Вот несколько задач разной степени сложности и известноси.
1) Сначала простая и довольно известная, но изящная.
В углах квадрата со стороной 1 сидят 4 ёжика. В некий момент времени каждый начинает ползти со скоростью 1 в сторону своего соседа по часовой стрелки. Все движутся — все направления тоже меняются, всё время на соседа. Через какое время ёжики встретятся?
2) Для тех, кто знал предыдущую задачу.
Сделать то же самое для правильного N-угольника. Простые ответы получаются для N=2,3,4,6 ёжиков, а также для N>>1
3) Эта кажется существенно сложнее. На самом деле решение удивительно простое.
Сидит ёжик. Мимо ползёт ежиха. В момент наибольшего сближения ёжик стартует в сторону ежихи и далее всё время держит курс строго на неё. Скорости одинаковые. Во сколько раз ёж сократит исходное расстояние?
4) Ну и наконец практическая задача (по заказу иракских ПВО ).
Если еж бежит быстрее ежихи, то за какое время он её догонит? (начальное расстояние и обе стороны даны, стартует по-прежнему в момент наибольшего сближения, держит курс строго на неё)
У первой и второй задач условие не понял
P>3) Эта кажется существенно сложнее. На самом деле решение удивительно простое. P>Сидит ёжик. Мимо ползёт ежиха. В момент наибольшего сближения ёжик стартует в сторону ежихи и далее всё время держит курс строго на неё. Скорости одинаковые. Во сколько раз ёж сократит исходное расстояние?
P>>3) Эта кажется существенно сложнее. На самом деле решение удивительно простое. P>>Сидит ёжик. Мимо ползёт ежиха. В момент наибольшего сближения ёжик стартует в сторону ежихи и далее всё время держит курс строго на неё. Скорости одинаковые. Во сколько раз ёж сократит исходное расстояние?
UgN>0,1893 UgN>???
Сократить в 0.1893 реально означает увеличить
В любом случае не-а, неверные цифры.
P>2) Для тех, кто знал предыдущую задачу. P>Сделать то же самое для правильного N-угольника. Простые ответы получаются для N=2,3,4,6 ёжиков, а также для N>>1
UgN> UgN>L — начальное расстояние UgN>V1 — скорость "Ежа" UgN>V2 — скорость цели
А если ежиха стоит на месте?
UgN>Кстати, так цель догоняют собаки. UgN>Волки бегут с упреждением.
Да, и называеся это "собачья кривая"
Волки вообще самых сильных в засаду сажают.
Недавно передачу смотрел — красавцы!
Для всех сомневающихся ещё раз скажу.
У меня есть простое решение для всех задач.
Без интегралов и производных.
Т.е. понимать что такое производная надо бы.
Но это уровень продвинутого школьника.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Вот несколько задач разной степени сложности и известноси.
P>1) Сначала простая и довольно известная, но изящная. P>В углах квадрата со стороной 1 сидят 4 ёжика. В некий момент времени каждый начинает ползти со скоростью 1 в сторону своего соседа по часовой стрелки. Все движутся — все направления тоже меняются, всё время на соседа. Через какое время ёжики встретятся?
ИМХО, для первой задачи действительно просто
Так как ёжики двигаются перпендикулярно траектории преследуемого, то время до встречи равно первоначальному расстоянию / скорость, т.е. 1.
Здравствуйте, UgN, Вы писали:
UgN>Кстати, так цель догоняют собаки. UgN>Волки бегут с упреждением.
Кстати, зенитные ракеты тоже придерживаются либо собачьей, либо волчьей стратегии.
Неуправляемые (стингеры, иглы, воздух-воздух) — собачьи. Управляемые (С300, патриоты) — волчьи.
Причем волчью стратегию выбирают еще и потому, что в ней возникают гораздо меньшие боковые перегрузки.
А они ограничены и прочностью ракеты, и ее маневренностью.
Привет, Pushkin!
P>Вот несколько задач разной степени сложности и известноси.
P>1) Сначала простая и довольно известная, но изящная. P>В углах квадрата со стороной 1 сидят 4 ёжика. В некий момент времени каждый начинает ползти со скоростью 1 в сторону своего соседа по часовой стрелки. Все движутся — все направления тоже меняются, всё время на соседа. Через какое время ёжики встретятся?
В силу симметрии ежики всегда в углах квадрата и ползут со скоростью 1 к соседу, ползущему перпендикулярно. Т.о. через 1 они встретятся. Кто не верит, тот может проверить, что сторона квадрата уменьшается с постоянной скоростью -1.
P>2) Для тех, кто знал предыдущую задачу.
Я не знал... Но догадался! P>Сделать то же самое для правильного N-угольника. Простые ответы получаются для N=2,3,4,6 ёжиков, а также для N>>1
У правильного N-угольника углы равны (N-2)/N*pi, дополнение до pi — 2pi/N, скорость сближения 1 — cos(2pi/N), время до сближения (1-cos(2pi/N))^-1 = 0.5 / (sin pi/N)^2.
N t
2 1/2
3 2/3
4 1
6 2
12 4+2*sqrt(3) (7.464)
Если N>>1, то около 0.5 * N^2/pi^2
Например, если N=12, то около 72/pi^2 = 7.3
Есть N-1 ежиков и одна ежиха на одной прямой через промежутки 1. Ежиха начинает и двигается постоянно перпендикулярно прямой. Каждый ежик движется по "собачей стратегии" за следующим. Через какое время они все снова окажутся на одной прямой?
Товарищъ Пушкинъ, а не могли бы вы опубликовать численные ответы на 3 и 4 задачу?
Для первой дробь, для второй V1, V2, L, T...
Тогда можно будет самостоятельно убедиться, что задачи решены неверно
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Кстати, зенитные ракеты тоже придерживаются либо собачьей, либо волчьей стратегии. К>Неуправляемые (стингеры, иглы, воздух-воздух) — собачьи. Управляемые (С300, патриоты) — волчьи.
К>Причем волчью стратегию выбирают еще и потому, что в ней возникают гораздо меньшие боковые перегрузки. К>А они ограничены и прочностью ракеты, и ее маневренностью.
Ясно, что есть некий коэффициент дикости
При к=0 ракета ведёт себя по собачьи.
При к=1 — как самый дикий волк. А именно летит строго по прямой в место предполагаемой встречи с жертвой.
Если жертва — пассажирский самолёт (привет соседям ), то выгоднее дикий вариант, а если она всё время увёртывается, то нет смысла лететь черти-куда, жертва всё равно туда не полетит, поэтому выгоден собачий. В реальных задачах наверное используется некая смесь 0<k<1, т.е упреждают на некую долю.
Можно поставить задачу о быстрейшем поражении цели, если её дальнейшее движение неизвестно, а предыдущее дало некую статистику. Мне кажется (из размерности), что оптимальный коэффициент должен меняться в процессе полёта. Что-нибудь типа:
Здравствуйте, IO, Вы писали:
IO>Есть N-1 ежиков и одна ежиха на одной прямой через промежутки 1. Ежиха начинает и двигается постоянно перпендикулярно прямой. Каждый ежик движется по "собачей стратегии" за следующим. Через какое время они все снова окажутся на одной прямой?
P>3) Эта кажется существенно сложнее. На самом деле решение удивительно простое. P>Сидит ёжик. Мимо ползёт ежиха. В момент наибольшего сближения ёжик стартует в сторону ежихи и далее всё время держит курс строго на неё. Скорости одинаковые. Во сколько раз ёж сократит исходное расстояние?
Рассмотрим движение ежа относительно ежихи, при произвольном положении ежа. Раасмотрим равнобедренный треугольник одна из сторон которого совпадает с отрезком еж-ежиха, а вторая лежит на прямой, по которой ползет ежиха. Тогда можно заметить, что высота (она же медиана) этого треугольника проведенная от ежихи не уменьшается. Отсюда ответ:
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, IO, Вы писали:
IO>>Есть N-1 ежиков и одна ежиха на одной прямой через промежутки 1. Ежиха начинает и двигается постоянно перпендикулярно прямой. Каждый ежик движется по "собачей стратегии" за следующим. Через какое время они все снова окажутся на одной прямой?
P>Ты уверен, что за конечное?
Конечное, конечное. Проверено.
Полный ответ: Все ёжики снова окажутся на одной прямой за время Т = 2, где 2 стремится к бесконечности.
Здравствуйте, UgN, Вы писали:
UgN>Товарищъ Пушкинъ, а не могли бы вы опубликовать численные ответы на 3 и 4 задачу? UgN>Для первой дробь, для второй V1, V2, L, T... UgN>Тогда можно будет самостоятельно убедиться, что задачи решены неверно
Давай чуть позже. Вдруг кто-нить сам получит.
Тем более, что ответ в задаче 3 слишком прост, чтобы его публиковать
Что касается задачи 4, то там проверке сильно помогают частные случаи V1=0 и V1=V2.