Доказать, что для любой точки внутри выпуклого многогранника найдется грань, такая, что перпендикуляр опущенный из точки на плоскость грани персечет саму грань.
Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
MP>Небольшое обобщение известной задачи.
MP>Доказать, что для любой точки внутри выпуклого многогранника найдется грань, такая, что перпендикуляр опущенный из точки на плоскость грани персечет саму грань.
Пусть A искомая точка, а alpha учол между точкой и стороной перпендикуляр к которой не проходит через саму сторону, но проходит через её продолжение. Очевидно что угол aplha > 90 граудусов. Этот же угол ментше чем угол между сторонами beta, иначе либо точка А не лежит внутри многоугольника, либо он не выпуклый. Рассмотрим вторую сторону и второй угол (beta-alpha).
Есть 2 варианта
Первый, перпендикуляр из точки А пересекает продолженеи снороны снизу
Значит угол alpha — beta > 90 градусов.угол aplha > 90 градусов, но угол beta меньше 180 градусов.
Второй, перпендикуляр из точки А пересекает продолжение стороны сверху.
Одним место чую, что следующая пара вершин подпадёт под первый случай но доказать пока не могу.
Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
MP>Небольшое обобщение известной задачи.
MP>Доказать, что для любой точки внутри выпуклого многогранника найдется грань, такая, что перпендикуляр опущенный из точки на плоскость грани персечет саму грань.
Для каждой грани построим призму (достаточной высоты — чтобы торчала из многогранника ) с этой гранью в качестве основания. Поскольку многогранник выпуклый, то призмы, выходяшие из смежных граней пересекаются, причем имеют общую сторону в основании. Т.о. эти призмы целиком заполняют объем многогранника, а следовательно любая точка врнутри многогранника попадает в одну из призм. Ну а перпендикуляр к основанию этой призмы не может его не пересечь.
Здравствуйте, Bell, Вы писали:
B>Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
MP>>Небольшое обобщение известной задачи.
MP>>Доказать, что для любой точки внутри выпуклого многогранника найдется грань, такая, что перпендикуляр опущенный из точки на плоскость грани персечет саму грань.
B>Для каждой грани построим призму (достаточной высоты — чтобы торчала из многогранника ) с этой гранью в качестве основания. Поскольку многогранник выпуклый, то призмы, выходяшие из смежных граней пересекаются, причем имеют общую сторону в основании. Т.о. эти призмы целиком заполняют объем многогранника, а следовательно любая точка врнутри многогранника попадает в одну из призм. Ну а перпендикуляр к основанию этой призмы не может его не пересечь.
Остаётся только доказать практически очевидную вещь — что призмы
целиком заполняют объем многогранника, что собственно и составляют
саму задачу.
Причём, надо учитывать выпуклость многогранника.
Здравствуйте, Bell, Вы писали:
B>Для каждой грани построим призму (достаточной высоты — чтобы торчала из многогранника ) с этой гранью в качестве основания. Поскольку многогранник выпуклый, то призмы, выходяшие из смежных граней пересекаются, причем имеют общую сторону в основании. Т.о. эти призмы целиком заполняют объем многогранника, а следовательно любая точка врнутри многогранника попадает в одну из призм. Ну а перпендикуляр к основанию этой призмы не может его не пересечь.
Призмы, которые вначале пересекаются, потом расходятся, т.ч., то, что они заполнят весь объем, надо доказывать отдельно.
Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
MP>Небольшое обобщение известной задачи.
MP>Доказать, что для любой точки внутри выпуклого многогранника найдется грань, такая, что перпендикуляр опущенный из точки на плоскость грани персечет саму грань.
Обозначим А точка, внутри многогранника, В — грань, ближайшая
к точке А. Если несколько граней равноудалены от точки А, то
выберем любую из них. Вершины многоугольника В обозначим B1,B2, ... Bn.
Очевидно, B1,B2, ... Bn — выпуклый многоугольник.
Обозначим А', проекцию А на плоскость, грани В.
Пусть А' не принадлежит B1,B2,...Bn , тогда (поскольку B1,B2, ... Bn
выпуклый) существует ребро, грани B: B(к)B(к+1), такое, что
точкка А' лежит по драугуюсторону прямой, проведенной через B(к)B(к+1).
Обозначим С другую (не В) грань нмогогранника, с ребром B(к)B(к+1).
Обозначим А" проекцию А на плоскость грани С.
Обозначим Q точку пересечения AA' и плоскости грани С.
Очевидно AA'>=AQ>AA".
Тогда AA'>AA" , но грань В ближайшая. Противоречие!
Сегодня у нас день, похоже, физический, вот мне задачка и вспомнилась.
Пусть наш многоранник не имеет массы поместим в точку массу m и жестко свяжем ее с многогранником.
Положим эту конструкцию на горизоньальную плоскость на любую грань. Если перпендикуляр из точки не персекает эту грань, то многоугольник начнет катится по плоскости. Т.к. кататься вечно он неможет, то когда-нибудь он останвится на какой-нибудь грани, а в этом случае условие будет выполнено.
Если многоугольник невыпуклый или точка лежит вне его — он может остановиться не прилегая гранью к плоскости.
P.S. Обычно эту задачу формулируют для центра тяжести многоугольника, но я как-то подумал, что мы можем разместить центр тяжести где угодно.
Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
MP>Небольшое обобщение известной задачи.
MP>Доказать, что для любой точки внутри выпуклого многогранника найдется грань, такая, что перпендикуляр опущенный из точки на плоскость грани персечет саму грань.
Назовем нашу внутреннюю точку точкой M.
Из выпуклости многогранника следует, что для любой вершины V нашего многогранника будет выполняться следующее: точка M находится внутри "острого пространственного угла" (забыл правильный термин), образуемого плоскостями, содержащими все грани, сходящиеся в вершине V (*)
Аналогично для любого ребра E нашего многогранника будет выполняться следующее: точка M находится внутри "острого пространственного угла", образуемого двумя плоскостями, содержащими грани, смежные с ребром E (**)
Итак, среди всех точек поверхности многогранника существует точка P, являющаяся ближайшей к нашей точке M.
Может ли точка P являться вершиной нашего многогранника? Нет не может, ибо из (*) следует, что как минимум одна из содержащих эту вершину граней многогранника будет содержать точку P', которая располагается ближе к точке M, чем точка P.
Может ли точка P являться внутренней точкой ребра нашего многогранника? Нет не может, ибо из (**) следует, что как минимум одна из содержащих это ребро граней многогранника будет содержать точку P', которая располагается ближе к точке M, чем точка P.
Следовательно, точка P является внутренней точкой некоторой грани F нашего многогранника. Очевидно, что прямая MP является перпендикуляром к грани F. В противном случае на грани F в окрестности точки P существовала бы точка P', расположенная ближе к точке M, чем точка P.
Все.
Другими словами: если из точки M мы начнем медленно "надувать" сферу с центром в точке M, то в случае выпуклого многогранника эта сфера впервые коснется поверхности многогранника в некотрой внутренней точке некоторой грани. Очевидно, что прямая от M в точку касания будет искомым перпендикуляром.
...
C>Обозначим А точка, внутри многогранника, В — грань, ближайшая C>к точке А. Если несколько граней равноудалены от точки А, то C>выберем любую из них. Вершины многоугольника В обозначим B1,B2, ... Bn. C>Очевидно, B1,B2, ... Bn — выпуклый многоугольник. C>Обозначим А', проекцию А на плоскость, грани В.
C>Пусть А' не принадлежит B1,B2,...Bn , тогда (поскольку B1,B2, ... Bn C>выпуклый) существует ребро, грани B: B(к)B(к+1), такое, что C>точкка А' лежит по драугуюсторону прямой, проведенной через B(к)B(к+1).
C>Обозначим С другую (не В) грань нмогогранника, с ребром B(к)B(к+1). C>Обозначим А" проекцию А на плоскость грани С. C>Обозначим Q точку пересечения AA' и плоскости грани С. C>Очевидно AA'>=AQ>AA".
C>Тогда AA'>AA" , но грань В ближайшая. Противоречие!
А что мешает грани С быть такой же "ближайшей", как и грани С — т.е. они обе равноудалены от точки А?
C>Значит A' принадлежит B1,B2,...Bn.
Физическое доказательство чисто геометрической задачи? :)
...
MP>Пусть наш многоранник не имеет массы поместим в точку массу m и жестко свяжем ее с многогранником.
MP>Положим эту конструкцию на горизоньальную плоскость на любую грань. Если перпендикуляр из точки не персекает эту грань, то многоугольник начнет катится по плоскости. Т.к. кататься вечно он неможет, то когда-нибудь он останвится на какой-нибудь грани, а в этом случае условие будет выполнено.
Почему? Почему он вечно катиться не может?
Из-за закона сохранения энергии? Так ведь, "геометрический" шар на "геометрической" плоскости может вечно катиться! Что ж мешает нашему многограннику?
Если всё же полагать, что многогранник должен остановиться, когда проекция точки на плоскость одной из граней будет лежать внутри грани — так ведь это и надо доказать.
Кроме того, надо ещё
доказать, что во время самого качения, многогранник обязательно придёт к такой грани, а не будет вечно перебирать "неправильные" грани.
Ладно.
АТ>Из выпуклости многогранника следует, что для любой вершины V нашего многогранника будет выполняться следующее: точка M находится внутри "острого пространственного угла" (забыл правильный термин), образуемого плоскостями, содержащими все грани, сходящиеся в вершине V (*)
АТ>Аналогично для любого ребра E нашего многогранника будет выполняться следующее: точка M находится внутри "острого пространственного угла", образуемого двумя плоскостями, содержащими грани, смежные с ребром E (**)
АТ>Итак, среди всех точек поверхности многогранника существует точка P, являющаяся ближайшей к нашей точке M.
АТ>Может ли точка P являться вершиной нашего многогранника? Нет не может, ибо из (*) следует, что как минимум одна из содержащих эту вершину граней многогранника будет содержать точку P', которая располагается ближе к точке M, чем точка P.
Почему? Ведь именно это и надо доказать!
АТ>Может ли точка P являться внутренней точкой ребра нашего многогранника? Нет не может, ибо из (**) следует, что как минимум одна из содержащих это ребро граней многогранника будет содержать точку P', которая располагается ближе к точке M, чем точка P.
Почему? Ведь именно это и надо доказать!
АТ>Следовательно, точка P является внутренней точкой некоторой грани F нашего многогранника. Очевидно, что прямая MP является перпендикуляром к грани F. В противном случае на грани F в окрестности точки P существовала бы точка P', расположенная ближе к точке M, чем точка P.
АТ>Все.
АТ>Другими словами: если из точки M мы начнем медленно "надувать" сферу с центром в точке M, то в случае выпуклого многогранника эта сфера впервые коснется поверхности многогранника в некотрой внутренней точке некоторой грани. ...
Почему? Ведь именно это и надо доказать!
АТ>Очевидно, что прямая от M в точку касания будет искомым перпендикуляром.
Фактически, в задаче как раз и требуется доказать, что медленно "надувающаяся" сфера с центром в точке M впервые коснётся внутренней точки какой либо грани выпуклого многогранника , а не его ребра или вершины.
Пусть сфера впервые касается точки ребра. Тогда это событие, в плоскости перпендикулярной ребру может выглядеть только так:
M>Кроме того, надо ещё M>доказать, что во время самого качения, многогранник обязательно придёт к такой грани, а не будет вечно перебирать "неправильные" грани.
Превратим физическое доказательство в геометрическое.
Докажем от противного.
Предположим, что для любой грани точка пересечения перпендикуляра лежит или на ребре или вне грани.
Возьмем произвольную грань и положим ее на плоскость. При этом предположении перпендикуляр обязательно пресечет плоскость одной из прилегающих граней (как минимум по реберу) в точке лежащей выше плоскости. Т.к. выбранная точка лежит внутри многогранника, и препедикуляр короче любой наклонной линии, то отсюда следует, что перпедикуляр опущенный на эту прилегающую грань будет короче, чем исходный. Следовательно, для любой грани существует прилегающая грань с меньшим расстоянием до ее плоскости из выбранной точки чем до самой грани.
Т.к. граней конечное число, то существует конечная миинимальная разность этих расстояний, обозанчим ее d. Начнем перкатывать многогранник на "уменьшающую" грань, т.к. каждый раз расстояние от точки до плоскости грани уменьшается как минимум на d, через конечное число поворотов, получим, что расстояние до грани меньше нуля, что для выпуклого многогранника является противоречием.
Re[2]: Физическое доказательство чисто геометрической задачи
Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
M>>Кроме того, надо ещё M>>доказать, что во время самого качения, многогранник обязательно придёт к такой грани, а не будет вечно перебирать "неправильные" грани.
MP>Превратим физическое доказательство в геометрическое.
MP>Докажем от противного. MP>Предположим, что для любой грани точка пересечения перпендикуляра лежит или на ребре или вне грани. MP>Возьмем произвольную грань и положим ее на плоскость. При этом предположении перпендикуляр обязательно пресечет плоскость одной из прилегающих граней (как минимум по реберу) в точке лежащей выше плоскости. Т.к. выбранная точка лежит внутри многогранника, и препедикуляр короче любой наклонной линии, то отсюда следует, что перпедикуляр опущенный на эту прилегающую грань будет короче, чем исходный. Следовательно, для любой грани существует прилегающая грань с меньшим расстоянием до ее плоскости из выбранной точки чем до самой грани. MP>Т.к. граней конечное число, то существует конечная миинимальная разность этих расстояний, обозанчим ее d. Начнем перкатывать многогранник на "уменьшающую" грань, т.к. каждый раз расстояние от точки до плоскости грани уменьшается как минимум на d, через конечное число поворотов, получим, что расстояние до грани меньше нуля, что для выпуклого многогранника является противоречием.
Вот теперь верю!
Главное, что здесь явно используется выпуклость многогранника: "перпедикуляр опущенный на эту прилегающую грань будет короче, чем исходный".
Привет, MichaelP!
MP>А теперь (почти) мое решение:
MP>Пусть наш многоранник не имеет массы поместим в точку массу m и жестко свяжем ее с многогранником.
MP>Положим эту конструкцию на горизоньальную плоскость на любую грань. Если перпендикуляр из точки не персекает эту грань, то многоугольник начнет катится по плоскости. Т.к. кататься вечно он неможет, то когда-нибудь он останвится на какой-нибудь грани, а в этом случае условие будет выполнено.
Катиться вечно он может также, как, например, маятник может вечно качаться, если его изначально установить в неравновесное положение. Поэтому нужно кое-что уточнить, чтобы это физическое решение задачи осталось в силе.
Если точка находится не над гранью, на которой стоит выпуклый многогранник, то его, естественно, тянет перевернуться на соседнюю грань. При этом, при перевороте точка с массой приобретает некоторую скорость, поэтому за счет переворота она может стать только ниже (ближе к плоскости) — закон сохранения энергии.
Принудительно остановим многогранник на соседней грани, не дав ему дальше кататься, если он вдруг этого захочет. Мы снова попадаем в начальные условия. Многогранник может либо стоять равновесно (проекция попадает на грань), либо переворачиваться, при этом точка с массой становится ближе к поверхности (из сугубо физических соображений). Второе действительно не может происходить вечно.
MP>Если многоугольник невыпуклый или точка лежит вне его — он может остановиться не прилегая гранью к плоскости.
А здесь есть такие многогранники, что проекции не попадают ни на одну грань?
MP>P.S. Обычно эту задачу формулируют для центра тяжести многоугольника, но я как-то подумал, что мы можем разместить центр тяжести где угодно.
A>Катиться вечно он может также, как, например, маятник может вечно качаться, если его изначально установить в неравновесное положение. Поэтому нужно кое-что уточнить, чтобы это физическое решение задачи осталось в силе.
A>Если точка находится не над гранью, на которой стоит выпуклый многогранник, то его, естественно, тянет перевернуться на соседнюю грань. При этом, при перевороте точка с массой приобретает некоторую скорость, поэтому за счет переворота она может стать только ниже (ближе к плоскости) — закон сохранения энергии.
A>Принудительно остановим многогранник на соседней грани, не дав ему дальше кататься, если он вдруг этого захочет. Мы снова попадаем в начальные условия. Многогранник может либо стоять равновесно (проекция попадает на грань), либо переворачиваться, при этом точка с массой становится ближе к поверхности (из сугубо физических соображений). Второе действительно не может происходить вечно.
mrhru, имхо, чуть более последовательно провел это рассуждение.
MP>Если многоугольник невыпуклый или точка лежит вне его — он может остановиться не прилегая гранью к плоскости.
A>А здесь есть такие многогранники, что проекции не попадают ни на одну грань?
Представим многогранник в виде противотанкового ежа. Т.е. достроим на каждой грани тетраэдра сильно вытянутую пирамиду. Если взять точку в центре этой конструкции, то, похоже, она удовлетворяет этим условиям.
A>Спасибо за задачу!
Спасибо за оценку!
Здравствуйте, Apapa, Вы писали:
MP>>А теперь (почти) мое решение:
MP>>Пусть наш многоранник не имеет массы поместим в точку массу m и жестко свяжем ее с многогранником.
MP>>Положим эту конструкцию на горизоньальную плоскость на любую грань. Если перпендикуляр из точки не персекает эту грань, то многоугольник начнет катится по плоскости. Т.к. кататься вечно он неможет, то когда-нибудь он останвится на какой-нибудь грани, а в этом случае условие будет выполнено.
A>Катиться вечно он может также, как, например, маятник может вечно качаться, если его изначально установить в неравновесное положение. Поэтому нужно кое-что уточнить, чтобы это физическое решение задачи осталось в силе.
A>Если точка находится не над гранью, на которой стоит выпуклый многогранник, то его, естественно, тянет перевернуться на соседнюю грань. При этом, при перевороте точка с массой приобретает некоторую скорость, поэтому за счет переворота она может стать только ниже (ближе к плоскости) — закон сохранения энергии.
A>Принудительно остановим многогранник на соседней грани, не дав ему дальше кататься, если он вдруг этого захочет. Мы снова попадаем в начальные условия. Многогранник может либо стоять равновесно (проекция попадает на грань), либо переворачиваться, при этом точка с массой становится ближе к поверхности (из сугубо физических соображений). Второе действительно не может происходить вечно.
Прошу прощения, не в порядке критики, больше в порядке демагогии
Описаный выше порядок определения грани можно считать вычислением на некотором специализированом вычислителе. Так вот, он справедлив для классической физики (которая ложна).
И не работает в случае квантовой физики , в которой невозможно провести бесконечное число этапов (вычислений) за конечное время.
Рассмотрим выпуклый многогранник в виде горизонтально расположенной призмы.
Наша точка находится вблизи определённой грани В.
Сама призма находится на грани А, не смежной с В.
Между А и Б располагаются грани Сi, причем ширина грани Сi+1 = (Сi)/2.
Таким образом, число граней Сi — счётно. , следовательно приведёное выше "физическое" доказательство для такого многогранника не справедливо.
Привет, MichaelP!
MP>Представим многогранник в виде противотанкового ежа. Т.е. достроим на каждой грани тетраэдра сильно вытянутую пирамиду. Если взять точку в центре этой конструкции, то, похоже, она удовлетворяет этим условиям.
Мне почему-то пришел в голову такой же многогранник — аналог звезды на плоскости.
Привет, mrhru!
M>Прошу прощения, не в порядке критики, больше в порядке демагогии
Я критику уважаю больше, чем демагогию!
M>Описаный выше порядок определения грани можно считать вычислением на некотором специализированом вычислителе. Так вот, он справедлив для классической физики (которая ложна). M>И не работает в случае квантовой физики ,
которая тоже ложна, и
M> в которой невозможно провести бесконечное число этапов (вычислений) за конечное время.
"Физически" было элементарно показано, что от каждой грани, на которую не попадает перпендикуляр можно перейти к грани, которая находится ближе. Просто вездесущий закон сохранения энергии, который справедлив в любой "механике".
M>Рассмотрим выпуклый многогранник в виде горизонтально расположенной призмы. M>Наша точка находится вблизи определённой грани В. M>Сама призма находится на грани А, не смежной с В. M>Между А и Б располагаются грани Сi, причем ширина грани Сi+1 = (Сi)/2. M>Таким образом, число граней Сi — счётно. , следовательно приведёное выше "физическое" доказательство для такого многогранника не справедливо.
Ну если перейти к таким "реалиям", то ты, пожалуй, прав... Многогранники со счетным числом ребер я как-то упустил из виду!
Отлично!
Вот теперь верю! 
Apapa.gif)
