Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:

MP>Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

MP>
P>>Для N-мерного

P>>F(N)=SUM[n=0-N]{C(N,n)*(1/2)^n*V(n)}

P>>где V(n) — объём единичного n-мерного шара

P>>V(n) = pi^(n/2) / (n/2)!

MP>Или я не понял формулы, или в одномерном случае получается 3/4.

Нет, по моей формуле тоже двойка получается. Смотрим.

Объём n-мерного единичного шара у нас одинаково напиcан (я только написал Г(n/2+1) в виде (n/2)! )
Чтобы ни у кого не было вопросов, сразу напишу (1/2)!=sqrt(pi)/2 — чуть меньше 1 (0!=1!=1)
И для объёма одномерного шара получаем, разумеется V(1)=2

Объём 0-мерного шара представить трудно, но подставив 0 в формулу имеем V(0)=1
C(1,0) тоже странная запись конечно, но механическая подстановка тоже даёт 1.
Короче первый член в сумме равен всегда 1, я просто не стал его отдельно выделять.
Можно было бы записать F(N)=1+SUM[n=1-N]

Подставляем
F(1)=SUM[n=0-1]{C(1,n)*(1/2)^n*V(n)} = 1 + C(1,1) * (1/2)^1 * 2 = 1 + 1*1/2*2 = 2

MP>У меня

Автор: MichaelP
Дата: 27.02.03

, имхо, более правильное число — 2.
MP>Если у меня что-то не так в доказательстве — опровергните пожалуйста!

MP>2. Если в гиперсфера "захватывает" вершину 2^d — пересечений.
MP>3. При остальных положениях центра гиперсфера обязательно пересекает каждую грань плюс сам гиперкуб. Итого d+1

Может быть больше, чем d+1. Это видно уже для d=3.
Шар может ребро пересечь, и тем самым захватить лишний кубик.
У меня так формула и построена — перебор всех гиперрёбер на предмет пересечения с шаром.
Мне кажется, трёхмерный случай вполне хороший тест — у нас получаются разные ответы
У меня 4 + 11*pi/12
У тебя 4 + 2*pi/3

У меня больше, потому что я учитываю не только пересечения с 6 ближайшими соседями и 8 самыми дальними, но и с 12 "промежуточными" — у которых с нами общее ребро (а не грань или вершина). Всего-то соседей 26, правда?