Здравствуйте, Apapa, Вы писали:

A>Вот так сидишь, думаешь о чем-то, и всплывают задачки из "прошлой жизни".

A>На сколько частей делит n плоскостей пространство, если каждые 3 из них пересекаются в одной точке, а каждые 4 — нет?

A>Желательно с обоснованием...

Лемма:
Найдем M(n) число областей на плоскости,
на которые она делится n- прямыми, такими что
любые две прямые пересекаются в некоторой точке,
но любые три прямые — нет (не в одной точке).

Тогда добавление прямой на плоскость, увеличит
число бластей, на число старых областей, которые
она пересечет. Но n-я прямая пересечет (n-1) ранее
поставленных прямых, следовательно рассечет n областей.

Отсюда: M(n)=M(n-1)+n, M(1)=2.
Следовательно: M(n)=(n^2+n+2)/2.

Обоснование исходного утверждения:
Пуст K(n) искомое число областей.
Добавление одноной плоскости, увеличит число областей,
на число старых областей, которые она делит.
Но новая плоскость, пересекает все n-1 старых
плоскостей, причем, пряме (пересечения со старыми
плоскостями) подчиняются условиям леммы.
Таким образом : K(n)=K(n-1)+M(n-1), K(1)=2, K(2)=4

Результат:
K(n)=(n^3+3n^2+8n)/6