Футбольный мяч шьют из пятиугольников и шестиугольников.
Найти минимальное количество пятиугольников, которое при этом потребуется.
PS
Ответ довольно очевиден, но он ничего не стоит без доказательства.
PPS
Эта задача просто обязана быть известной, но клянусь, я её придумал сам,
читая вумную книжку про покрытие сотовой связи.
И пребываю в полнейшем восторге
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Футбольный мяч шьют из пятиугольников и шестиугольников. P>Найти минимальное количество пятиугольников, которое при этом потребуется.
<IMHO>
По числу вершин у додекаэдра (так называется правильный многогранник с пятиугольными гранями?), а скока их, не помню.
Каждый пятиугольник расположен под углом 36 градусов к пятиугольной грани (ну понимаешь, ось берешь произвольную от центра к вершине, и поворачиваешь). Остальное соединяется, образуя шестиугольники. Разверни процесс, который я описал, вспять, и получишь процесс синтеза футбольного мяча.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Футбольный мяч шьют из пятиугольников и шестиугольников. P>Найти минимальное количество пятиугольников, которое при этом потребуется.
Что-то очень знакомое. Только я подобную задачу слышал про грани кристалла.
Сейчас, увы, нет времени считать эйлерову характеристику футбольного мяча.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Футбольный мяч шьют из пятиугольников и шестиугольников. P>Найти минимальное количество пятиугольников, которое при этом потребуется.
P>PS P>Ответ довольно очевиден, но он ничего не стоит без доказательства.
P>PPS P>Эта задача просто обязана быть известной, но клянусь, я её придумал сам, P>читая вумную книжку про покрытие сотовой связи. P>И пребываю в полнейшем восторге
0 (ноль), если не требовать правильности многоугольников.
На всякий случай уточню, вдруг кто не понял.
Речь вовсе не идёт о конкретном, настоящем футбольном мяче — бог бы с ним. Давайте, например, Землю покроем пятиугольниками и шестиугольниками. Вовсе они не обязаны правильными быть, более того — они криволинейные. Их можно сделать мало, но больших, или много, но маленьких. Но ооочень маленьких В последнем случае мы по сути будем мостить плоскость шестиугольниками. И всё равно есть минимальное количество пятиугольников без которого никак не обойтись, чтобы покрыть весь шар.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>На всякий случай уточню, вдруг кто не понял. P>Речь вовсе не идёт о конкретном, настоящем футбольном мяче — бог бы с ним. Давайте, например, Землю покроем пятиугольниками и шестиугольниками. Вовсе они не обязаны правильными быть, более того — они криволинейные. Их можно сделать мало, но больших, или много, но маленьких. Но ооочень маленьких В последнем случае мы по сути будем мостить плоскость шестиугольниками. И всё равно есть минимальное количество пятиугольников без которого никак не обойтись, чтобы покрыть весь шар.
А фигуры обязательно должны быть плоскими?
Иначе, для покрытия шара достаточно двух шестиугольников и ни одного пятиугольника.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Футбольный мяч шьют из пятиугольников и шестиугольников. P>Найти минимальное количество пятиугольников, которое при этом потребуется.
P>PS P>Ответ довольно очевиден, но он ничего не стоит без доказательства.
P>PPS P>Эта задача просто обязана быть известной, но клянусь, я её придумал сам, P>читая вумную книжку про покрытие сотовой связи. P>И пребываю в полнейшем восторге
Я понимаю, что и пятиугольники и шестиугольники правильные? Тогда так:
1. В вершине могут сходиться только три многоугольника (иначе сумма углов больше 180°)
2. Аналогично доказывается, что вершина не может прилегать к стороне.
Дальнейшие рассуждения не требуют правильности многоугольников, а только выполнения двух этих условий.
Обозначим: В — кол-во вершин, Р — кол-во ребер, Г — граней, N — пятиугольников, M — шестиугольников
Очевидно: Г = N + M
Из утверждений (1) и (2) следует, что 3В = 2Р
Из подсчета числа ребер по всем граням, с учетом (2) — 5N + 6M = 2Р
И, наконец, подставляя все вышеизложенное в формулу Эйлера, В + Р — Г = 2, получаем неожиданный и красивый результат N = 12.
Т.е. при любом раскладе у нас всегда будет ровно 12 пятиугольников!
Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>А фигуры обязательно должны быть плоскими? M>Иначе, для покрытия шара достаточно двух шестиугольников и ни одного пятиугольника.
Нет, не обязательно плоские.
Нет, не достаточно двух шестиугольников.
Но надо пояснить, что я имею в виду под 6-угольником и углами вообще.
(На самом деле я думал, что это вполне понятно )
- Мы нанесли на шар сетку из линий.
— Назовём вершиной место, где сходится 3 или более линий.
— Назовём ребром линию между двумя вершинами, сколь угодно ломаную и гнутую.
— Назовём гранью область, из которой нельзя выйти без того, чтобы пересечь какую нибудь линию.
— Грань назовём n-угольником, если её ограничивает n рёбер (и соответственно n вершин).
Теперь утверждение.
На шаре или любой фигуре, топологически эквивалентной ему, невозможно нанести сетку, все грани которой были бы 5-угольниками или 6-угольниками в указанном выше смысле, и количество 5-угольников было бы меньше, чем некое N>0.
Те два 6-угольника, о которых ты говоришь, думаю, в этих терминах 0-угольники.
Если кому-то не нравится топологическая постановка, ок, можно переформулировать в стереометрическом виде. На мой взгляд, это кастрированная формулировка, но это все имхо.
Доказать, что не существует многогранников, у которых все грани представляют из себя 5-угольники или 6-угольники и количество 5-угольников меньше некоторого N>0. (Строгое определение многогранника см. в элементарных курсах.)
Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
MP>Я понимаю, что и пятиугольники и шестиугольники правильные? Тогда так:
Нет, не обязаны они быть правильными. Это сужает.
Сколь угодно кривыми, с острыми углами и всё такое.
См. два моих уточнения выше (PPPS).
И поэтому может быть больше, чем 12 5-угольников.
Достаточно в сети из 6-угольников стянуть до 0 одно ребро — вот тебе новых два.
MP>Т.е. при любом раскладе у нас всегда будет ровно 12 пятиугольников!
Да, это тоже замечательный результат, что для правильных ровно.
Остался пустячок (ты уже почти всё сделал) — доказать, что для любых не меньше .
И заодно (раз ты такой умный ) попробуй получить,
что будет в системах 6-4, 6-3, 3-4-5-6 и вообще для любых сеток.
Там потрясающе красивое и общее соотношение наблюдается.
P>- Мы нанесли на шар сетку из линий.
P>- Назовём вершиной место, где сходится 3 или более линий.
P>- Назовём ребром линию между двумя вершинами, сколь угодно ломаную и гнутую.
P>- Назовём гранью область, из которой нельзя выйти без того, чтобы пересечь какую нибудь линию.
P>- Грань назовём n-угольником, если её ограничивает n рёбер (и соответственно n вершин).
P>Теперь утверждение.
P>На шаре или любой фигуре, топологически эквивалентной ему, невозможно нанести сетку, все грани которой были бы 5-угольниками или 6-угольниками в указанном выше смысле, и количество 5-угольников было бы меньше, чем некое N>0.
Ну, в этой формулировке проблема прилегания угла к стороне пропадает
Тогда берем решение
заменяем равенство 3В = 2Р на неравенство 3В <= 2Р (для случая когда в вершине могут сходиться более 3-х многоугольников) и получаем вместо равенства N=12, неравенство N >= 12.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Да, это тоже замечательный результат, что для правильных ровно. P>Остался пустячок (ты уже почти всё сделал) — доказать, что для любых не меньше .
я чуть-чуть опздал
P>И заодно (раз ты такой умный ) попробуй получить, P>что будет в системах 6-4, 6-3, 3-4-5-6 и вообще для любых сеток. P>Там потрясающе красивое и общее соотношение наблюдается.
В ответ могу предложить такую задачу:
Сколько всего многогранников можно составить из правильных пятиугольников и шестиугольников?
Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
MP>Обозначим: В — кол-во вершин, Р — кол-во ребер, Г — граней, MP>И, наконец, подставляя все вышеизложенное в формулу Эйлера, В + Р — Г = 2
А что-то я только заметил ... это ж неправильная формула! Надо В + Г — Р = 2
Надеюсь, это просто описка...
P>>И заодно (раз ты такой умный ) попробуй получить, P>>что будет в системах 6-4, 6-3, 3-4-5-6 и вообще для любых сеток. P>>Там потрясающе красивое и общее соотношение наблюдается.
MP>В ответ могу предложить такую задачу: MP>Сколько всего многогранников можно составить из правильных пятиугольников и шестиугольников?
Думаю, всего два — додекаэдр из 12 пятиугольников и реальный футбольный мяч из 12 пятиугольников + 20 шестиугольников.
Для вершин имеем (сразу везде учитываем, что 5-угольников ровно 12)
В = (12*5+Г6*6)/3 = 20 + 2*Г6
Для вершин, у которых, хотя бы одна из трёх отходящих граней 5-угольная имеем
B5= 12*5 — 2*Р55 + В555
Р55 — число рёбер, у которых обе смежные грани 5-угольники
В555 — число вершин, у которых все исходящие грани 5-угольники
Две последних величины связаны очевидным неравенством
Р55 >= B555*3/2 (равенство достигается когда все 55-рёбра идут из 555-вершин)
Подставляя это неравенство в предыдущее равенство и приравнивая В и В5 (все вершины должны иметь хоть один 5-угольник), получаем
20 + 2*Г6 >= 60 — 3*B555 + B555 Г6 >= 20 — B555
С другой стороны, если бы из каждой вершины выходили ровно 2 6-угольника (а больше ведь и нельзя), то Г6 можно было бы посчитать как
Г6 = В*2/6
Так, как может отходить и меньше двух, надо сменить равенство на неравенство, и учитывая самую верхнюю формулу, имеем
Г6 <= 20/3 + 2/3*Г6 Г6 <= 20
Итак имеем 20 — В555 <= Г6 <= 20
Для В555=0 имеем единственный вариант Г6=20
Это соответствует тому, что в каждой вершине сходится ровно 1 5-угольник и 2 6-угольника.
Начав с какого-то пятиугольника, мы однозначно достраиваем весь многогранник — у нас нет нигде выбора!
Если D555>0, то существует хоть одна вершина, где сходятся 3 5-угольника.
Начав с неё, мы опять же не имея никакого произвола, будем достраивать всё новые и новые такие вершины (6-угольники просто не влазят в уже стоящие углы) и неминуемо придём к додекаэдру.
Таким образом из правильных 5- и 6- угольников можно построить только 2 многогранника
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
MP>>В ответ могу предложить такую задачу: MP>>Сколько всего многогранников можно составить из правильных пятиугольников и шестиугольников?
P>Думаю, всего два — додекаэдр из 12 пятиугольников и реальный футбольный мяч из 12 пятиугольников + 20 шестиугольников.
Ответ правильный , решение неправильное .
P>B5= 12*5 — 2*Р55 + В555 P>Р55 — число рёбер, у которых обе смежные грани 5-угольники P>В555 — число вершин, у которых все исходящие грани 5-угольники
P>Две последних величины связаны очевидным неравенством P>Р55 >= B555*3/2 (равенство достигается когда все 55-рёбра идут из 555-вершин)
P>Подставляя это неравенство в предыдущее равенство и приравнивая В и В5 (все вершины должны иметь хоть один 5-угольник), получаем
P>20 + 2*Г6 >= 60 — 3*B555 + B555
Подставля неравенство мы получаем:
20 + 2*Г6 >= B5 <= 60 — 3*B555 + B555
Мое решение такое:
Существует четыре типа вершин, по кол-ву прилегающих пятиугольников.
Предположим что у нас уже существует вершина какого-либо типа. Если взять концы ребер исходящих из этой вершины и учесть, что у нас в каждой вершине сходится ровно три грани, то у нас оставшаяся грань для этих вершин уже "сформирована". Из соображений симметрии видно, что эти вершины должны быть того же типа, что и исходная. Следовательно во всем многограннике должны быть вершины только одного типа.
Тип 0 отметаем сразу — плоские фигуры не рассматриваем.
1 — получаем футбольный мяч.
3 — додекаэдр
Тип 2.
Для него получем (вычисления опускаю), что шестиугольников должно быть 5.
Рассмотрим один из шестиугольников. Он должен быть окружен пятиугольниками. Опять же рассмотрим вершины образованные концами ребер проведенных из вершин шестиугольника. Третьей гранью для этих вершин может быть только шестиугольники, причем они не могут совпадать. Отсюда имеем как минимум 7 > 5 шестиугольников. Получили противоречие.
Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:
MP>Ответ правильный , решение неправильное . MP>Подставля неравенство мы получаем:
MP>20 + 2*Г6 >= B5 <= 60 — 3*B555 + B555
Ни фига! Первое неравенство это строгое равенство!
Число вершин, из которых исходит хотя бы один пятиугольник строго равно числу всех вершин.
Но всё равно, знак получается противоположный, это я лажанулся
MP>Мое решение такое: MP>Существует четыре типа вершин, по кол-ву прилегающих пятиугольников.
Как это 4?
Совсем без 5-угольников вершина не живёт, поэтому только 3 варианта — 1,2,3 пятиугольника в вершине.
MP>Предположим что у нас уже существует вершина какого-либо типа. Если взять концы ребер исходящих из этой вершины и учесть, что у нас в каждой вершине сходится ровно три грани, то у нас оставшаяся грань для этих вершин уже "сформирована". Из соображений симметрии видно, что эти вершины должны быть того же типа, что и исходная. Следовательно во всем многограннике должны быть вершины только одного типа.
Согласен.
MP>Тип 2. MP>Для него получем (вычисления опускаю), что шестиугольников должно быть 5. MP>Рассмотрим один из шестиугольников. Он должен быть окружен пятиугольниками. Опять же рассмотрим вершины MP>образованные концами ребер проведенных из вершин шестиугольника. Третьей гранью для этих вершин может быть только MP>шестиугольники, причем они не могут совпадать. Отсюда имеем как минимум 7 > 5 шестиугольников. Получили MP>противоречие.
Придумал для себя чуть проще доказательство для типа 2.
Рассмотрим любой пятиугольник.
Примыкающие к нему грани обязаны чередоваться — 5-6-5-6-5
Так как 5-нечётное число, последние две грани вместе с центральной образуют тройку 555.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Придумал для себя чуть проще доказательство для типа 2. P>Рассмотрим любой пятиугольник. P>Примыкающие к нему грани обязаны чередоваться — 5-6-5-6-5 P>Так как 5-нечётное число, последние две грани вместе с центральной образуют тройку 555.
Чувствовал, что проще должно быть! Но уж, что придумалось — то придумалось...
И последний вопрос, без которого наша высоконаучная дискуссия была бы не полной.
Сколько всего существует многогранников, у которых все грани представляют из себя правильные многоугольники?
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>И последний вопрос, без которого наша высоконаучная дискуссия была бы не полной. P>Сколько всего существует многогранников, у которых все грани представляют из себя правильные многоугольники?
Выпуклых?
А то много чего можно набрать, даже из пятиугольников с шестиугольниками
Евгений
)
. Конечно описка! Для доказательства могу предъявить черновики (к сожалению, мои, а не Эйлера) 
