Три рыбака пришли к небольшому лесному озеру.
Стали рассаживаться на линии берега, но поругались.
Никто не хотел садиться между двумя другими —
мол с двух сторон его рыбу будут ловить.
Наконец решили сесть так, чтобы все три расстояния
(по прямой в каждой паре) были одинаковыми.
Доказать, что для любой формы озера это возможно.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Три рыбака пришли к небольшому лесному озеру. P>Стали рассаживаться на линии берега, но поругались. P>Никто не хотел садиться между двумя другими — P>мол с двух сторон его рыбу будут ловить. P>Наконец решили сесть так, чтобы все три расстояния P>(по прямой в каждой паре) были одинаковыми. P>Доказать, что для любой формы озера это возможно.
Иными словами в любую замкнутую кривую можно вписать правильный треугольник.
На пальцах так: возьмем произвольный правильны треугольник, две вершины которого на берегу озера, а третья — внутри. Начнем увеличивать сторону, вершины которой на берегу. Правильность при этом должна сохраняться. Ясно, что существует такое положение этой стороны, при котором третья точка выскочит наружу. Значит есть промежуточное искомое положение. Пойдет?
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Три рыбака пришли к небольшому лесному озеру. P>Стали рассаживаться на линии берега, но поругались. P>Никто не хотел садиться между двумя другими — P>мол с двух сторон его рыбу будут ловить. P>Наконец решили сесть так, чтобы все три расстояния P>(по прямой в каждой паре) были одинаковыми. P>Доказать, что для любой формы озера это возможно.
1) Рыбаки должны располагаться в углах равностороннего треугольника
(вывод этого положения занял наибольшее время)
2) Расположим озеро вертикально, так, чтобы "по ширине" оно было больше, чем "по высоте"
3) Посадим на берегу рядышком двух рыбаков, третий при этом "свисает" в воду.
____p1__p2________
/ p3 \
| |
.................
4) Начнем плавно увеличивать расстояния между р1 и р2.
5) До того как р1 и р2 "соскользнут" с озера (из-за выбранного расположения озера), р3 окажется на берегу. чтд.
Здравствуйте, IO, Вы писали:
IO>Иными словами в любую замкнутую кривую можно вписать правильный треугольник. IO>На пальцах так: возьмем произвольный правильны треугольник, две вершины которого на берегу озера, а третья — внутри. Начнем увеличивать сторону, вершины которой на берегу. Правильность при этом должна сохраняться. Ясно, что существует такое положение этой стороны, при котором третья точка выскочит наружу. Значит есть промежуточное искомое положение. Пойдет?
Хорошо, но не совсем Доказать бы, что выскочит.
И доп. вопрос: в любую ли точку можно посадить рыбака №1 ?
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Хорошо, но не совсем Доказать бы, что выскочит.
А что доказывать? Садим одного, садим другого, движем другого, пока не обойдет все озеро, вот третий и выскочит. Он же всегда по одну сторону отрезка.
P>И доп. вопрос: в любую ли точку можно посадить рыбака №1 ?
Садим два, третий внутри. Всегда можно. Разве только озеро меньше рыбака.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, IO, Вы писали:
IO>Иными словами в любую замкнутую кривую можно вписать правильный треугольник. IO>На пальцах так: возьмем произвольный правильны треугольник, две вершины которого на берегу озера, а третья — внутри. Начнем увеличивать сторону, вершины которой на берегу. Правильность при этом должна сохраняться. Ясно, что существует такое положение этой стороны, при котором третья точка выскочит наружу. Значит есть промежуточное искомое положение. Пойдет?
P>Хорошо, но не совсем Доказать бы, что выскочит. P>И доп. вопрос: в любую ли точку можно посадить рыбака №1 ?
В любую. Если рыбак №1 будет стоять на месте и смотреть на рыбака №2, который обходит озеро по часовой стрелке. И при этом рыбак №3 будет держаться так, чтобы быть справа от рыбака №1 (т.е. плыть на лодке по очеру). То в тот момент, когда рыбак №2 обойдет все озеро и вернется к рыбаку №1, рыбак №3 подплывет к ним со стороны суши. А это возможно только тогда, когда от хотябы раз пересекал береговую линию.
Здравствуйте, IO, Вы писали:
IO>Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Хорошо, но не совсем Доказать бы, что выскочит. IO>А что доказывать? Садим одного, садим другого, движем другого, пока не обойдет все озеро, вот третий и выскочит. Он же всегда по одну сторону отрезка.
P>И доп. вопрос: в любую ли точку можно посадить рыбака №1 ? IO>Садим два, третий внутри. Всегда можно. Разве только озеро меньше рыбака.
Именно то, что ты не видишь, почему не в любую точку простого замкнутого контура можно посадить одного из рыбаков, говорит о том, что твоё доказательство недостаточно ясное.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, Дмитро, Вы писали:
P>И доп. вопрос: в любую ли точку можно посадить рыбака №1 ? Д>В любую.
P>Спорнём?
Пожалуй, не в любую... Если озеро имеет форму остроугольного треугольника, в котором существует угол меньше (pi/3)
и первого посадить прямо на этот острый угол, то третий может в озере и не оказаться. Однако, если первого посадить с соседнюю точку на растоянии epsilon от угла, то все будет путем. Исходя из этого предлагаю первого в углы меньше (pi/3) не садить.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Именно то, что ты не видишь, почему не в любую точку простого замкнутого контура можно посадить одного из рыбаков, говорит о том, что твоё доказательство недостаточно ясное.
Если имеется ввиду угол озера меньше 60 градусов, то третий рыбак окажется беконечно близко к двум. Интересно, а треугольнык со сторонами нулевой длины остается треугольником? Если да, то тогда вообще не надо ничего доказывать.
Можно развить эту тему, и взять во внимание размер рыбака (скажем диаметр). Тогда еще будут ограничения — расстояние по прямой больше суммы полудиаметров, но это уже маразм. Хотя озеро действительно может оказаться слишком маленьким.
Здравствуйте, Дмитро, Вы писали:
P>И доп. вопрос: в любую ли точку можно посадить рыбака №1 ? Д>В любую.
P>Спорнём?
Д>Пожалуй, не в любую... Если озеро имеет форму остроугольного треугольника, в котором существует угол меньше (pi/3) Д>и первого посадить прямо на этот острый угол,
А ещё точнее так:
Если из точки контура можно провести два луча так, чтобы угол между ними был меньше 60 градусов, а всё озеро поместилось в него, то это запрещённая точка, там не может быть рыбак. Во всех других точках рыбак быть может.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, Дмитро, Вы писали:
... Д>Пожалуй, не в любую... Если озеро имеет форму остроугольного треугольника, в котором существует угол меньше (pi/3) Д>и первого посадить прямо на этот острый угол,
P> А ещё точнее так: P>Если из точки контура можно провести два луча так, чтобы угол между ними был меньше 60 градусов, а всё озеро поместилось в него, то это запрещённая точка, там не может быть рыбак. Во всех других точках рыбак быть может.
Условие "Угол между берегами в данной точке, острее pi/3", является необходимым, но не достаточным условием для запрета на размещение рыбака в данной точке,
А условие "Все озеро находится с секторе с вершиной в заданной точке, и углом pi/3", напротив слишком сильное.
Например в красной точке размещать рыбака нельзя, хотя зеро укладывается только в угол Pi/2.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>>5) До того как р1 и р2 "соскользнут" с озера (из-за выбранного расположения озера), р3 окажется на берегу. чтд.
P>Для квадратного озера это не так
Тогда небольшая модификация решения.
Проводим через озеро направленную прямую линию.
Из-за ограниченности озера, эта линия в какой-то
точке первый раз входит в озеро, в какой-то точке
последний раз из него выходит.
По обе стороны от точки вхождения сажаем двух рыбаков,
третий при этом в воде. Перемещаем рыбаков вдоль берега
от точки входа к точке выхода. При этом, они подойдут к
точке выхода по прежнему с разных сторон и третий
рыбак окажется на берегу.
Точки входа и выхода линии могут быть в любом месте
берега озера. Даже в вершине острого угла меньше pi/3:
— возле точки входа в вершине такого угла всегда возможно
посадить двух рыбаков так, чтобы третий был в озере.
— возле точки выхода в вершине такого угла всегда возможно
посадить двух рыбаков так, чтобы третий был на берегу.
Решение работает даже тогда, когда линия берега имеет
самопересечения , только выбор точек входа и выхода уже
ограничен (одинаковым знаком направления нормали к линии берега).
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>>Точки входа и выхода линии могут быть в любом месте M>>берега озера. Даже в вершине острого угла меньше pi/3:
P>Точки входа и выхода да. P>А вот рыбак там не может сидеть
А это и не требуется, так как до принятия решения оба рыбака бегают по берегу озера.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Три рыбака пришли к небольшому лесному озеру. P>Стали рассаживаться на линии берега, но поругались. P>Никто не хотел садиться между двумя другими — P>мол с двух сторон его рыбу будут ловить. P>Наконец решили сесть так, чтобы все три расстояния P>(по прямой в каждой паре) были одинаковыми. P>Доказать, что для любой формы озера это возможно.
Напишу для полноты своё решение, хоть оно уже примерно и было...
Выберем на контуре точку, где он локально прямой (нет излома).
На любом нормальном контуре таких точек бесконечно много.
Посадим отного из рыбаков в эту точку, другого поместим бесконечно близко справа, а третьего — в третью вершину микроскопического равностороннего треугольника. Он может быть в одной из двух точек, причём так как контур локально прямой, одна из них лежит внутри озера..
Движем второго вдоль контура, третий всё время подстраивается в третью вершину. Рано или поздно второй подойдёт к первому слева, а третий при этом будет вне озера. Значит он где-то пересёк берег.
Ясно, что локальная прямота необязательна — при угле больше pi/3 тоже всё работает. Ясно также, что и при более острых углах может найтись положение для двух оставшихся. Но никто не гарантирует — это уже надо проверять в каждом конкретном случае с помощью непосредственного оббегания.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
...
P>Напишу для полноты своё решение, хоть оно уже примерно и было...
P>
P>Выберем на контуре точку, где он локально прямой (нет излома). P>На любом нормальном контуре таких точек бесконечно много.
P>Посадим отного из рыбаков в эту точку, другого поместим бесконечно близко справа, а третьего — в третью вершину микроскопического равностороннего треугольника. Он может быть в одной из двух точек, причём так как контур локально прямой, одна из них лежит внутри озера..
P>Движем второго вдоль контура, третий всё время подстраивается в третью вершину. Рано или поздно второй подойдёт к первому слева, а третий при этом будет вне озера. Значит он где-то пересёк берег.
(Извиняюсь. Не придирок ради, токмо завершённости для )
Хоть это и (почти) очевидно, но тем не менее...
Почему, когда второй рыбак подойдёт к первому с другой стороны, третий рыбак должен оказаться на берегу?
Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>Хоть это и (почти) очевидно, но тем не менее... M>Почему, когда второй рыбак подойдёт к первому с другой стороны, третий рыбак должен оказаться на берегу?
Треугольник по построению равносторонний. Вторая из двух возможных вершин не подходит потому что они сидят в треугольнике против часовой стрелки. Контур локально прямой.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>>Хоть это и (почти) очевидно, но тем не менее... M>>Почему, когда второй рыбак подойдёт к первому с другой стороны, третий рыбак должен оказаться на берегу?
P>Треугольник по построению равносторонний. Вторая из двух возможных вершин не подходит потому что они сидят в треугольнике против часовой стрелки. Контур локально прямой.
Вариант — обход против часовой стрелки, равносторонний треугольник, да всё так и есть, но.
Но, третий рыбак — по прежнему в воде, правда уже вверх ногами. Почему нет?
В борьбе бобра с ослом всегда побеждает бобро.
А ещё точнее так:
