Здравствуйте, Murr, Вы писали:
M>Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>>Доказазать, что
P>>cos(2pi/5) + cos(4pi/5) = -1/2
M>Неужели нужно умножить на sin(pi/5) и поиметь тождество преобразованием в сумму?
M>Это проверка на знание формул геометрической прогрессии чтоли?
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Доказазать, что
P>cos(2pi/5) + cos(4pi/5) = -1/2
P>PS P>Каждый может решать в меру своей испорченности
А не ошиблись ли вы форумом?
Здравствуйте, User99, Вы писали:
P>>>Доказазать, что P>>>cos(2pi/5) + cos(4pi/5) = -1/2
M>>Неужели нужно умножить на sin(pi/5) и поиметь тождество преобразованием в сумму? M>>Это проверка на знание формул геометрической прогрессии чтоли?
Выкладку в студию!
U>Похоже просто дети подрастают.
К счастью мои пока до такого не доросли
Хотя на самом деле в точку.
Поясню, чтоб не было неясности.
Позвонил на днях знакомый и спросил как это делать.
(У него дети большие и проблемы сответственно тоже )
Я совсем было полез за справочником по тригонометрии,
но лень спасла отца русской демократии — я вдруг понял,
что для решения достаточно знать, что такое косинус.
Так что уверяю вас, задача вполне может быть в этом форуме.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Здравствуйте, User99, Вы писали:
P>>>>Доказазать, что P>>>>cos(2pi/5) + cos(4pi/5) = -1/2
M>>>Неужели нужно умножить на sin(pi/5) и поиметь тождество преобразованием в сумму? M>>>Это проверка на знание формул геометрической прогрессии чтоли?
P>Выкладку в студию!
M>sin(p/5)*cos(2pi/5)+sin(p/5)cos(4p/5)=1/2*(sin(3p/5)-sin(p/5))+1/2*(sin(5p/5)-sin(3p/5))=1/2*(sin(p)-sin(p/5))=1/2*(-sin(p/5)) M>Поделив обе части этого р-ва на sin(p/5) имеем искомое.
Восхищён
Но вместе с тем эти формулы демонстрируют то, чего я очень не хотел делать.
Я вот например не помню навскидку формулу для произведения синусов.
И формулу Эйлера лень писать, да и не знают её в школе.
Продолжаю утверждать, что есть совершенно халявное решение.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Доказазать, что
P>cos(2pi/5) + cos(4pi/5) = -1/2
P>PS P>Каждый может решать в меру своей испорченности
Ну это можно сделать на пальцах, построив на координатной плоскости пятиугольник, взяв одной из его сторон отрезок (-1, 0) — (0, 0) (как бы оперев пятиугольник на него). Подсказка: угол пятиугольника равен 3pi/5.
Здравствуйте, Znow, Вы писали:
Z>Ну это можно сделать на пальцах, построив на координатной плоскости пятиугольник, взяв одной из его сторон отрезок (-1, 0) — (0, 0) (как бы оперев пятиугольник на него). Подсказка: угол пятиугольника равен 3pi/5.
Почти попал!
Но мне кажется, можно ещё проще, чем пятиугольник.
...
P>Продолжаю утверждать, что есть совершенно халявное решение.
Атож!
Поскольку в задаче требуется доказать арифметическое равенство, а не алгебраическое, то с воответствии с этим и поступим.
Вычислим с помощью какого-либо физического вычислительного устройства (калькулятора) значения в обеих частях равенства и сравним. У меня — совпало. А поскольку градиент изменения физических законов (на которых, в частности, и работают вычислители) в ближайшей окрестности нашего пространства невысок, то есть основания полагать, что моё доказательство (по крайней мере в вышеупомянутой окрестности пространства) также будет справедливо. ¦
Здравствуйте, mrhru, Вы писали:
M>Поскольку в задаче требуется доказать арифметическое равенство, а не алгебраическое, то с воответствии с этим и поступим. M>Вычислим с помощью какого-либо физического вычислительного устройства (калькулятора) значения в обеих частях равенства и сравним. У меня — совпало.
Не прокатит
Любой калькулятор даёт конечную точность.
А ты лучше меня знаешь, что 43/300 != 1/7
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Доказазать, что
P>cos(2pi/5) + cos(4pi/5) = -1/2
P>PS P>Каждый может решать в меру своей испорченности
1.
cos(a)+cos(b)=2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2)
Вы, может, и не помните, но мне в этом году в институт поступать
cos(2p/5)+cos(4p/5)=2*cos(3p/5)*cos(p/5)
cos(p/5) — это табличная величина, вывод которой входит в курс 9го класса. (хотя я не помню)... а cos тройного угла легко выводится...
2.
Просто выражаем оба слагаемых через cos(p/5).
Это решение "в лоб"
3.
cos(2p/5)+cos(4p/5)=cos(2p/5)+2*(cos(2p/5))^2-1
2*(cos(2p/5))^2+cos(2p/5)-1/2=0
(верность этого утверждения можно проверить, сверив табличную величину с корнем уравнения)
D=1+4=5
cos(2p/5)=(-1+sqrt(5))/4 , что верно. (- не подходит под область значений косинуса)
В предыдущих решениях необходим был cos(p/5), а так как это решение верно, мы его сейчас найдём
-1/4 + sqrt(5)/4 = 2*cos(p/5)^2 — 1
0 < cos(p/5) = sqrt((3 + sqrt(5))/8) — это точно то, что я помню!
Кстати, это очень легко выводится через десятиугольник...
Привет, MAN2!
MAN>Здравствуйте, Pushkin, Вы писали: P>>Доказазать, что P>>cos(2pi/5) + cos(4pi/5) = -1/2
P>>PS P>>Каждый может решать в меру своей испорченности
MAN> MAN>1. MAN>cos(a)+cos(b)=2*cos((a+b)/2)*cos((a-b)/2) MAN>Вы, может, и не помните, но мне в этом году в институт поступать
[24] MAN>Кстати, это очень легко выводится через десятиугольник...
.
Я его чуть переформулирую и предлагаю на том закончить.
Проведём пять единичных векторов из начала координат под углами 0, 2pi/5, 4pi/5, 6pi/5, 8pi/5.
Система симметрична, и потому сумма этих векторов равна нулю.
В том числе и х-проекция суммы, которая равна сумме пяти косинусов.
Но косинус первого угла единица, а суммы для двух следующих пар одинаковы.
Поэтому обе эти суммы равны по -1/2. Вуаля :)
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>>Доказазать, что P>>cos(2pi/5) + cos(4pi/5) = -1/2 P>>Каждый может решать в меру своей испорченности
P>
P>Проведём пять единичных векторов из начала координат под углами 0, 2pi/5, 4pi/5, 6pi/5, 8pi/5.
P>Система симметрична, и потому сумма этих векторов равна нулю.
P>В том числе и х-проекция суммы, которая равна сумме пяти косинусов.
P>Но косинус первого угла единица, а суммы для двух следующих пар одинаковы.
P>Поэтому обе эти суммы равны по -1/2. Вуаля :)
P>
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
>Проведём пять единичных векторов из начала координат под углами 0, 2pi/5, 4pi/5, 6pi/5, 8pi/5.
Можно на эту тему и потупее решение:
a1,a2,a3,a4,a5 — ваши углы
Легко видеть, что cos(5*a(i))=1; также очевидно, что cos(5x)=cos(4x+x)=cos(4x)cos(x)-sin(4x)sin(x)=(2cos(2x)^2-1)cos(x)-4*sin(x)*cos(2x)*cos(x)*sin(x)=...{многочлен 5-й степени от cos(x)}
Подсчитав все его коэффициенты можно найти все симметрические функции от cos(a1),...,cos(a5) по формуле Виета.
Re: Моё решение
От:
Аноним
Дата:
21.02.03 11:28
Оценка:
Здравствуйте, Pushkin,
С правильным пятиугольником проще.
Re: Моё решение
От:
Аноним
Дата:
04.03.03 12:37
Оценка:
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>>Доказазать, что P>>cos(2pi/5) + cos(4pi/5) = -1/2 P>>Каждый может решать в меру своей испорченности
P>Количество формул в решениях приобретает угрожающие масштабы P>Между тем было и вполне гуманное решение
. P>Я его чуть переформулирую и предлагаю на том закончить.
P>
P>Проведём пять единичных векторов из начала координат под углами 0, 2pi/5, 4pi/5, 6pi/5, 8pi/5.
P>Система симметрична, и потому сумма этих векторов равна нулю.
P>В том числе и х-проекция суммы, которая равна сумме пяти косинусов.
P>Но косинус первого угла единица, а суммы для двух следующих пар одинаковы.
P>Поэтому обе эти суммы равны по -1/2. Вуаля :)
P>
Мне не понятно, почему х-проекция суммы равна сумме пяти косинусов (которая равно 0)?
А> А>Мне не понятно, почему х-проекция суммы равна сумме пяти косинусов (которая равно 0)?
По определению.
Косинусом угла называется х-проекция единичного вектора, идущего из начала координат под этим углом.
Кроме того, справедливо очевидное утверждение, что проекция суммы равна сумме проекций.
А, да, ещё более справедливо утверждение, что любая проекция нулевого вектора равна нулю
Евгений
Apapa.gif)
