Правы оба.
Да, для любого A на (0,1) есть такая функция, но, похоже, только при A=0.5 она достаточно гладкая.
Вот так примерно она выглядит для 0.5:

(фиолетовым цветом — обратная к ней функция)

А вот так для 0.3 и 0.8:



Зная ее значение в одной точке, можно получить значения еще в счетном числе точек.
Если f(x) = t, а g(t) = x (обратная функция), то
f(f(x)) = f(t) = exp(x) = exp(g(t))
т.е. f(t) = exp(g(t)) и g(t) = ln(f(t)).

Функции такие существуют, но в элементарных не выражаются.