Ещё один вопрос, однажды зашедший в голову, кажется мне ужасно смешным.

Чему примерно равно i^i ( i — мнимая единица, ^ — возведение в степень)?

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Ещё один вопрос, однажды зашедший в голову, кажется мне ужасно смешным.

P>

P>Чему примерно равно i^i ( i — мнимая единица, ^ — возведение в степень)?

i^i = (e^(i*pi/2))^i = e^(i^2*pi/2) = e^(-pi/2)

Кстати, отсюда есть любопытное следствие: так как

e^i=(-i*i*e)^i=i^i * (-1)^i * e^i => i^i=(-1)^(-i),

то

e^(-pi/2) = (-1)^(-i) и (-1)^i=e^(pi/2).

Slicer

Здравствуйте, Lexey, Вы писали:

L>i^i = (e^(i*pi/2))^i = e^(i^2*pi/2) = e^(-pi/2)

Но чуть чуть до конца ты не довёл — я спрашивал примерно.
Итоговый замечательный ответ выглядит так:

i^i ~ 0.207

Кто бы мог подумать...

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Ещё один вопрос, однажды зашедший в голову, кажется мне ужасно смешным.

P>

P>Чему примерно равно i^i ( i — мнимая единица, ^ — возведение в степень)?

Смешной вопрос, в самом деле. Я всегда думал, что i соответствует точке (0;1).
Или вы хотите выразить комплексное число действительным?

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Итоговый замечательный ответ выглядит так: i^i ~ 0.207
P>Кто бы мог подумать...

ИМХО, красивее i^i ~ 0.2 или 1/5 (одна пятая).

Здравствуйте, Vi2, Вы писали:

P>>Итоговый замечательный ответ выглядит так: i^i ~ 0.207
Vi2>ИМХО, красивее i^i ~ 0.2 или 1/5 (одна пятая).

Ну это как кому нравится Мне с тремя знаками ответ кажется более диким
А если 0.2, то может и правда возникнуть подозрение, что оно рациональное

Кстати, недавно узнал, что иррациональность числа 2^sqrt(2) доказана только в XX веке. Чудеса

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Здравствуйте, Vi2, Вы писали:

P>>>Итоговый замечательный ответ выглядит так: i^i ~ 0.207
Vi2>>ИМХО, красивее i^i ~ 0.2 или 1/5 (одна пятая).

P>Ну это как кому нравится Мне с тремя знаками ответ кажется более диким
P>А если 0.2, то может и правда возникнуть подозрение, что оно рациональное

P>Кстати, недавно узнал, что иррациональность числа 2^sqrt(2) доказана только в XX веке. Чудеса

А я сегодня узнал ... чудо...

Может ли иррациональное число в степени иррационального числа быть рациональным числом?

Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

P>>Кстати, недавно узнал, что иррациональность числа 2^sqrt(2) доказана только в XX веке. Чудеса
M>А я сегодня узнал ... чудо...
M>Может ли иррациональное число в степени иррационального числа быть рациональным числом?

Ежу ясно, что нет! Практически очевидно, что не может бытьи алгебраическим. А вот поди ж ты, ещё великий Гильберт включил это в свой список "вызывающих проблем". Сейчас уже доказали и то и другое, но только "после появления новых мощных методов". Не помню у кого я это читал... наверно всё тот же Куррант-Робинс, последнее время любимая книжка — компетентность жуткая и в то же время без зауми.

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

P>>>Кстати, недавно узнал, что иррациональность числа 2^sqrt(2) доказана только в XX веке. Чудеса
M>>А я сегодня узнал ... чудо...
M>>Может ли иррациональное число в степени иррационального числа быть рациональным числом?

P>Ежу ясно, что нет! Практически очевидно, что не может бытьи алгебраическим.

Ну что ж. Проверяем.

sqrt(2) ^ sqrt(2) — либо иррациональное, либо нет.
Если рациональное, то вопрос закрыт.
Если нет, то рассмотрим другое выражение

(sqrt(2) ^ sqrt(2)) ^ sqrt(2) = sqrt(2) ^ (sqrt(2) * sqrt(2)) = sqrt(2) ^ 2 = 2



Это решение одного школьника на задачу в журнале "Квант".
Замечательно, что не дан ответ на вопрос рационально ли sqrt(2) ^ sqrt(2) (!!!), но
те не менее дан ответ на "Может ли иррациональное число в степени иррационального
числа быть рациональным числом"

Я был потрясён.

Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

Извиняюсь, тема сообщения "Re: Кто у кого идеи ворует?" случайно подставилась со старого топика.

Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

Но трансцендентное в степени трансцендентного вероятно всё же трансцендентное, а?

Хотя нет, вру!!! — e^ln2

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Ещё один вопрос, однажды зашедший в голову, кажется мне ужасно смешным.

P>

P>Чему примерно равно i^i ( i — мнимая единица, ^ — возведение в степень)?

i = exp( i * pi / 2 + 2 * i * pi * k ), где k --- произвольное целое.
Тогда i^i = exp( -pi/2 — 2pi * k ).

Получаем счетный набор чисел!

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

P>>>Кстати, недавно узнал, что иррациональность числа 2^sqrt(2) доказана только в XX веке. Чудеса
M>>А я сегодня узнал ... чудо...
M>>Может ли иррациональное число в степени иррационального числа быть рациональным числом?

P>Ежу ясно, что нет! Практически очевидно, что не может бытьи алгебраическим. А вот поди ж ты, ещё великий Гильберт включил это в свой список "вызывающих проблем". Сейчас уже доказали и то и другое, но только "после появления новых мощных методов". Не помню у кого я это читал... наверно всё тот же Куррант-Робинс, последнее время любимая книжка — компетентность жуткая и в то же время без зауми.

Куррант-Робинс — а можно полную библиоргафию (хотя бы название)?

Здравствуйте, KonstantinA, Вы писали:

KA>i = exp( i * pi / 2 + 2 * i * pi * k ), где k --- произвольное целое.
KA>Тогда i^i = exp( -pi/2 — 2pi * k ).

KA>Получаем счетный набор чисел!

Не говоря уж о том, что a^b = exp(b ln a),
и ln i -- исключительная точка

Кажется, что-то в таком роде называлось "волосы экспоненты"...

Здравствуйте, Wind, Вы писали:

W>Куррант-Робинс — а можно полную библиоргафию (хотя бы название)?

Это два автора. Куррант большой учёный, Роббинс — аспирант(ка).
Название: "Что такое математика?"
Вышла недавно в очередной раз на русском языке.
Очень прилично издана кстати.
Я полгода назад в москве купил за 200 рублей (в библио-глобусе).

Здравствуйте, KonstantinA, Вы писали:

KA>Тогда i^i = exp( -pi/2 — 2pi * k ).
KA>Получаем счетный набор чисел!

Я в шоке. Вот так посмеялись...

Наверное да, степенная функция это ж-па — многолистность и всё такое... Ох давненько ТФКП было...

Здравствуйте, KonstantinA, Вы писали:

KA>Тогда i^i = exp( -pi/2 — 2pi * k ). Получаем счетный набор чисел!

1^i = exp(-2 * pi * k). Аналогично.