1. A — матрица. A[i,j] = |i-j|. det(A) — ?

2. u >= v >= 0, u^2 + v^2 = 1 => 3f(uv) + 4f(u^2-v^2) = 2uv. f: [0, 1] -> R — ?

Это я решил. Довольно просто.

3. xi — корни многочлена P степени n (все разные), yj — корни P′. Найти сумму 1/(xi — yj).

У меня глюки, или здесь складывается n-1 нулей?

4. Эта задача должна быть проще предыдущих, но с какого конца за нее браться?

A — матрица.

|  Re A  Im A |
| -Im A  Re A | -- ?

Roman Odaisky wrote:
> 4. Эта задача должна быть проще предыдущих, но с какого конца за нее
> браться?
> A — матрица.
> | Re A Im A |
> | -Im A Re A | -- ?
Что тут имеется в виду?

Здравствуйте, Cyberax, Вы писали:

C>Roman Odaisky wrote:
>> 4. Эта задача должна быть проще предыдущих, но с какого конца за нее
>> браться?
>> A — матрица.
>> | Re A Im A |
>> | -Im A Re A | -- ?
C>Что тут имеется в виду?

Ну пусть A = X + iY, где X и Y — квадратные матрицы с действительными коэффициентами. det A известен. Надо найти определитель матрицы вдвое большего порядка, склеенной из X и Y:

|  X Y  |
| -Y X  |

Понятно, что должен получиться |det A|^2, но вот как бы доказать сие?

Здравствуйте, Roman Odaisky, Вы писали:

RO>

1. A — матрица. A[i,j] = |i-j|. det(A) — ?

RO>

2. u >= v >= 0, u^2 + v^2 = 1 => 3f(uv) + 4f(u^2-v^2) = 2uv. f: [0, 1] -> R — ?

RO>Это я решил. Довольно просто.

RO>

3. xi — корни многочлена P степени n (все разные), yj — корни P′. Найти сумму 1/(xi — yj).

RO>У меня глюки, или здесь складывается n-1 нулей?

RO>4. Эта задача должна быть проще предыдущих, но с какого конца за нее браться?
RO>

A — матрица.
RO>

RO>|  Re A  Im A |
RO>| -Im A  Re A | -- ?
RO>

А что это за олимпиада такая? Неужели для школьников?

Roman Odaisky wrote:
> C>Что тут имеется в виду?
> Ну пусть A = X + iY, где X и Y — квадратные матрицы с действительными
> коэффициентами. det A известен.
Ага, понял. Меня просто обозначения смутили.

> Понятно, что должен получиться |det A|^2, но вот как бы доказать сие?
Мне кажется, что можно попробовать использовать определение детерминанта
как суммы произведения всех комбинаций различающихся столбцов и строк.

Еще кажется, что можно попробовать по индукции. Сейчас на бумажке прикину...

On Sat, 12 May 2007 21:54:43 +0600, Roman Odaisky <48787@users.rsdn.ru>
wrote:

>

1. A — матрица. A[i,j] = |i-j|. det(A) — ?

на главной диагонали нули. определитель — ноль.


--
Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/

Здравствуйте, Megabyte, Вы писали:

M>на главной диагонали нули. определитель — ноль.

|0 1|
|1 0| определитель вроде -1 или мы не о том?

Здравствуйте, vadimcher, Вы писали:

V>А что это за олимпиада такая? Неужели для школьников?

Для оверкво^H^Hстудентов-приматов, всеукраинская. Хотя, например, функциональное уравнение такого уровня вполне могло бы быть и на школьной олимпиаде.

Здравствуйте, Roman Odaisky, Вы писали:

RO>

1. A — матрица. A[i,j] = |i-j|. det(A) — ?

Тут надо матрицы порисовать:

           |  0     1     2    ...  (n-1)|
           |  1     0     1    ...  (n-2)|
det(A)= det|  2     1     0    ...  (n-3)|
           |.............................|
           |(n-1) (n-2) (n-3)  ...    0  |

Вычтем из каждой строки предыдущую — в них останутся 1 до диагонали и (-1) на диагонали и дальше. После этого прибавим к каждому столбцу последний.

           |  0     1     2    ...  (n-1)|      | (n-1)   n    (n+1)  ...  (2n-3)|
           |  1    -1    -1    ...   -1  |      |   0    -2     -2    ...    -1  |
det(A)= det|  1     1    -1    ...   -1  | = det|   0     0     -2           -1  | = -(n-1)*(-2)^(n-2).
           |............................ |      |................................|
           |  1     1     1    ...   -1  |      |   0     0      0           -1  |

>4. Эта задача должна быть проще предыдущих, но с какого конца за нее браться?
я бы, помятуя, что определитель матрицы и транспонированной, равны, попровал домножить на транспонированную — авось, чего сократиццо

Здравствуйте, Roman Odaisky, Вы писали:

RO>

3. xi — корни многочлена P степени n (все разные), yj — корни P′. Найти сумму 1/(xi — yj).

RO>У меня глюки, или здесь складывается n-1 нулей?

Да, так и есть. Поскольку P(x)=(x-x1)*(x-x2)*....*(x-xn), то сумма 1/(x-xi) = P'(x)/P(x).
Значит для каждого yj сумма 1/(xi-yj)=P'(yj)/P(yj)=0, а значит и общая сумма тоже.

Здравствуйте, Roman Odaisky, Вы писали:

RO>

A — матрица.
RO>

RO>|  Re A  Im A |
RO>| -Im A  Re A | -- ?
RO>

A=X+iY

| X Y|
|-Y X|

|X+iY Y|
|iX-Y X|

|X+iY Y|
|0 X-iY|

det=det A * det (A_сопряженное)=|det A|^2

On Sun, 13 May 2007 21:27:54 +0600, Aleksey Pashko <57144@users.rsdn.ru>
wrote:

> M>на главной диагонали нули. определитель — ноль.
>
> |0 1|
> |1 0| определитель вроде -1 или мы не о том?

ой. это я не подумал.

--
Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/

On Sun, 13 May 2007 18:17:59 +0600, Roman Odaisky <48787@users.rsdn.ru>
wrote:

>>> 4. Эта задача должна быть проще предыдущих, но с какого конца за нее
>>> браться?
>>> A — матрица.
>>> | Re A Im A |
>>> | -Im A Re A | -- ?
> C>Что тут имеется в виду?
>
> Ну пусть A = X + iY, где X и Y — квадратные матрицы с действительными
> коэффициентами. det A известен. Надо найти определитель матрицы вдвое
> большего порядка, склеенной из X и Y:
>
>

> |  X Y  |
> | -Y X  |
>

> Понятно, что должен получиться |det A|^2, но вот как бы доказать сие?

если A = X + iY, то A=|A|*(cos(a) + isin(a)), тогда матрица

| Re A Im A |
| -Im A Re A |

является матрицей поворота, у которой определитель равен |A|^2.


--
Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/

Здравствуйте, Roman Odaisky, Вы писали:

RO>

2. u >= v >= 0, u^2 + v^2 = 1 => 3f(uv) + 4f(u^2-v^2) = 2uv. f: [0, 1] -> R — ?

RO>Это я решил. Довольно просто.

Вообще-то есть подозрение, что должно быть 3f(2uv).
В этом случае заменой u=cos(t), v=sin(t) при 0<=t<=pi/4, получаем 3f(sin(2t))+4f(cos(2t))=sin(2t).
Еще одной заменой sin(2t)=x при 0<=x<=1 получаем 3f(x)+4f(sqrt(1-x*x))=x.
А, заменяя x на sqrt(1-x*x) при 0<=x<=1 получаем 3f(sqrt(1-x*x))+4f(x)=sqrt(1-x*x)
Отсюда легко выражается f(x)=[4sqrt(1-x^2)-3x]/7

А если исходить из оригинального условия, то после двух вышеописанных замен получим уравнение
3f(x/2)+4f(sqrt(1-x*x))=x при 0<=x<=1.
Загвоздка в том, что второй аргумент функции бегает от 0 до 1, тогда как первый — только от 0 до 1/2.
Значит можно поступить так:
1. Определим f(x) при 1/2<x<=1 произвольным образом.
2. При 1/2<x<=1 будем иметь 0<=sqrt(1-x*x)<sqrt(3)/2, значит из уравнения можно определить значения f(x) при 0<=x<sqrt(3)/4.
3. Далее при 0<=x<sqrt(3)/4 будем иметь sqrt(13)/4<sqrt(1-x*x)<=1, значит из уравнения можно определить значения f(x) при sqrt(13)/8<x<=1/2.
И т.д.
Отрезки будут постепенно сужаться, приближаясь к точке 1/sqrt(5).
А значение в самой точке 1/sqrt(5) определяется непосредственно из уравнения при x=2/sqrt(5): f(1/sqrt(5))=2/(7sqrt(5)).

Здравствуйте, Roman Odaisky, Вы писали:

RO>4. Эта задача должна быть проще предыдущих, но с какого конца за нее браться?
RO>

A — матрица.
RO>

RO>|  Re A  Im A |
RO>| -Im A  Re A | -- ?
RO>

с конца теории матриц Для решения понадобятся несколько лемм, которые я приведу без доказательств:
Лемма 1. Пусть C — комплексная матрица , . Тогда
Лемма 2. Пусть D — матрица вида , где A,B,C — квадратные матрицы (матрицы вида D называются клеточными или блочными). Тогда
Лемма 3. Вернее теорема из теории блочных матриц. Если в блочной матрице A к i-й блочной строке (столбцу) прибавить j-ю блочную строку (столбец), предварительно помноженную слева (справа) на прямоугольную матрицу X соответствующих размеров, то при этом преобразовании не изменяется ранг матрицы A, а также в случае, когда A — квадратная матрица, и определитель матрицы A.
Вторая лемма есть следствие формул Шура, остальные леммы можно доказать, используя формулу Лапласа разложения определителя.
И Константин

Автор: Константин
Дата: 14.05.07

уже привел правильное решение, два раза воспользовавшись леммой 3, взяв в качестве X матрицы и , затем последовательно леммой 2 и леммой 1. В конце получили произведение двух комплексно-сопряженных чисел, равное квадрату модуля