Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>Доказать, что вокруг любой фигуры на плоскости можно описать квадрат.
Если не важно, чтоб квадрат касался чего-нибудь у фигуры, то берем сторону квадрата = о-о (бесконечность). А если важно, то смотря какой фигуры и смотря чего касаться.
Здравствуйте, Real 3L0, Вы писали:
R3>Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>>Доказать, что вокруг любой фигуры на плоскости можно описать квадрат.
R3>Если не важно, чтоб квадрат касался чего-нибудь у фигуры, то берем сторону квадрата = о-о (бесконечность). А если важно, то смотря какой фигуры и смотря чего касаться.
Важно-важно.
Уточняю задачу (спасибо). Любая фигура на плоскости. Требуется описать вокруг неё квадрат, так чтобы
— сама фигура целиком лежала внутри квадрата
— каждая сторона квадрата должны касаться фигуры. Как частный случай такого касания — когда фигуры касается вершина квадрата, при этом считаем что две стороны квадрата касаются фигуры.
По-видимому, для исключения таких случаев, как прямая, луч, полуплоскость и т.д, рассматриваем только ограниченные фигуры.
M>Доказать, что вокруг любой фигуры на плоскости можно описать квадрат.
Ну ровно то же доказательство.
Даже писать неудобно как-то
Нарисуем вокруг (ограниченной!) фигуры большой квадрат.
Начнём его сжимать, позволяя ещё и ездить так, чтобы внутренняя фигура из него нигде не вышла.
Рано или поздно либо мы сожмём квадрат в точку (и там уж явно всё будет касаться ), либо квадрат нельзя будет дальше уменьшить, а это значит, что какие-то две противоположные стороны касаются фигуры.
Теперь поворачиваем квадрат, центр по-прежнему гуляет. И размер гуляет — всегда делаем его минимально возможным.
Всегда в процессе поворота какая-то пара противоположных сторон касается фигуры (иначе можно сжать).
Ясно, что после поворота на 90 градусов уже другая пара противоположных сторон касается фигуры.
Значит есть точка, где происходит смена пар, и в ней все стороны касаются фигуры.
PS
Я даже не вижу, чтобы были нужны ли какие-нибудь ограничения на фигуру типа гладкости.
Вроде бы достаточно только ограниченности, которая и так очевидно необходима.
Так и знал.
Даже хотел написать — "сейчас придет Pushkin и всё решит. А я ему чуть усложнённую — описать куб вокруг объёмной фигуры в пространстве. А он и её решит."
...
P>Ну ровно то же доказательство. P>Даже писать неудобно как-то
...
P>Я даже не вижу, чтобы были нужны ли какие-нибудь ограничения на фигуру типа гладкости.
Привет, Pushkin!
M>>Доказать, что вокруг любой фигуры на плоскости можно описать квадрат.
P>Нарисуем вокруг (ограниченной!) фигуры большой квадрат. P>Начнём его сжимать, позволяя ещё и ездить так, чтобы внутренняя фигура из него нигде не вышла. P>Рано или поздно либо мы сожмём квадрат в точку (и там уж явно всё будет касаться ), либо квадрат нельзя будет дальше уменьшить, а это значит, что какие-то две противоположные стороны касаются фигуры. P>Теперь поворачиваем квадрат, центр по-прежнему гуляет. И размер гуляет — всегда делаем его минимально возможным. P>Всегда в процессе поворота какая-то пара противоположных сторон касается фигуры (иначе можно сжать). P>Ясно, что после поворота на 90 градусов уже другая пара противоположных сторон касается фигуры. P>Значит есть точка, где происходит смена пар, и в ней все стороны касаются фигуры.
История не терпит прямых аналогий. Здесь все может быть гораздо более строгим. Формально все выглядит так.
1. Если у нас задана система координат и есть ограниченное множество, то его ограниченная проекция на оси имеет inf и sup, которые определены однозначно. 2. В качестве прямоугольника, описывающего данную фигуру, берем прямоугольник x = infx, x = supx, y = infy, y = supy. 3. Поворачивая оси на 90 градусов вокруг точки пересечения диагоналей прямоугольника мы приходим к этому же прямоугольнику (поставленному "на бок") в силу однозначности inf и sup множества.
Остался единственный и главный вопрос: а плавный ли переход? Нет ли каких-то скачков?
Пусть диаметр текущего прямоугольника D. При повороте вокруг точки пересечения диагоналей на угол dalfa все точки фигуры изменяют свои координаты не более, чем на max { (D/2) * (1 — cos dalfa), (D/2) * sin dalfa } < (D/2) * dalfa, поэтому переход плавный!
Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>Даже хотел написать — "сейчас придет Pushkin и всё решит. А я ему чуть усложнённую ... А он и её решит."
И, что самое интересное, решает это все Пушкин, который, по истории, математику терпеть не мог!
Лучше по другому усложнить: какая должна быть фигура, чтобы все стороны квадрата, а не углы, касались её! Вот.
Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>Так и знал. M>Даже хотел написать — "сейчас придет Pushkin и всё решит. А я ему чуть усложнённую — описать куб вокруг объёмной фигуры в пространстве. А он и её решит."
Обобщим на случай D измерений.
Проведем в D-мерном пространстве направляющую (D-1)-мерную гиперплоскость P (произвольно).
Спроецируем на нее фигуру, и опишем вокруг проекции гиперквадрат.
Проведем через стороны гиперквадрата гиперплоскости пенпердикулярно направляющей P. Очевидно, они касаются фигуры (бесконечная гиперпризма).
Выберем любую пару параллельных боковых граней гиперпризмы и сотрем их. Проведем 2-мерную плоскость параллельно всем граням (кроме стертых).
Спроецируем фигуру. Мы привели задачу к 2-мерной; опишем квадрат.
Теперь осталось через стороны квадрата построить гиперплоскости, пенпердикулярные этой 2-мерной и всем граням гиперпризмы.
Евгений
Apapa.gif)
Перекуём баги на фичи!
