Здравствуйте, Demon, Вы писали:
D>Возможно ли оклеить три грани куба со стороной 4, имеющие общую вершину, 16-тью полосками 1*3?
Отает: нельзя
Никакой простой раскраски сходу придумать не удалось, поэтому простым перебором.
Очевидно что существует полосочка, лежащая на одной грани целиком и занимающая поле у вершины (хоть одна такая должна существовать):
Тогда у поля Х есть четыре варианта заполнения полоской:
Видно что каждый из этих вариантов приводит к затыку (Если кому не очевидно — могу нарисовать, но по-моему это видно)
Здравствуйте, nikholas, Вы писали:
D>Возможно ли оклеить три грани куба со стороной 4, имеющие общую вершину, 16-тью полосками 1*3?
N>Отает: нельзя
Ага.
N>Никакой простой раскраски сходу придумать не удалось, поэтому простым перебором. N>Очевидно что существует полосочка, лежащая на одной грани целиком и занимающая поле у вершины (хоть одна такая должна существовать):
<skip>
N>Видно что каждый из этих вариантов приводит к затыку (Если кому не очевидно — могу нарисовать, но по-моему это видно)
Очевидности здесь не видно, но верю, что если убить еще некоторое время можно перебрать варианты дальше.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, Demon, Вы писали:
D>>Возможно ли оклеить три грани куба со стороной 4, имеющие общую вершину, 16-тью полосками 1*3?
P>Потрясающе! Задаче уже за сотню, а решения нет.
У кого нет? У тебя или всего человечества?
А действительно, пока смог доказать только для куба 5х5.
Здравствуйте, nikholas, Вы писали:
N>Тут и варианты перебирать не надо — дальше идет единственно возможное заполнение в каждом из вариантов приводящее к противоречию
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, nikholas, Вы писали:
N>Тут и варианты перебирать не надо — дальше идет единственно возможное заполнение в каждом из вариантов приводящее к противоречию
P>А полный куб?
Полный куб можно:
Делим куб пополам.
На одну из "коротких" граней наклеиваем полоски так, чтобы они заползали на "целую" грань на 1 клетку.
Далее очевидным образом заклеиваем остаток "целой" грани и "полоску" из трех оставшихся коротких.
Теперь соединяем две половинки — получаем целый куб.
Ниже будет доказан сабж, но сначала исходная задача. Прежде всего, разумеется, надо найти правильную раскраску куба. В данном случае подходит в 3 цвета диагонально, расширяющимися от угла равносторонними треугольниками.
Легко видеть, что любая полоска может лечь одним из четырёх способов.
Введём обозначения для числа полосок каждого вида:
a - закрывает все цифры 123 по разу (не переламывается)
b12 - закрывает 2 единицы и 1 двойку
b23 - закрывает 2 двойки и 1 тройку
b31 - закрывает 2 тройки и 1 единицу.
На рисунке единиц на 3 больше, чем остальных цифр — на каждой грани по 1 лишней.
Лишние единицы могут быть закрыты только полосками b12.
При этом надо ещё учесть, что полоски b23 наоборот дают недостачу единиц.
Поэтому получаем первое соотношение для чисел b:
b12 - b23 = 3
Для двоек и троек имеем балланс между их донорами и поглотителями
b23 = b31
b31 = b12
Но из двух последних равенств следует, что
b12 = b23
что противоречит первому соотношению.
Всё, это значит, что закрыть угол с ребром 4 нельзя.
А теперь выясним, где мы использовали эту четвёрку. Да особо нигде.
Раскрасить разбегающимися треугольниками можно всегда.
Далее, если ребро не кратно трём, площадь грани даёт при делении на 3 остаток 1.
(3k+1)^2 = 9k^2+6k+1
(3k+2)^2 = 9k^2+12k+3+1
Таким образом на любой грани с некратным ребром останется ровно одна какая-нибудь лишняя цифра. Это не обязательно будет единица (например, для ребра 5 если единица в центре, то лишней будет двойка), но она одинаковая на всех трёх гранях, и все рассуждения выше проходят.
Таким образом мы доказали, что любой трёхгранный угол с ребром не кратным трём закрыть нельзя.
Другой единственно возможной конфигурацией трёх граней в кубе является полоска, сложенная в виде буквы 'П' и состоящая из Nx3N клеток. Т.к. одна из её сторон гарантированно кратна трём полоску всегда можно закрыть повдоль.
Из двух П-образных полосок складывается куб. Поэтому любой куб можно заложить.
Т.к. комбинации из 2-х, 4-х и 5-и граней для некратных трём рёбер содержат некратное трём число клеток, они не закладываются.
Таким образом, 'П'-образная полоска и полный куб закрываются для любого ребра, а все остальные сочетания граней только в тривиальном случае ребра кратного трём.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Таким образом, 'П'-образная полоска и полный куб закрываются для любого ребра, а все остальные сочетания граней только в тривиальном случае ребра кратного трём.
P>Имхо задача решена
Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
MP>Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Имхо задача решена
MP> MP>Опередил ! Я уже почти полностью набил такие же доказательста! Надо на работу раньше приходить...
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
MP> MP>Опередил ! Я уже почти полностью набил такие же доказательста! Надо на работу раньше приходить...
P>Прости P>Я этого тоже больше всего боялся.
Что я на работу раньше времени приду? Здесь могу тебя успокоить.
Жаль, что я по отношению к тебе в "черном" списке и не могу нормально оценить .
Здравствуйте, Demon, Вы писали:
D>Возможно ли оклеить три грани куба со стороной 4, имеющие общую вершину, 16-тью полосками 1*3?
Как наверно все догадались задача на раскраски (т.е. детская )
Раскрасим развертку так:
----
|##.#|
|##.#|
|....|
|##.#|
---- ---
|##.#|#.##|
|....|....|
|##.#|#.##|
|##.#|#.##|
---- ----
Видно что любая полоска 1*3 закрывает либо 0 либо 2 клетки с '#', а их нечетное число
Здравствуйте, Demon, Вы писали:
D>Здравствуйте, Demon, Вы писали:
D>>Возможно ли оклеить три грани куба со стороной 4, имеющие общую вершину, 16-тью полосками 1*3?
D>Как наверно все догадались задача на раскраски (т.е. детская )
D>Раскрасим развертку так: D> ---- D>|##.#| D>|##.#| D>|....| D>|##.#| D> ---- --- D>|##.#|#.##| D>|....|....| D>|##.#|#.##| D>|##.#|#.##| D> ---- ---- D>Видно что любая полоска 1*3 закрывает либо 0 либо 2 клетки с '#', а их нечетное число
D>Поздравляю всех кто ночь не спал
Баллы за задачку, баллы за решение!!!
Как чуствовал, что должен быть некий линеаризатор, отсеивающий группы из трёх клеточек, расположенных не в ряд.
В борьбе бобра с ослом всегда побеждает бобро.
! Я уже почти полностью набил такие же доказательста! Надо на работу раньше приходить...
— обе взаимные оценялки на минимуме 
