Одна из веток в соседнем форуме натолкнула меня на любопытный факт. Я его до этого о нем не знал, т.ч. может даже новую задачу придумал .
Возьмем произвольный треугольник. Из множества прямоугольников таких, что треугольник лежит внутри прямоугольника выберем прямоугольник с наименьшей площадью. Чему равна площадь этого прямоугольника, если площадь треугольника равна S?
1) Функция площади как попало описанного прямоугольника вокруг треугольника есть непрерывная функция от угла поворота его стенок.
2) Пусть одна из сторон прямоугольника совпадает с одной из сторон треугольника(если быть точным, то включает сторону треугольника, когда треугольник тупоугольный)
3) Слегка пошевелив угол наклона прямоугольника (здесь как раз "более-менее убедительное доказательство" ), его площадь слегка увеличится. Следовательно, случай, когда одна из сторон прямоугольника совпадает с одной из сторон треугольника (с поправкой), есть локальный минимум функции площади от угла поворота.
4) Теперь необходимо рассмотреть случаи остроугольных (включая прямоугольные) треугольников и отдельно тупоугольные.
4.1) Остроугольные треугольники. Для любой из сторон треугольника длины L, площать прямоугольника будет равна L * H, где H — высота треугольника к этой стороне, и равна, очевидно, 2S.
4.1) Тупоугольные треугольники. Площадь прямоугольника, лежащего на стороне противоположной тупому углу, будет меньше площади прямоугольников, лежащего на сторонах прилегающих к тупому углу, и опять же равна 2S (Что тоже вполне очевидно)
____________
| /|
| * / | H
|__*_L__/_X|
здесь площадь прямоугольника равна (L + X) * H > L * H = 2S
Если какая-то из сторон прямоугольника не содержит вершины треугольника, то прямоугольник можно очевидно уменьшить. Так как сторон у прямоугольника 4, а вершин у треугольника только 3, одна из вершин треугольника обязательно попадает в угол прямоугольника. Таким образом, ниже нарисован самый общий вид.
Посчитаем "лишнюю" площадь (вне треугольника, но внутри прямоугольника).
S = 1/2*( ax + (b-x)(a-y) + by ) = 1/2*( ab + xy)
Так как x и y очевидно положительны, эта величина имеет минимальное значение при (x==0 || y==0) и оно равно ab/2.
Таким образом мы доказали, что в прямоугольник площадью S можно вписать треугольник площадью S/2 и нельзя вписать бОльший треугольник.
Теперь наоборот, пусть у нас есть треугольник S. Если бы вокруг него можно было бы описать прямоугольник меньше, чем 2S, это противоречило бы только что доказанному. А 2S описать очевидно можно — на любой из сторон (для тупоугольного — только на наибольшей).
Док-во:
Вместо того, чтобы описывать треугольник прямоугольником, будем вписывать в прямоугольник треугольник и искать соответсвенно наибольший треугольник
Очевидно, что одна из вершин наибольшего треугольника лежит в вершине прямоугольника (в противном случае мы можем промасштабировать треугольник вдоль одной из сторон прямоугольника, тем самым увеличив его площадь):
Посчитаем площадь подобного треугольника:
тр = a*b — a*b2/2 — a2*b1/2 — a1*b/2 = a*b — a*b2/2 — (a-a1)*(b-b2)/2 — a1*b/2 = a*b/2 — a1*b2/2 <= ab/2
и равенство достигается при а1 или b2 равных 0
значит, min площадь описанного прямоугольника = 2S
Осталось показать, что такой прямоуг существует:
Возьмем самый большой угол треугольника: противоположная сторона будет одной стороной описывающего прямоугольника, а его высота (треуг) равна длине другой стороны прямоугольника
P>Если какая-то из сторон прямоугольника не содержит вершины треугольника, то прямоугольник можно очевидно уменьшить. Так как сторон у прямоугольника 4, а вершин у треугольника только 3, одна из вершин треугольника обязательно попадает в угол прямоугольника. Таким образом, ниже нарисован самый общий вид.
P>
Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
MP>Одна из веток в соседнем форуме натолкнула меня на любопытный факт. Я его до этого о нем не знал, т.ч. может даже новую задачу придумал .
MP>Возьмем произвольный треугольник. Из множества прямоугольников таких, что треугольник лежит внутри прямоугольника выберем прямоугольник с наименьшей площадью. Чему равна площадь этого прямоугольника, если площадь треугольника равна S?
Все-таки приведу одно из своих решений
Оно мне нравится полным отсутствием промежуточных формул и тем, что более общую задачу оказалось доказать легче чем частную!
Будем доказывать для более общего случая — для параллелограмма.
Раасуждение Pushkin-а о том, что на каждая сторона параллелограмма должна содержать вершину треугольника годится и в этом случае.
Далее возможны два варианта:
1.
Если мы "сдвинем" сторону y влево до "слияния" стороны b со стороной треугольника, зафиксировав сторону a, то площадь параллелограмма не изменится, а сторону x, после этого мы можем переместить вправо, уменьшив площадь. В этом случае одна сторона праллелограмма совпадает со стороной треугольника и площадь равна 2*S. Для прямоугольника доказать аналогичное утверждение (о совпадении сторон) гораздо сложнее!
2.
Этот случай нам уже неинтересен, т.к. в нем площадь всегда больше или равна 2*S
Таким образом мы доказали это утверждение для параллелограмма. А то, что можно постороить прямоугольник с такой площадью доакзано всеми отвечавшими на данный вопрос.
.
Унылая, пора...
