Вот несколько задач разной степени сложности и известноси.

1) Сначала простая и довольно известная, но изящная.
В углах квадрата со стороной 1 сидят 4 ёжика. В некий момент времени каждый начинает ползти со скоростью 1 в сторону своего соседа по часовой стрелки. Все движутся — все направления тоже меняются, всё время на соседа. Через какое время ёжики встретятся?

2) Для тех, кто знал предыдущую задачу.
Сделать то же самое для правильного N-угольника. Простые ответы получаются для N=2,3,4,6 ёжиков, а также для N>>1

3) Эта кажется существенно сложнее. На самом деле решение удивительно простое.
Сидит ёжик. Мимо ползёт ежиха. В момент наибольшего сближения ёжик стартует в сторону ежихи и далее всё время держит курс строго на неё. Скорости одинаковые. Во сколько раз ёж сократит исходное расстояние?

4) Ну и наконец практическая задача (по заказу иракских ПВО ).
Если еж бежит быстрее ежихи, то за какое время он её догонит? (начальное расстояние и обе стороны даны, стартует по-прежнему в момент наибольшего сближения, держит курс строго на неё)

Привет, Pushkin!

Пока я думал о четвертом пункте, смотрю, а ответ на третий уже есть. Вот я и решил сразу опубликовать его с элементарным (не программистским) решением, чтобы кто-то не опередил хоть в этом! Это мой ответ тем, кто все считает программированием!

P>3) Эта кажется существенно сложнее. На самом деле решение удивительно простое.
P>Сидит ёжик. Мимо ползёт ежиха. В момент наибольшего сближения ёжик стартует в сторону ежихи и далее всё время держит курс строго на неё. Скорости одинаковые. Во сколько раз ёж сократит исходное расстояние?

Будем оптимистами! Ежа поместим в центр вселенной (0; 0). Ежиху в (1; 0). Ее, с одной стороны, тянет на ежа, с другой, — куда-то вверх, ввысь, к принцам там всяким. Есть два вектора единичной скорости (вверх и к ежу). Результирующий вектор направлен по биссектрисе образованого угла. Следовательно, он имеет одинаковую проекцию на стороны этого угла. Таким образом, изменение расстояния от ежа равно минус изменению y-координаты ежихи. Т.е. производная r по y равна -1. r = 1 — y (из начальных условий). В конце r = y. Т.е. в конце r = 0.5.

Здравствуйте, Apapa, Вы писали:
A>В силу симметрии ежики всегда в углах квадрата и ползут со скоростью 1 к соседу, ползущему перпендикулярно. Т.о. через 1 они встретятся. Кто не верит, тот может проверить, что сторона квадрата уменьшается с постоянной скоростью -1.

Согласен с рассуждениями.
Для тех кто не верит, может проверить с помощью кода на MatLab:

clear;

a2 = 1; % сторона квадрата
a = a2/2;
ezhkoord=[a a; a -1*a; -1*a -1*a; -1*a a]; % координаты ежей, в порядке, как они бегут друг за другом
ezhspeed=[1; 1; 1; 1]; % скорость ежей

T=10; % времня наблюдения
dt=0.00001; % дискрет по времени

figure(1);
plot(ezhkoord(:,1),ezhkoord(:,2),'.','markersize',30);
grid on;
hold on;

t=0;
i=0;
Tolerance = a2;
while (t<T)&&(Tolerance>0.0001),
    i = i+1;
    t = i*dt;
    speedvector=circshift(ezhkoord,-1)-ezhkoord;
    norma = sqrt((speedvector(:,1)).*(speedvector(:,1))+(speedvector(:,2)).*(speedvector(:,2)));
    Tolerance = max(norma);
    norma = 1./norma;
    speedvector(:,1)=speedvector(:,1).*norma.*ezhspeed;
    speedvector(:,2)=speedvector(:,2).*norma.*ezhspeed;
    ezhkoord=ezhkoord+dt*speedvector;
    plot(ezhkoord(:,1),ezhkoord(:,2),'.','markersize',1);
end
fprintf(['Ежики встретились. t = %0.16f'],t);

А ниже можно посмотреть на траектории движения ежей.

Ежики встретились. t = 0.9999600000000001

Численные методы есть численные методы.
Несложно проследить движение ежей на разных скоростях при разном количестве ежей и т.д. Код правится легко.
Надеюсь, грубых ошибок не допустил.

Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

P>Настоящие крутые перцы определяют факториал через гамма-функцию
M>Pushkin! Что за слог?!

Не каждый отрок с юных лет считать умеет интегралы
Иной предпочитает бАлы, попасть мечтая в высший свет.

Привет, Pushkin!

P>Вот несколько задач разной степени сложности и известноси.
[]
P>4) Ну и наконец практическая задача (по заказу иракских ПВО ).
P>Если еж бежит быстрее ежихи, то за какое время он её догонит? (начальное расстояние и обе стороны даны, стартует по-прежнему в момент наибольшего сближения, держит курс строго на неё)

Ждал, я ждал ответа... Да видно позабыли все про этот четвертый пункт...

Вот достаточно простое решение:

Так же как и раньше поместим "ежа" в центр (0; 0), а "ежиху" изначально в координаты (1; 0).

Если "еж" летит со скоростью v, то, перейдя в систему координат с центром в "еже", можно считать, что "еж" стоит на месте, а "ежиха" летит, с одной стороны, со скоростью v вверх, с другой — со скоростью 1 к "ежу".
Рассмотрим проекцию скорости "ежихи" на ось r от "ежа" к ней и на ось y.

r' = vy/r — 1
y' = v — y/r

Заметим, что при v = 1 мы получим r' = -y', что соответствует задаче 3.

Далее (r + vy)' = v^2 — 1 или, с учетом начальных условий,

r = 1 — (1 — v^2)t — vy

Нас интересует момент, когда r = y = 0, т.е. ОТВЕТ:

t = 1 / (1 — v^2),

где v — это отношение скорости "ежихи" к скорости "ежа".

В верности полученной формулы для частных случаев (v = +-1, v = 0, v > 1) предлагаю убедиться самостоятельно.

Так, при v = 0.5, т.е. когда "еж" летит в два раза быстрее "ежихи", t = 4/3.
Так что лететь сильно быстрее нет смысла (меньше, чем за t = 1 все равно не догонишь).



Спасибо.
Саддам.

Привет, Pushkin!

P>Вот несколько задач разной степени сложности и известноси.

P>1) Сначала простая и довольно известная, но изящная.
P>В углах квадрата со стороной 1 сидят 4 ёжика. В некий момент времени каждый начинает ползти со скоростью 1 в сторону своего соседа по часовой стрелки. Все движутся — все направления тоже меняются, всё время на соседа. Через какое время ёжики встретятся?
В силу симметрии ежики всегда в углах квадрата и ползут со скоростью 1 к соседу, ползущему перпендикулярно. Т.о. через 1 они встретятся. Кто не верит, тот может проверить, что сторона квадрата уменьшается с постоянной скоростью -1.

P>2) Для тех, кто знал предыдущую задачу.
Я не знал... Но догадался!
P>Сделать то же самое для правильного N-угольника. Простые ответы получаются для N=2,3,4,6 ёжиков, а также для N>>1
У правильного N-угольника углы равны (N-2)/N*pi, дополнение до pi — 2pi/N, скорость сближения 1 — cos(2pi/N), время до сближения (1-cos(2pi/N))^-1 = 0.5 / (sin pi/N)^2.

N t
2 1/2
3 2/3
4 1
6 2
12 4+2*sqrt(3) (7.464)

Если N>>1, то около 0.5 * N^2/pi^2
Например, если N=12, то около 72/pi^2 = 7.3

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:


P>2) Для тех, кто знал предыдущую задачу.
P>Сделать то же самое для правильного N-угольника. Простые ответы получаются для N=2,3,4,6 ёжиков, а также для N>>1

          1
T = -------------
    1-cos(2*Pi/N)

Для док-ва мест на полях не хватает

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Вот несколько задач разной степени сложности и известноси.

P>1) Сначала простая и довольно известная, но изящная.
P>В углах квадрата со стороной 1 сидят 4 ёжика. В некий момент времени каждый начинает ползти со скоростью 1 в сторону своего соседа по часовой стрелки. Все движутся — все направления тоже меняются, всё время на соседа. Через какое время ёжики встретятся?

ИМХО, для первой задачи действительно просто
Так как ёжики двигаются перпендикулярно траектории преследуемого, то время до встречи равно первоначальному расстоянию / скорость, т.е. 1.

Здравствуйте, Apapa, Вы писали:


A>Нас интересует момент, когда r = y = 0, т.е. ОТВЕТ:
A>

A>t = 1 / (1 — v^2),

A>где v — это отношение скорости "ежихи" к скорости "ежа".

Ну если скорость ежа положить единицей, то да.
А вообще-то нормальный ответ выглядит так

t= L * Vежа / (Vежа^2 - Vежихи^2)

Забавно, что это время равно среднему арифметическому между максимальным и минимальным возможным времени встречи. (Я не знаю почему).

Вот мой вывод (он опять же повторяет твой, но имхо проще)
Сначала скопируем картинку.

                 \
                   \      x  
                     \  ====== 
                 <- ежиха-----------------------------
                        \\   угол a    
                        r \\
                            \\

Расстояние r между ежами сокращается со скоростью Vежа-Vежихи*cos(a)
Расстояние x по оси ежихи растёт со скоростью Vежихи-Vежа*cos(a)
Значит сумма r*Vежа+x*Vежихи сокращается с постоянной скоростью Vежа^2-Vежихи^2
Значит время равно начальное значение этой суммы делить на скорость её сокращения.

Здравствуйте, Дмитро, Вы писали:

Д>Вообще-то волчья стратегия в большинстве случаев более оптимальна, чем собачья, поскольку основывается на предположении, что заяц бежит прямолинейно с постоянной скоростью (в отличии от собачьего предположения, что заяц сидит на месте и не двигается). Хотя, конечно, можно придумать такой заячий маршрут, при котором собака догонит зайца быстрее, чем волк, но мне также кажется, что с таким же успехом можно придумать и такой, при котором, стратегия "сидеть на месте и ждать, когда заяц прибежит сам", будет более оптимальнее, чем волчья и собачья вместе взятые.

Это уже будет китайская стратегия: сидеть на берегу реки и ждать, пока труп твоего врага проплывет мимо.

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

UgN>>Это уже будет китайская стратегия: сидеть на берегу реки и ждать, пока труп твоего врага проплывет мимо.

К>Между прочим, это следящая система нулевого порядка.
К>Просто взять и положить, что дистанция равна нулю (здесь — за счет врага). И вообще положить.

Не могу удержаться, чтобы не вспомнить восхитительного Роберта Шекли (Обмен разумов)

- Представьте, об отыскании мне известно решительно все, — торжествующе
объявил Вальдец, размахивая изящными терракотовыми руками. — Ибо я
специалист по теории поисков!
— По чему? — переспросил Марвин.
— По теории поисков, — повторил Вальдец уже не так торжествующе.
...
— Дружище, если бы вам было известно о Кэти все — ее привычки, друзья,
желания, антипатии, надежды, страхи, мечты, планы и тому подобное, — как
по-вашему, удалось бы вам ее найти?
— Наверняка удалось бы, — ответил Марвин.
— Несмотря на то, что вы ничего не знаете о теории поисков?
— Да.
— Что ж, — сказал Вальдец, — а теперь рассмотрим обратный случай. О
теории поисков я знаю решительно все. Следовательно, мне нет нужды знать
что-либо о Кэти.

...

— Так что же будем делать?
— Я ведь вам твержу! — вскричал Вальдец. — Один должен искать, другой —
ждать. Поскольку мы не в состоянии держать поступки Кэти под контролем,
придется исходить из того, что она, следуя своему инстинкту, разыскивает
вас. Поэтому вы должны подавить свои инстинкты и ждать, тем самым позволив
ей вас найти.
— Ждать? Только и всего? — переспросил Марвин.
— Вот именно. — И вы серьезно думаете, что она меня найдет?
— Ручаюсь жизнью.
— Что ж... Ладно. Но куда же мы, в таком случае, направляемся?
— В то место, где вы будете ждать. На языке специалистов — в пункт
обнаружения.
У Марвина был оторопелый вид, поэтому Вальдец объяснил подробнее:
— Математическое ожидание того, что она вас найдет, для всех мест
одинаково. Поэтому пункт обнаружения мы можем выбирать произвольно.
— И какой же вы выбрали пункт обнаружения? — спросил Марвин.
— Поскольку это роли не играет, — ответил Вальдец, — я выбрал село
Монтана Верде де лос трес Пикос в провинции Аделанте страны Ламбробии.
— Это, кажется, ваша родина? — спросил Марвин.
— Вообще-то да, — сказал Вальдец, несколько удивленный и сконфуженный.
— Потому-то, верно, мне о нем сразу подумалось.
— Но ведь до Ламбробии, по-моему, очень далеко?
— Порядочно, — признался Вальдец. — Но мы время зря не потеряем: я
обучу вас логике, а также народным песням моей страны...

Таким образом, лучшая стратегия для собаки (и волка) — сидеть и ждать, обучая
охотника логике, а также народным песням своей страны..., пока заяц сам не
найдет своих преследователей и не совершит ритуальное самоосвежевание
прямо у них на глазах.

Здравствуйте, Apapa, Вы писали:

А я в своё время так и не допёр

Вот моё переложение своими словами, имхо чуть более понятное.

                 \
                   \      x  
                     \  ====== 
                 <- ежиха-----------------------------
                        \\   угол a    
                        r \\
                            \\
                              Ёж

Расстояние r по прямой до ежихи сокращается со скоростью 1-cos(a) (ёж догоняет)

Проекция этого расстояния на направление движения ежихи x наоборот увеличивается, причём с той же скоростью (она быстрее убегает).

Таким образом сумма r+x не меняется со временем.
В начале x1=0
В конце r2=x2

Приравниваем, получаем r1=x2+r2=2*r2

Здравствуйте, Apapa, Вы писали:

A>Т.е. к чему стремится угол поворота его носика при приближении к месту встречи?

Думаю, ни к чему. Бесконечно много оборотов сделает.
Малый угол поворота равен отношению пути пройденного соседом dx к расстоянию до него (1-t). Но интеграл от нуля до единицы от dx/(1-t) расходится в единице.

Здравствуйте, Pushkin

Надоело мне мозгами скрипеть, пусть комп думает — он железный.


Код не оптимизирован и вообще ни на что не претендует.
Но поиграться можно.

template < class T >
class Point
{
public:
    Point(){};
    Point( T x, T y ) : m_x( x ), m_y( y ) {};
    T distance( const Point < T > & p ) const
    {
        T x = p.m_x - m_x;
        T y = p.m_y - m_y;
        return sqrt( x*x + y*y );
    };
    T GetX() const { return m_x; };
    T GetY() const { return m_y; };
    void SetX( T x ){ m_x = x; };
    void SetY( T y ){ m_y = y; };
protected:
    T    m_x;
    T    m_y;
};


template < class T >
class Mobile
{
public:
    Mobile( const Point< T > & coord, const Point< T > & direction, T velocity  ) : 
                                    m_coord( coord ), 
                                    m_direction( direction ),
                                    m_velocity( velocity )                    
    {
    };
    
    void Move( T  tick )
    {
        m_coord.SetX( m_coord.GetX() + m_direction.GetX() * m_velocity * tick );
        m_coord.SetY( m_coord.GetY() + m_direction.GetY() * m_velocity * tick );
    };

    const Point < T > & GetCoord()        const {    return m_coord; };
    const Point < T > & GetDirection()    const { return m_direction;};
    void SetCoord( const Point < T > & p )        { m_coord = p; };
    void SetDirection( const Point < T > & p )    { m_direction = p; };


protected:
    Point < T > m_direction;
    Point < T > m_coord;
    T            m_velocity;
};

template < class T >

class Target : public Mobile < T > 
{
public:
    Target( T x, T y, T v ) : Mobile < T >( Point< T >( x, y ), Point< T >( 1, 0 ), v ) 
    {
    };
};

template < class T >
class Missile : public Mobile < T > 
{
public:
    Missile( T x, T y, T v ) : Mobile < T >( Point< T >( x, y ), Point< T >( 0, 1 ), v ){};
    void Aim( const Point < T > & p )
    {
        T x = p.GetX() - m_coord.GetX();
        T y = p.GetY() - m_coord.GetY();

        if( y != 0 )
        {
            T k = x / y;
            y = sqrt( 1 / ( k*k + 1 ) );
            x = sqrt( 1 - 1 / ( k*k + 1 ) );
        }
        else
        {
            x = 0;
        };
        
        m_direction.SetX( x );
        m_direction.SetY( y );
    };
};



int main(int argc, char* argv[])
{
    double Dist = 100;

    Target < double > T( 0, Dist, 10 ); // x, y, скорость
    Missile< double > M( 0, 0,    10 ); // x, y, скорость
    
    double Threshold = 0.001;    // порог окончания расчетов
    double Diff = 0;            // разность расстояний в последоват. итерациях
    double TimeTick = 0.1;        // квант времени
    double TotalTime = 0;        // Считает сумму квантов
    do
    {
        M.Aim( T.GetCoord() );  // Целимся на Target
        M.Move( TimeTick );        // Двигаем ракету
        T.Move( TimeTick );        // Двигаем цель
        TotalTime += TimeTick;  // Считаем время
        double CurrDist = T.GetCoord().distance( M.GetCoord() ); // Расстояние
        Diff = Dist - CurrDist;
        Dist = CurrDist;
        cout << "T: " << T.GetCoord().GetX() << " : "  << T.GetCoord().GetY() << endl;
        cout << "M: " << M.GetCoord().GetX() << " : "  << M.GetCoord().GetY() << endl;
        cout << "Dist:" << Dist << "    Diff:" << Diff << endl;
        // Это формат csv - потом в Excel построим диаграмму
        //cout << T.GetCoord().GetX() << ","  << T.GetCoord().GetY() << ",";
        //cout << M.GetCoord().GetX() << ","  << M.GetCoord().GetY() << "," << endl;
    } while( Diff > Threshold );
    cout << "Total time: " << TotalTime << endl;
    return 0;
}

Привет, MichaelP!

MP>... достижимость r = y = 0 надо бы доказать.

Для нашего случая |v|<1 она доказывается элементарно...

Если r > 0, то r' = vy/r — 1. |y| <= |r| по смыслу. Значит r'<0 всегда.
Следовательно r(t) убывает по t. r(t) >= 0.
Значит r(t) как непрерывная функция либо =0 в определенный момент (следовательно и y = 0), либо r(t) стремится к чему-то >= 0 сверху при t, стремящемся к бесконечности.
Но в последнем случае производная должна стремится к нулю, что в случае |v| < 1 невозможно.

P.S. Зато это происходит при |v|=1, и еж никогда не достигает расстояния 0.5, но стремится к нему...

Здравствуйте, mogadanez, Вы писали:

M>факториал 1/2 ????? очень интересно!
M>не распишите как это?
M>вот вам в помощь определение из большой советской энциклопедии
M>Факториал (англ. factorial, от factor-comножитель) (математический), произведение натуральных чисел от единицы до какого-либо данного натурального числа n

Это для детей
Настоящие крутые перцы определяют факториал через гамма-функцию

n!=integral_0_inf{x^n exp(-x) dx}

Да что там крутые перцы — даже мастдайный калькулятор знает, что

0.5! = 0.886 = sqrt(pi)/2

Здравствуйте, Димчанский, Вы писали:

<>

На графике видно, что ближе к центру ежей должно мутить от виража.

Кстати, а нельзя ль что-то подобное для собаки и волка изобразить У меня нет маткада...

Здравствуйте, Apapa, Вы писали:


A>Так же как и раньше поместим "ежа" в центр (0; 0), а "ежиху" изначально в координаты (1; 0).

A>Если "еж" летит со скоростью v, то, перейдя в систему координат с центром в "еже", можно считать, что "еж" стоит на месте, а "ежиха" летит, с одной стороны, со скоростью v вверх, с другой — со скоростью 1 к "ежу".
A>Рассмотрим проекцию скорости "ежихи" на ось r от "ежа" к ней и на ось y.

A>

A>r' = vy/r — 1
A>y' = v — y/r

A>Заметим, что при v = 1 мы получим r' = -y', что соответствует задаче 3.

A>Далее (r + vy)' = v^2 — 1 или, с учетом начальных условий,
A>

A>r = 1 — (1 — v^2)t — vy

A>Нас интересует момент, когда r = y = 0, т.е. ОТВЕТ:
A>

A>t = 1 / (1 — v^2),

A>где v — это отношение скорости "ежихи" к скорости "ежа".

Обратим время в обратную сторону. Т.е. Ежиха бежит в противоположную строну, а еж убегает от ежихи.

Опуская промежуточные вычисления, получим, что если еж убегает от ежихи с половиной ее скорости, то он столкнется с ней через 1/(2^2-1) = 1/3

Это я к тому, что достижимость r = y = 0 надо бы доказать.

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

У первой и второй задач условие не понял

P>3) Эта кажется существенно сложнее. На самом деле решение удивительно простое.
P>Сидит ёжик. Мимо ползёт ежиха. В момент наибольшего сближения ёжик стартует в сторону ежихи и далее всё время держит курс строго на неё. Скорости одинаковые. Во сколько раз ёж сократит исходное расстояние?

0,1893

???

Здравствуйте, UgN, Вы писали:


P>>3) Эта кажется существенно сложнее. На самом деле решение удивительно простое.
P>>Сидит ёжик. Мимо ползёт ежиха. В момент наибольшего сближения ёжик стартует в сторону ежихи и далее всё время держит курс строго на неё. Скорости одинаковые. Во сколько раз ёж сократит исходное расстояние?

UgN>0,1893
UgN>???

Сократить в 0.1893 реально означает увеличить
В любом случае не-а, неверные цифры.

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>В любом случае не-а, неверные цифры.

новое расстояние составляет 0.57 от прежнего.
???

Здравствуйте, UgN, Вы писали:

UgN>новое расстояние составляет 0.57 от прежнего.
UgN>???

И скоко их ещё у тебя в рукаве?
Нет, к сожалению

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>4) Ну и наконец практическая задача (по заказу иракских ПВО ).

L*(PI-2)
-----------
2*(V1-V2)

L — начальное расстояние
V1 — скорость "Ежа"
V2 — скорость цели


Кстати, так цель догоняют собаки.
Волки бегут с упреждением.

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

UgN>>новое расстояние составляет 0.57 от прежнего.
UgN>>???

P>И скоко их ещё у тебя в рукаве?
P>Нет, к сожалению

Это я ГСЧ испытываю...


А у тебя решение с интегралами/производными или нет?

Здравствуйте, UgN, Вы писали:

UgN>
UgN>

UgN>L*(PI-2)
UgN>-----------
UgN>2*(V1-V2)
UgN>

UgN>
UgN>L — начальное расстояние
UgN>V1 — скорость "Ежа"
UgN>V2 — скорость цели

А если ежиха стоит на месте?

UgN>Кстати, так цель догоняют собаки.
UgN>Волки бегут с упреждением.

Да, и называеся это "собачья кривая"
Волки вообще самых сильных в засаду сажают.
Недавно передачу смотрел — красавцы!

Для всех сомневающихся ещё раз скажу.
У меня есть простое решение для всех задач.
Без интегралов и производных.
Т.е. понимать что такое производная надо бы.
Но это уровень продвинутого школьника.

Здравствуйте, UgN, Вы писали:

UgN>Кстати, так цель догоняют собаки.
UgN>Волки бегут с упреждением.

Кстати, зенитные ракеты тоже придерживаются либо собачьей, либо волчьей стратегии.
Неуправляемые (стингеры, иглы, воздух-воздух) — собачьи. Управляемые (С300, патриоты) — волчьи.

Причем волчью стратегию выбирают еще и потому, что в ней возникают гораздо меньшие боковые перегрузки.
А они ограничены и прочностью ракеты, и ее маневренностью.

Есть N-1 ежиков и одна ежиха на одной прямой через промежутки 1. Ежиха начинает и двигается постоянно перпендикулярно прямой. Каждый ежик движется по "собачей стратегии" за следующим. Через какое время они все снова окажутся на одной прямой?

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

Товарищъ Пушкинъ, а не могли бы вы опубликовать численные ответы на 3 и 4 задачу?
Для первой дробь, для второй V1, V2, L, T...
Тогда можно будет самостоятельно убедиться, что задачи решены неверно

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>Кстати, зенитные ракеты тоже придерживаются либо собачьей, либо волчьей стратегии.
К>Неуправляемые (стингеры, иглы, воздух-воздух) — собачьи. Управляемые (С300, патриоты) — волчьи.

К>Причем волчью стратегию выбирают еще и потому, что в ней возникают гораздо меньшие боковые перегрузки.
К>А они ограничены и прочностью ракеты, и ее маневренностью.

Ясно, что есть некий коэффициент дикости
При к=0 ракета ведёт себя по собачьи.
При к=1 — как самый дикий волк. А именно летит строго по прямой в место предполагаемой встречи с жертвой.

Если жертва — пассажирский самолёт (привет соседям ), то выгоднее дикий вариант, а если она всё время увёртывается, то нет смысла лететь черти-куда, жертва всё равно туда не полетит, поэтому выгоден собачий. В реальных задачах наверное используется некая смесь 0<k<1, т.е упреждают на некую долю.

Можно поставить задачу о быстрейшем поражении цели, если её дальнейшее движение неизвестно, а предыдущее дало некую статистику. Мне кажется (из размерности), что оптимальный коэффициент должен меняться в процессе полёта. Что-нибудь типа:

k= 1/(1+средняя_кривизна_траектории_жертвы/расстояние_до_жертвы)

В частности само поражение всегда происходит по-собачьи

Здравствуйте, IO, Вы писали:

IO>Есть N-1 ежиков и одна ежиха на одной прямой через промежутки 1. Ежиха начинает и двигается постоянно перпендикулярно прямой. Каждый ежик движется по "собачей стратегии" за следующим. Через какое время они все снова окажутся на одной прямой?

Ты уверен, что за конечное?

P>3) Эта кажется существенно сложнее. На самом деле решение удивительно простое.
P>Сидит ёжик. Мимо ползёт ежиха. В момент наибольшего сближения ёжик стартует в сторону ежихи и далее всё время держит курс строго на неё. Скорости одинаковые. Во сколько раз ёж сократит исходное расстояние?

Рассмотрим движение ежа относительно ежихи, при произвольном положении ежа. Раасмотрим равнобедренный треугольник одна из сторон которого совпадает с отрезком еж-ежиха, а вторая лежит на прямой, по которой ползет ежиха. Тогда можно заметить, что высота (она же медиана) этого треугольника проведенная от ежихи не уменьшается. Отсюда ответ:

sqrt(2)/2

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Здравствуйте, IO, Вы писали:

IO>>Есть N-1 ежиков и одна ежиха на одной прямой через промежутки 1. Ежиха начинает и двигается постоянно перпендикулярно прямой. Каждый ежик движется по "собачей стратегии" за следующим. Через какое время они все снова окажутся на одной прямой?

P>Ты уверен, что за конечное?

Конечное, конечное. Проверено.

Полный ответ: Все ёжики снова окажутся на одной прямой за время Т = 2, где 2 стремится к бесконечности.

Здравствуйте, UgN, Вы писали:

UgN>Товарищъ Пушкинъ, а не могли бы вы опубликовать численные ответы на 3 и 4 задачу?
UgN>Для первой дробь, для второй V1, V2, L, T...
UgN>Тогда можно будет самостоятельно убедиться, что задачи решены неверно

Давай чуть позже. Вдруг кто-нить сам получит.
Тем более, что ответ в задаче 3 слишком прост, чтобы его публиковать
Что касается задачи 4, то там проверке сильно помогают частные случаи V1=0 и V1=V2.

Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:

MP>sqrt(2)/2

Решение я не понял, но ответ неверный.
Он совсем простым должен быть

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:


P>3) Эта кажется существенно сложнее. На самом деле решение удивительно простое.
P>Сидит ёжик. Мимо ползёт ежиха. В момент наибольшего сближения ёжик стартует в сторону ежихи и далее всё время держит курс строго на неё. Скорости одинаковые. Во сколько раз ёж сократит исходное расстояние?

1/2 !!!

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Ясно, что есть некий коэффициент дикости
P>При к=0 ракета ведёт себя по собачьи.
P>При к=1 — как самый дикий волк. А именно летит строго по прямой в место предполагаемой встречи с жертвой.

P>Если жертва — пассажирский самолёт (привет соседям ), то выгоднее дикий вариант, а если она всё время увёртывается, то нет смысла лететь черти-куда, жертва всё равно туда не полетит, поэтому выгоден собачий. В реальных задачах наверное используется некая смесь 0<k<1, т.е упреждают на некую долю.

P>Можно поставить задачу о быстрейшем поражении цели, если её дальнейшее движение неизвестно, а предыдущее дало некую статистику. Мне кажется (из размерности), что оптимальный коэффициент должен меняться в процессе полёта. Что-нибудь типа:

P>k= 1/(1+средняя_кривизна_траектории_жертвы/расстояние_до_жертвы)

P>В частности само поражение всегда происходит по-собачьи

Это неправда.
Нет никакого коэффициента дикости. Есть следящие системы первого и второго порядков.
Собака — следит только за положением цели, а волк — еще и за скоростью.

Если (в координатной системе преследователя; сам преследователь имеет скорость <1;0;0>) жертва имеет положение R и скорость V (векторы), то

Собака решает уравнение (по новому значению своей скорости, W, |W|=1)
W*t = R; |W|=1
W = R/t
t = |R|
W = R/|R|

Волк решает уравнение
W*t = R + V*t; |W|=1
W = R/t + V
|R+Vt|=t
R^2 + 2t(R.V) + t^2*(V^2 — 1) = 0
в общем, лень выводить формулу...

Короче говоря, волк бежит несколько дальше, к "точке встречи". Хотя положение точки встречи все время меняется (если жертва маневрирует), но направление на точку встречи изменяется плавнее, чем направление на жертву.

Здравствуйте, UgN, Вы писали:

UgN>1/2 !!!

Ну допустим, да

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:


UgN>>1/2 !!!

P>Ну допустим, да

Или это были три факториала?

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

P>>Можно поставить задачу о быстрейшем поражении цели, если её дальнейшее движение неизвестно, а предыдущее дало некую статистику.

К>Это неправда.
К>Нет никакого коэффициента дикости. Есть следящие системы первого и второго порядков.
К>Собака — следит только за положением цели, а волк — еще и за скоростью.

Ещё раз пытаюсь сформулировать задачу.

Есть собака, она бегает по-собачьи.
Есть волк, он соответственно по-волчьи.
Есть куча слепых зайцев.
Выпускаем первого зайца, он начинает бегать как попало.
Бегает долго, мы все наблюдаем.
В произвольный момент спускаем с поводков волка и собаку.
Кто раньше схватит?
Делаем так 100 раз, смотрим статистику.
Делаем выводы о предпочтительности стратегии.
(Мне кажется, это зависит от манеры бегать зайца.
Для оленя или велосипедиста может оказаться иначе.)
Думаем, какую программу заложить в робота, 
чтобы он делал их обоих в большинстве случаев.

P>>Ну допустим, да

P>Или это были три факториала?

факториал 1/2 ????? очень интересно!

не распишите как это?

вот вам в помощь определение из большой советской энциклопедии

Факториал (англ. factorial, от factor-comножитель) (математический), произведение натуральных чисел от единицы до какого-либо данного натурального числа n, то есть 1?2?...?n', обозначается n!. При больших n приближённое выражение Ф. даётся Стирлинга формулой. Ф. равен числу перестановок из n элементов.

Здравствуйте, mogadanez, Вы писали:

P>>>Ну допустим, да

P>>Или это были три факториала?

M>факториал 1/2 ????? очень интересно!

M>не распишите как это?

M>вот вам в помощь определение из большой советской энциклопедии

M>

M>Факториал (англ. factorial, от factor-comножитель) (математический), произведение натуральных чисел от единицы до какого-либо данного натурального числа n, то есть 1?2?...?n', обозначается n!. При больших n приближённое выражение Ф. даётся Стирлинга формулой. Ф. равен числу перестановок из n элементов.

Есть ещё гамма-функция Г(х + 1) = х! для целых х.

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

M>>факториал 1/2 ????? очень интересно!
M>>не распишите как это?

P>Это для детей
P>Настоящие крутые перцы определяют факториал через гамма-функцию
...
P>Да что там крутые перцы — даже мастдайный калькулятор знает, что

Pushkin! Что за слог?!

Здравствуйте, mogadanez, Вы писали:

P>>>Ну допустим, да

P>>Или это были три факториала?

M>факториал 1/2 ????? очень интересно!

M>не распишите как это?

M>вот вам в помощь определение из большой советской энциклопедии

M>

M>Факториал (англ. factorial, от factor-comножитель) (математический), произведение натуральных чисел от единицы до какого-либо данного натурального числа n, то есть 1?2?...?n', обозначается n!. При больших n приближённое выражение Ф. даётся Стирлинга формулой. Ф. равен числу перестановок из n элементов.

Гамма функция, это обобщение факториала.

Г(y)= интеграл(0,беск)[ t^(y-1) * e^(-t) ]dt

Свойство:
Г(n+1) = n!, N э n;

UgN>Надоело мне мозгами скрипеть, пусть комп думает — он железный.

И вообще, это мой ответ тем, кто наезжает на форум, считая его "не про программирование"

Здравствуйте, UgN, Вы писали:

UgN>Надоело мне мозгами скрипеть, пусть комп думает — он железный.

Маньяк Даёт оно одну вторую-то?

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

P>>>Можно поставить задачу о быстрейшем поражении цели, если её дальнейшее движение неизвестно, а предыдущее дало некую статистику.

К>>Это неправда.
К>>Нет никакого коэффициента дикости. Есть следящие системы первого и второго порядков.
К>>Собака — следит только за положением цели, а волк — еще и за скоростью.

P>Ещё раз пытаюсь сформулировать задачу.

P>

P>Есть собака, она бегает по-собачьи.
P>Есть волк, он соответственно по-волчьи.
P>Есть куча слепых зайцев.
P>Выпускаем первого зайца, он начинает бегать как попало.
P>Бегает долго, мы все наблюдаем.
P>В произвольный момент спускаем с поводков волка и собаку.
P>Кто раньше схватит?
P>Делаем так 100 раз, смотрим статистику.
P>Делаем выводы о предпочтительности стратегии.
P>(Мне кажется, это зависит от манеры бегать зайца.
P>Для оленя или велосипедиста может оказаться иначе.)
P>Думаем, какую программу заложить в робота, 
P>чтобы он делал их обоих в большинстве случаев.
P>

Сделать следящую систему третьего порядка, которая будет учитывать и изменение скорости (ускорение). Эта стратегия будет выигрышной (по сравнению с собачей и волчей) в том случае, если положение зайца описывается кривой второго порядка. (что, кстати, не мешало бы доказать.) Если кривая более высокого порядка, что надо учитывать и изменение ускорения и изменение изменения ускорения и т.д.

Вообще-то волчья стратегия в большинстве случаев более оптимальна, чем собачья, поскольку основывается на предположении, что заяц бежит прямолинейно с постоянной скоростью (в отличии от собачьего предположения, что заяц сидит на месте и не двигается). Хотя, конечно, можно придумать такой заячий маршрут, при котором собака догонит зайца быстрее, чем волк, но мне также кажется, что с таким же успехом можно придумать и такой, при котором, стратегия "сидеть на месте и ждать, когда заяц прибежит сам", будет более оптимальнее, чем волчья и собачья вместе взятые.

--
Дмитрий

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

UgN>Надоело мне мозгами скрипеть, пусть комп думает — он железный.

P>Маньяк Даёт оно одну вторую-то?

А ты думаешь, я ее откуда взял???

Привет, Димчанский!

Д>А ниже можно посмотреть на траектории движения ежей.
Д>

Ежик выбежал вертикально вверх.
Под каким углом он встретится с другими?
Т.е. к чему стремится угол поворота его носика при приближении к месту встречи?

Здравствуйте, Apapa, Вы писали:

A>Ежик выбежал вертикально вверх.
A>Под каким углом он встретится с другими?
A>Т.е. к чему стремится угол поворота его носика при приближении к месту встречи?
A>

По идее они встретятся как бы "лицом в бок", т.е. друг относительно друга их носики будут под углом 90 градусов.
Если смотреть на результаты расчётов и посмотреть вектор скорости для каждого ежа, то получается:

1 еж:
  начальные координаты: (0.5;0.5)
  начальный вектор скорсоти: (0;-1)
  конечный вектор скорости: (-0.0734;0.9973) ~ (0;1)
2 еж:
  начальные координаты: (0.5;-0.5)
  начальный вектор скорсоти: (-1;0)
  конечный вектор скорости: (0.9973; 0.0734) ~ (1;0)
3 еж:
  начальные координаты: (-0.5;-0.5)
  начальный вектор скорсоти: (0;1)
  конечный вектор скорости: (0.0734;-0.9973) ~ (0;-1)
4 еж:
  начальные координаты: (-0.5;0.5)
  начальный вектор скорсоти: (1;0)
  конечный вектор скорости: (-0.9973;-0.0734) ~ (-1;0)

Т.е. в конце-концов ежи будут смотреть в противоположную сторону от начального положения.

Привет, Димчанский!

Д>Т.е. в конце-концов ежи будут смотреть в противоположную сторону от начального положения.

А если без Mathcad-а?

Здравствуйте, UgN, Вы писали:

Д>Вообще-то волчья стратегия в большинстве случаев более оптимальна, чем собачья, поскольку основывается на предположении, что заяц бежит прямолинейно с постоянной скоростью (в отличии от собачьего предположения, что заяц сидит на месте и не двигается). Хотя, конечно, можно придумать такой заячий маршрут, при котором собака догонит зайца быстрее, чем волк, но мне также кажется, что с таким же успехом можно придумать и такой, при котором, стратегия "сидеть на месте и ждать, когда заяц прибежит сам", будет более оптимальнее, чем волчья и собачья вместе взятые.

UgN>Это уже будет китайская стратегия: сидеть на берегу реки и ждать, пока труп твоего врага проплывет мимо.

Между прочим, это следящая система нулевого порядка.
Просто взять и положить, что дистанция равна нулю (здесь — за счет врага). И вообще положить.

Здравствуйте, Apapa, Вы писали:

A>Будем оптимистами! Ежа поместим в центр вселенной (0; 0). Ежиху в (1; 0).

Кстати саму кривую в этой системе тоже легко получить.
Правда для этого уже придётся решить простенькое диф.уравнение.
(Я правда в центр помещал ежиху, а искал кривую для ежа )

Привет, Pushkin!

P>Кстати саму кривую в этой системе тоже легко получить.
Ты имеешь в виду параболу 0,5 * (1 — х^2)?

P>Правда для этого уже придётся решить простенькое диф.уравнение.
P>(Я правда в центр помещал ежиху, а искал кривую для ежа )
Pushkin и женщины...

Здравствуйте, Apapa, Вы писали:

P>Кстати саму кривую в этой системе тоже легко получить.
A>Ты имеешь в виду параболу 0,5 * (1 — х^2)?

Угу
Я правда её в полярном виде получил

r = 0.5 / (1+cos(fi))

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Ты уверен, что за конечное?
Ясно что за бесконечное.
Надо было уточнить — задать достигаемый порог отклонения от прямой.
Просто интересна сама модель движения.

Здравствуйте, Apapa, Вы писали:
Д>Т.е. в конце-концов ежи будут смотреть в противоположную сторону от начального положения.
A>А если без Mathcad-а?

Без MatLab-a получается, что не совсем это так. Точнее совсем не так!
В принципе, и MatLab показывает графически, что это неверное утверждение.
Позабыл я механику и диференциальные уравнения, математика-то видно — не сложная. Вспомнить бы основы. А то как в анекдоте получается:
на 1-ом курсе математики:
— Сколько будет 2x2?
Мгновенно:
— 4!
на 2-ом курсе математики:
— Сколько будет 2x2?
Подумали, почесали голову:
— 4!
на 3-ем курсе математики:
— Сколько будет 2x2?
Достали книжки, посмотрели аксиоматику, вспомнили:
— 4!
на 4-ом курсе математики:
— Сколько будет 2x2?
Достали калькуляторы, посчитали:
— 4!
на 5-ом курсе математики:
— Сколько будет 2x2?
Мгновенно:
— Мы вам что — физики, все константы помнить?!

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>Кстати, а нельзя ль что-то подобное для собаки и волка изобразить У меня нет маткада...

А что это за задача? Скажите условия, посмотрим, что получится.

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:


К>Кстати, а нельзя ль что-то подобное для собаки и волка изобразить У меня нет маткада...

При такой траектории движения цели разницу между волком и собакой не видно.




Нарисовано в Excel.
Получено с помощью этого.

Параметры:

Target velocity = 10
Missile velocity = 20
Starting distance = 100
TimeTick = 0.01
Threshold = 0.000001
--------------------------
Total time ~= 6.68

Здравствуйте, UgN, Вы писали:

UgN>Здравствуйте, Кодт, Вы писали:


К>Кстати, а нельзя ль что-то подобное для собаки и волка изобразить У меня нет маткада...

UgN>При такой траектории движения цели разницу между волком и собакой не видно.

А что ты называешь волком?
Настоящий волк бежит по прямой.

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

UgN>При такой траектории движения цели разницу между волком и собакой не видно.

P>А что ты называешь волком?
P>Настоящий волк бежит по прямой.

Упс. Значит у меня не настоящий волк.

Здравствуйте, UgN, Вы писали:

К>Кстати, а нельзя ль что-то подобное для собаки и волка изобразить У меня нет маткада...

UgN>При такой траектории движения цели разницу между волком и собакой не видно.

Когда цель движется по прямой — это не прикольно. Вот если хотя бы по синусоиде... (типа — противоракетный маневр).

Пожалуй, попробую сам — на эхеле.

UgN>template < class T >
UgN>class Missile : public Mobile < T > 
UgN>{
UgN>public:
UgN>    Missile( T x, T y, T v ) : Mobile < T >( Point< T >( x, y ), Point< T >( 0, 1 ), v ){};
UgN>    void Aim( const Point < T > & p )
UgN>    {
UgN>        T x = p.GetX() - m_coord.GetX();
UgN>        T y = p.GetY() - m_coord.GetY();


            char xsign = ( x < 0 ) ? -1 : 1;
            char ysign = ( y < 0 ) ? -1 : 1;
            if( y != 0 )
            {
                T k = x / y;
                y = sqrt( 1 / ( k*k + 1 ) );
                x = sqrt( 1 - 1 / ( k*k + 1 ) );
            }
            else
            {
                x = 1;
            };
    
            m_direction.SetX( x * xsign );
            m_direction.SetY( y * ysign );
       }
UgN>};

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Здравствуйте, Apapa, Вы писали:

A>>Т.е. к чему стремится угол поворота его носика при приближении к месту встречи?

P>Думаю, ни к чему. Бесконечно много оборотов сделает.
P>Малый угол поворота равен отношению пути пройденного соседом dx к расстоянию до него (1-t). Но интеграл от нуля до единицы от dx/(1-t) расходится в единице.

Вопрос напоминет задачку про сумасшедшую муху, которая летает между лбами двух весёлопедистов, пока они (весёлопедисты) ими (лбами) не встретятся.
Спрашивается, куда будет повёрнута мухья морда в момент этого радостного события? Правильно, от бесконечного количества поворотов за конечное время, голова у мухи так закружиться, что ... а, кстати, куда???

Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

M>Таким образом, лучшая стратегия для собаки (и волка) — сидеть и ждать, обучая
M>охотника логике, а также народным песням своей страны..., пока заяц сам не
M>найдет своих преследователей и не совершит ритуальное самоосвежевание
M>прямо у них на глазах.
M>

А для зенитного комплекса — пока противорадарный снаряд сам не прилетит и не взорвется к е.м.

К>Здравствуйте, UgN, Вы писали:
К>Когда цель движется по прямой — это не прикольно. Вот если хотя бы по синусоиде... (типа — противоракетный маневр).
К>Пожалуй, попробую сам — на эхеле.

Попытаюсь описать, что мне хотелось бы.

Жертва бегает по кругу радиуса R.
Хищник стартует из точки, отстоящей от центра круга на L.
Скорость хищника в A раз больше.

1) За какое время в среднем догонит жертву собака (бежит строго на жертву).
   Cреднее нужно потому что собаку можно спускать с поводка в разные моменты.

2) То же самое для волка (он смотрит на вектор скорости жертвы, 
   строит треугольник и бежит в точку предполагаемой встречи).

3) Я думаю, что для L>>R собака будет побеждать. А для L~R возможно волк. 

4) Если сделать мутанта (который бежит к середине отрезка между 
   текущим положением жертвы и точкой предполагаемой встречи) 
   Возможно он будет круче родителей.

5) Сделать супер-мутанта, чтоб бежал не к половине, 
   а к k-той доле отрезка. Найти оптимальное k. Как оно зависит от L/R ?

6) Сделать супер-пупер-мутанта, у которого k зависит от времени 
   (думаю вначале собака, в конце почти волк). Это будет та ещё зверюга :)

Может найдётся неленивый человек, который всё это сделает, а?

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Вот несколько задач разной степени сложности и известноси.

P>1) Сначала простая и довольно известная, но изящная.
P>В углах квадрата со стороной 1 сидят 4 ёжика. В некий момент времени каждый начинает ползти со скоростью 1 в сторону своего соседа по часовой стрелки. Все движутся — все направления тоже меняются, всё время на соседа. Через какое время ёжики встретятся?

Ошибка в условии. Если задача чисто математическая и ежиков принять за математические точки, то они никогда не встретятся, только будут бесконечно приближатся друг к другу

Здравствуйте, Cat, Вы писали:
Cat>Ошибка в условии. Если задача чисто математическая и ежиков принять за математические точки, то они никогда не встретятся, только будут бесконечно приближатся друг к другу

Это почему же не встретятся?

Здравствуйте, Cat, Вы писали:

Cat>Ошибка в условии. Если задача чисто математическая и ежиков принять за математические точки, то они никогда не встретятся, только будут бесконечно приближатся друг к другу

Встретятся, встретятся. За конечное время, совешив бесконечное число оборотов вокруг центра. Такие вот ежики гордые птицы

Задолбали все.
Ответы говорите, и концы в воду