нужно решить 12 уравнений.

  12*{x} = {x/12}
  12*{x} = {x/12}+1
  ..
  12*{x} = {x/12}+11

Все кроме последнего дают 12 точек, последнее 11. Ну и нужно учесть, что сутки равны двум интервалам T.

Осталось заметить, что в картинках Дмитро "более вертикальные" линии — это график y(x), а "более горизонтальные" линии — это ветки графика y^{-1}(x) (поскольку функция многозначная). Короче, ничего нового