Поверхность сферы полностью окрашена в 2 цвета: синий и красный.
Докажите, что всегда найдётся равносторонний треугольник вершины
которого лежат на сфере и принадлежат одному и тому же цвету.
(С) Квант.

P.S. Подсказка: "Плоскость окрашена в два цвета. Доказать, что на ней
всегда можно расположить отрезок заданной длины так, чтобы его
концы были одного цвета".

Здравствуйте, hemmul, Вы писали:

H>Поверхность сферы полностью окрашена в 2 цвета: синий и красный.
H>Докажите, что всегда найдётся равносторонний треугольник вершины
H>которого лежат на сфере и принадлежат одному и тому же цвету.

Будем идти от противного, или, как говорил один уважаемый человек, "будем делать как хуже, чтобы было лучше".

На плоскости это выглядит так:

Произвольно выберем точки 1 и 2 (синие).
Треугольники 1-2-3 и 1-2-4... Если 3 или 4 синие, то конец. Пусть они красные.
3-4-5... Если 5 красная, то конец. Пусть она синяя.
2-5-6... 6 красная.
4-6-7... 7 синяя.
1-5-7 -- синий треугольник.


На сфере, скорее всего, тоже получится этот фокус. В римановой геометрии не силен.

Здравствуйте, hemmul, Вы писали:

H>Поверхность сферы полностью окрашена в 2 цвета: синий и красный.
H>Докажите, что всегда найдётся равносторонний треугольник вершины
H>которого лежат на сфере и принадлежат одному и тому же цвету.
H>(С) Квант.

Немного непонятно условие. Сторона треугольника — задана или произвольна?
Если произвольна, то задача нетривиальна, если любые две соседние точки раскрашены в разные цвета.

Иначе, для некоторой точки существует её окрестность радиуса е, закрашенная в тот же цвет. В ней и располагаем треугольник.

H>P.S. Подсказка: "Плоскость окрашена в два цвета. Доказать, что на ней
H>всегда можно расположить отрезок заданной длины так, чтобы его
H>концы были одного цвета".

Если это не так, то для любой окружности заданного радиуса R, цвета самой окружности и её центра должны быть различными. Но тогда выбираем на этой окружности любые две точки на расстоянии R друг от друга.

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>На сфере, скорее всего, тоже получится этот фокус. В римановой геометрии не силен.

На сфере — рассмотрим вписанный в нее икосаэдр.



В произвольном треугольнике, очевидно, две вершины должны быть одного цвета.
Докажем от противного, что есть треугольник, где все три вершины одного цвета.

Пусть две точки (1) — синие.
Как обычно, пойдем от предположения худшего.
Тогда две точки (2) — красные.
Тогда точки (3) — образующие с (2)-(2) большие треугольники — синие.
Тогда точки (4) — образующие с (3)-(3) треугольники — красные.
Оставшиеся точки образуют с (2)-(4) 4 треугольника — синие.
Но они же входят в треугольники с (1)-(3).

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>На сфере — рассмотрим вписанный в нее икосаэдр.

[skipped]

буду краток: