Есть генератор случайных чисел с равномерным рапределением в промежутке [A, B]. С его помощью получают N чисел.
Вопрос: Какова вероятность того что сумма этих чисел попадет в промежуток [X, Y]?
A, B, X, Y — Действительные числа.
N — Натуральное.
... << RSDN@Home 1.0 beta 5 >>
Пусть это будет просто:
просто, как только можно,
но не проще.
(C) А. Эйнштейн
Здравствуйте, WolfHound, Вы писали:
WH>Есть генератор случайных чисел с равномерным рапределением в промежутке [A, B]. С его помощью получают N чисел. WH>Вопрос: Какова вероятность того что сумма этих чисел попадет в промежуток [X, Y]? WH>A, B, X, Y — Действительные числа. WH>N — Натуральное.
Здравствуйте, WolfHound, Вы писали:
WH>Есть генератор случайных чисел с равномерным рапределением в промежутке [A, B]. С его помощью получают N чисел. WH>Вопрос: Какова вероятность того что сумма этих чисел попадет в промежуток [X, Y]? WH>A, B, X, Y — Действительные числа. WH>N — Натуральное.
Можно избавиться от A и B.
Генератор чисел [0,1]
Какова вероятность того, что сумма N чисел попадет в [x,y],
x = (X-N*A)/(B-A)
y = (Y-N*A)/(B-A)
Очевидно, что сумма N чисел в [0,1] лежит на отрезке [0,N]. Также очевидно, что плотность вероятности симметрична относительно центра этого отрезка.
Еще раз модифицируем задачу.
Генератор чисел [-1,+1]. Сумма s лежит на отрезке [-N,+N]
x = (X-N*(A+B)/2)/(B-A)*2
y = аналогично
Теперь плотность вероятности симметрична относительно s=0.
График ее — кривая порядка N-1, (в случае нечетных степеней — есть перелом в точке 0)
Следовательно, вероятность попадания на [x,y] — интеграл от плотности вероятности — есть функция степени N.
Если (B*N<X)||(Y<A*N) то вероятность 0
Если (X<A*N)&&(B*N<Y) то вероятность 1
Если (A*N<X)&&(Y<B*N) то вероятность (Y-X)/(B*N-A*N)
Если (A*N<X)&&(B*N<Y) то вероятность (B*N-X)/(B*N-A*N)
Если (X<A*N)&&(Y<B*N) то вероятность (Y-A*N)/(B*N-A*N)
... << RSDN@Home 1.0 beta 5 >>
Пусть это будет просто:
просто, как только можно,
но не проще.
(C) А. Эйнштейн
Здравствуйте, WolfHound, Вы писали:
WH>Есть генератор случайных чисел с равномерным рапределением в промежутке [A, B]. С его помощью получают N чисел. WH>Вопрос: Какова вероятность того что сумма этих чисел попадет в промежуток [X, Y]? WH>A, B, X, Y — Действительные числа. WH>N — Натуральное.
Если генератор равномерный, то, при достаточно большом N,
сумма чисел будет стремиться к
A + B
----- * N
2
А вот вероятность будет зависеть от заданных Х и Y.
Как посчитать не знаю.
В целом, имхо, график будет похож на нормальное распределение...
Les>Во-первых, в условии имеет место интервал, так что при X=Y p не 0. Мелочь, но .
Задача в действительных числах. При X=Y мы получаем точку. На любом отрезке бесконечное количество точек. Итого 1/oo=0.
Les>Во-вторых, бросаем две игральные кости: Les>A=1 Les>B=6 Les>N=2
А где X, Y? Les>Считаем по вашей формуле Les>a) вероятность суммы 3 Les>б) вероятность суммы 7
Какой суммы? В чем вероятность? Les>Получаем одинаковые результаты.
Чтоб я понял какие результаты? ты условие хорошо прочитал? Les>Надо объяснять, что это неправильно?
Потрудись пожалуйста.
ЗЫ Есть тут один(не будем показывать пальцем)любил к моим постам цеплятья...
ЗЗЫ Я не против критики если она обоснована.
... << RSDN@Home 1.0 beta 5 >>
Пусть это будет просто:
просто, как только можно,
но не проще.
(C) А. Эйнштейн
Здравствуйте, WolfHound, Вы писали:
WH> WH>ты условие хорошо прочитал? WH>Потрудись пожалуйста. WH>ЗЫ Есть тут один(не будем показывать пальцем)любил к моим постам цеплятья...
Как модератор этого форума указываю вам на излишнюю резкость ваших высказываний.
Как человек, в своё время изучавший теорвер и статфизику, уверяю вас, что ваши ответы неверны. Это легко увидеть в двух частных случаях — N=2 и N>>1. Первый из них легко решается геометрически, а второй — хорошо известное распределение Гаусса (в интеграл ошибок ваши формулы точно не переходят). Более того, думаю (хотя здесь я уверен меньше), что этими двумя частными случаями и исчерпывается множество точных решений — для всех остальных N похоже грозит неподъёмная мутота с интегралами.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Как человек, в своё время изучавший теорвер и статфизику, уверяю вас, что ваши ответы неверны. Это легко увидеть в двух частных случаях — N=2 и N>>1. Первый из них легко решается геометрически, а второй — хорошо известное распределение Гаусса (в интеграл ошибок ваши формулы точно не переходят). Более того, думаю (хотя здесь я уверен меньше), что этими двумя частными случаями и исчерпывается множество точных решений — для всех остальных N похоже грозит неподъёмная мутота с интегралами.
Пусть известны функции p[k](x), p[m](x) распределения вероятностей суммы k и m чисел (на отрезке [0,1]) соответственно.
p[1] — ступенчатая функция, на отрезке [0,1] равна 1, за пределами — 0.
Если p[k], p[m] — кусочно-полиномиальные, степени k-1, m-1 соответственно, то p[k+m] — кусочно-полиномиальная, степени k+m-1.
В общем, p[2] — это домик (ломаная линия)
x<=0 : p=0
x<=1 : p=x
x<=2 : p=2-x x>=2 : p=0
p[3] получится сверткой p[1] и p[2], но мне лень выписывать... В итоге мы имеем четыре кусочка параболы.
Количество кусочков p[n] (не считая плато 0 слева и справа) равно 2^n, это несложно вывести из формулы свертки.
Поэтому, скажем, до n=4...6 еще можно , а потом
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Поэтому, скажем, до n=4...6 еще можно , а потом
Помнится, классе в пятом получил большое удовольствие, возведя ручками 2^160 (49 десятичных знаков, уместилось на развороте тетрадного листка). Думаю, здесь удовольствие для таких же маньяков Хотя возможно есть рекуррентная формула...
Здравствуйте, WolfHound, Вы писали:
WH>Вот придумалось.
WH>Есть генератор случайных чисел с равномерным рапределением в промежутке [A, B]. С его помощью получают N чисел. WH>Вопрос: Какова вероятность того что сумма этих чисел попадет в промежуток [X, Y]? WH>A, B, X, Y — Действительные числа. WH>N — Натуральное.
По рабочим обстоятельствам не мог активно участвовать в обсуждении, но на досуге немного подумал.
Что свертку надо сделать, как и Кодт
, догадался быстро... Даже пошел дальше, заменил свертку произведением через преобразование Фурье. Но, когда надо было сделать обратное преобразование Фурье от sinc^n (sin(x)/x)^n — сломался.
А сегодня решил посмотреть на недавно мною найденном, но уже горячо любимом ресурсе. И нашел решение! Опять же — ближе всего оказался Кодт
Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
MP>По рабочим обстоятельствам не мог активно участвовать в обсуждении, но на досуге немного подумал. MP>А сегодня решил посмотреть на недавно мною найденном, но уже горячо любимом ресурсе. И нашел решение!
Знать, где найти — самое ценное знание
А кстати (раз уж зашёл ), может подумаешь (немного ) и ещё над одним вопросом Кодта а именно №7
Здравствуйте, WolfHound, Вы писали:
WH>Здравствуйте, Les, Вы писали:
Les>>но не правильно WH> Les>>Во-первых, в условии имеет место интервал, так что при X=Y p не 0. Мелочь, но . WH> Задача в действительных числах. При X=Y мы получаем точку. На любом отрезке бесконечное количество точек. Итого 1/oo=0.
Сорри. И ведь специально посмотрел, какие A, B, X, Y. Вижу "действительные" а в голове отпечаталось "целые". Слишком долго дискреткой занимался.
Les>>Во-вторых, бросаем две игральные кости: Les>>A=1 Les>>B=6 Les>>N=2 WH>А где X, Y? Les>>Считаем по вашей формуле Les>>a) вероятность суммы 3 Les>>б) вероятность суммы 7 WH>Какой суммы? В чем вероятность? Les>>Получаем одинаковые результаты. WH>Чтоб я понял какие результаты? ты условие хорошо прочитал? Les>>Надо объяснять, что это неправильно? WH>Потрудись пожалуйста.
Ох-ох-ох. Потружусь. Хотя пример с игральными костями неприменим из-за дискретности, суть не меняется. Посчитанная вами формула для вероятности (Если (A*N<X)&&(Y<B*N) то вероятность (Y-X)/(B*N-A*N)) Зависит только от разности Х и У. В то же время, при N>1 вероятность получить среднее (от A*N и B*N) выше чем получить краевое, вблизи A*N и B*N. Попробую нарисовать график плотности вероятности для >A=0 >B=1 >N=2
|
| /\
| / \
|/ \
--------------
0 1 2
Сравни случаи [0,1] и [.5,1.5]. Площадь под графиком разная, а по твоей формуле должна быть одинаковая. Что касается решения задачи, то про это Кодт написал.
Здравствуйте, WolfHound, Вы писали:
WH>Есть генератор случайных чисел с равномерным рапределением в промежутке [A, B]. С его помощью получают N чисел. WH>Вопрос: Какова вероятность того что сумма этих чисел попадет в промежуток [X, Y]?
Если последовательно брать случайные числа равномерно из [0,1] то сколько в среднем их потребуется, чтобы в сумме преодолеть 1?
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, WolfHound, Вы писали:
WH>>Есть генератор случайных чисел с равномерным рапределением в промежутке [A, B]. С его помощью получают N чисел. WH>>Вопрос: Какова вероятность того что сумма этих чисел попадет в промежуток [X, Y]?
P>
P>Если последовательно брать случайные числа равномерно из [0,1] то сколько в среднем их потребуется, чтобы в сумме преодолеть 1?
P>Ответ забавный — e. P>Решения не знаю
Не самое красивое, но решение:
Обозначим P(n) — вероятность того, что сумма n равномерно распрделенных на [0,1] меньше 1.
Если напрячь гиперпространственное воображение и представить гиперкуб рассеченный гиперплоскостью, то можно получить следующее соотношение P(n) = P(n-1)/n. Т.е. P(n) = 1/n!.
Обозначим P'(n) — вероятность того, что сумма первых n-1 членов < 1, а сумма n членов больше. Т.к. из того, что сумма n членов < 1, однозначно следует, что сумма n-1 членов < 1, получаем, что P'(n) = P(n-1)-P(n).
Искомая величина равна SUM[n=2, n=...](n*P'(n)) = SUM[n=2, n=...](n*(1/(n-1)! — 1/n!)) = SUM[n=2, n=...](1/(n-2)!) = e