Мальчику надо сыграть три партии в шахматы с отцом и матерью по очереди и выиграть две подряд. Как ему лучше играть — {с отцом, с матерью, с отцом} или {с матерью, с отцом, с матерью}? (Отец разумеется играет сильнее матери.)
PS
Имхо задачу легко обобщить для любого числа партий.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
P>Мальчику надо сыграть три партии в шахматы с отцом и матерью по очереди и выиграть две подряд. Как ему лучше играть — {с отцом, с матерью, с отцом} или {с матерью, с отцом, с матерью}? (Отец разумеется играет сильнее матери.)
Pf, Pm — вероятность победы над отцом/матерью соответственно.
P1 = Pf*Pm + (1-Pf)*Pm*Pf
P2 = Pm*Pf + (1-Pm)*Pf*Pm
(если выиграл в первой партии, то нужна победа во второй; а если проиграл — нужно победить в оставшихся).
Pf < Pm ==> P1 > P2
Впрочем, можно прийти к этому и "просто рассуждая": обязательным условием полной победы является победа над вторым по счету соперником.
P>Имхо задачу легко обобщить для любого числа партий.
И исходить из такого же "простого" рассуждения, как сказано выше.
Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:
К>>Впрочем, можно прийти к этому и "просто рассуждая": обязательным условием полной победы является победа над вторым по счету соперником.
P>Обязательным условием победы является победа над обоими Или я чего-то не понял?
Необходимым и достаточным.
А я говорил — про "просто" необходимое.
Привет, Pushkin!
P>Мальчику надо сыграть три партии в шахматы с отцом и матерью по очереди и выиграть две подряд. Как ему лучше играть — {с отцом, с матерью, с отцом} или {с матерью, с отцом, с матерью}? (Отец разумеется играет сильнее матери.)
Пусть у нас есть 2N+1 игра с отцом и матерью, и есть вероятности выиграть в нечетной партии — p, а в четной — q. Нас интересует вопрос, что выгоднее p > q или q > p, чтобы с большей вероятностью выиграть N+1 партию подряд.
Пусть P — вероятность выиграть N+1 раз подряд, P(i, k) — верятность выиграть k раз подряд, начиная с i-го. Тогда
2*N+1 l-N-1 2*N+2-l
P = SUM (-1) SUM P(i, l)
l=N+1 i=1
Например, при N=1 (исходная задача), получаем P = pq(2-p).
Если N=2m-1, то вероятность представима в виде
P = S - p(pq)^m - p(pq)^(m+1) - ...
где S — вероятность, зависящая одинаково от p и q, т.е. если их поменять местами, то она останется той же. Чтобы P было больше надо, чтобы p было меньше, т.е. сначала надо играть с отцом.
Если N=2m, то вероятность представима в виде
P = S + p(pq)^m + p(pq)^(m+1) + ...
где S — вероятность, зависящая одинаково от p и q, т.е. если их поменять местами, то она останется той же. Чтобы P было больше надо, чтобы p было больше, т.е. сначала надо играть с матерью.
Здравствуйте, Apapa, Вы писали:
A>Если N=2m, то ... сначала надо играть с матерью. A>Сам удивился...
Это был бы потрясающий результат, если бы он был верным.
Но для двух игр он очевидно неверен. Легко просчитать для четырёх.
Вот простое соображение за то, что для чётной серии по фигу с кого начинать:
Две подряд — они и есть две подряд, с какой стороны не смотри, хоть спереди, хоть сзади.
А чётная серия игр, начинающихся с матери, глядя задом наперёд превращается в серию, начинающуюся с отца.
Привет, Pushkin!
A>>Если N=2m, то ... сначала надо играть с матерью. A>>Сам удивился... P>Это был бы потрясающий результат, если бы он был верным. P>Но для двух игр он очевидно неверен. Легко просчитать для четырёх. P>Вот простое соображение за то, что для чётной серии по фигу с кого начинать: P>Две подряд — они и есть две подряд, с какой стороны не смотри, хоть спереди, хоть сзади. P>А чётная серия игр, начинающихся с матери, глядя задом наперёд превращается в серию, начинающуюся с отца.
Вы публично оскорбили меня, я вызываю Вас на дуэль!
Итак, смотрим внимательно...
Пусть у нас есть 2N+1 игра с отцом и матерью, и есть вероятности выиграть в нечетной партии — p, а в четной — q. Нас интересует вопрос, что выгоднее p > q или q > p, чтобы с большей вероятностью выиграть N+1 партию подряд.
Ответ верен:
-Если у нас 3 партии (N=1), 7 партий, 11 партий и т.п., надо выиграть 2 партии, 4 партии, 6 партий и т.д. подряд, соответственно, то лучше сначала играть с отцом.
-Если же у нас намечено 1 партия, 5 партий, 9 партий и т.д., из которых надо выиграть 1 партию, 3 партии, 5 партий и т.д., то лучше играть сначала с матерью!
Все еще не веришь? Пишем программу! (Я уже написал ее сегодня с утра — вчера не успел.)
Введите N: 0
Число игр: 1
Выиграть надо 1 подряд
Вероятность выиграть для папы: 0.3
Вероятность выиграть для мамы: 0.9
Вероятность выиграть при игре ПМП... равна 0.2999252
Вероятность выиграть при игре МПМ... равна 0.8999239
Введите N: 1
Число игр: 3
Выиграть надо 2 подряд
Вероятность выиграть для папы: 0.3
Вероятность выиграть для мамы: 0.9
Вероятность выиграть при игре ПМП... равна 0.4592078
Вероятность выиграть при игре МПМ... равна 0.2969021
Введите N: 2
Число игр: 5
Выиграть надо 3 подряд
Вероятность выиграть для папы: 0.3
Вероятность выиграть для мамы: 0.9
Вероятность выиграть при игре ПМП... равна 0.2590443
Вероятность выиграть при игре МПМ... равна 0.420922
Введите N: 3
Число игр: 7
Выиграть надо 4 подряд
Вероятность выиграть для папы: 0.3
Вероятность выиграть для мамы: 0.9
Вероятность выиграть при игре ПМП... равна 0.1822372
Вероятность выиграть при игре МПМ... равна 0.1385699
Здравствуйте, Apapa, Вы писали:
A>Вы публично оскорбили меня, я вызываю Вас на дуэль!
По больному месту бьёшь, подлый человек
A>Итак, смотрим внимательно... A>-Если у нас 3 партии (N=1), 7 партий, 11 партий и т.п., надо выиграть 2 партии, 4 партии, 6 партий и т.д. подряд, соответственно, то лучше сначала играть с отцом. A>-Если же у нас намечено 1 партия, 5 партий, 9 партий и т.д., из которых надо выиграть 1 партию, 3 партии, 5 партий и т.д., то лучше играть сначала с матерью!
Ух, как ты всё обобщил однако.
Я теперь наконец-то прочитал внимательно тот вопрос, который ты себе поставил
A>Пусть у нас есть 2N+1 игра с отцом и матерью, и есть вероятности выиграть в нечетной партии — p, а в четной — q. A>Нас интересует вопрос, что выгоднее p > q или q > p, чтобы с большей вероятностью выиграть N+1 партию подряд.
На этот вопрос вполне твой ответ годится.
По крайней мере проблем не видно.
Но я то для себя имел в виду другое обобщение.
Какова вероятность выиграть хотя бы раз 2 партии подряд в серии из N поочерёдных партий с отцом и матерью? И с кем выгоднее начинать играть мальчику?
В этом случае для чётных N ответ очевиден — по фигу, а для нечётных тоже очевиден — с отцом. Но вот доказать второй ответ и посчитать таки эту верятность чуть сложнее.
Короче будем считать недоразумение улаженным, а дуэль несостоявшейся.
Дуэли, особливо зимой, это знаешь ли такое дело...
Re[5]: Ладно, улажено! Но задача стала не такой... Уж, извин
Привет, Pushkin!
A>>Итак, смотрим внимательно... A>>-Если у нас 3 партии (N=1), 7 партий, 11 партий и т.п., надо выиграть 2 партии, 4 партии, 6 партий и т.д. подряд, соответственно, то лучше сначала играть с отцом. A>>-Если же у нас намечено 1 партия, 5 партий, 9 партий и т.д., из которых надо выиграть 1 партию, 3 партии, 5 партий и т.д., то лучше играть сначала с матерью!
P>Ух, как ты всё обобщил однако. A>>Пусть у нас есть 2N+1 игра с отцом и матерью, и есть вероятности выиграть в нечетной партии — p, а в четной — q. Нас интересует вопрос, что выгоднее p > q или q > p, чтобы с большей вероятностью выиграть N+1 партию подряд.
Так ведь надо больше половины выиграть... Да если еще и подряд!
P>Но я то для себя имел в виду другое обобщение. P>Какова вероятность выиграть хотя бы раз 2 партии подряд в серии из N поочерёдных партий с отцом и матерью? И с кем выгоднее начинать играть мальчику?
P>В этом случае для чётных N ответ очевиден — по фигу,
Я поэтому и рассматривал нечетное число партий... С четным числом ты прав — очевидно!
P>а для нечётных тоже очевиден — с отцом. Но вот доказать второй ответ и посчитать таки эту верятность чуть сложнее.
Вероятность выиграть хотя бы две подряд из 2N+1 равна вероятности выиграть хотя бы две подряд из первых 2N игр и проиграть в последней + вероятность выиграть в последних двух играх. Поэтому, чтобы выиграть с максимальной вероятностью хотя бы 2 партии подряд необходимо (как это не парадоксально) с максимальной вероятностью проиграть в последней партии (остальные вероятности не зависят от схемы игры)! Так что лучше закончить с папой! Все очень просто...
P>Короче будем считать недоразумение улаженным, а дуэль несостоявшейся. P>Дуэли, особливо зимой, это знаешь ли такое дело...
Стоял довольно прохладный сентябрьский вечер. Метался ветер. В маленьком сквере горели фонари. Опадала листва, оголялись ветви деревьев и кустарников. У бюста — свежие цветы. Рядом — ни одной живой души. Только мчались мимо автомобили, не замедляя скорости...
Ну, ладно, ладно, договорились...
Здравствуйте, Apapa, Вы писали:
A>-Если у нас 3 партии (N=1), 7 партий, 11 партий и т.п., надо выиграть 2 партии, 4 партии, 6 партий и т.д. подряд, соответственно, то лучше сначала играть с отцом. A>-Если же у нас намечено 1 партия, 5 партий, 9 партий и т.д., из которых надо выиграть 1 партию, 3 партии, 5 партий и т.д., то лучше играть сначала с матерью! A>Все еще не веришь?
Как не верить? Вот тривиальное рассуждение в защиту твоего ответа.
Пусть у матери мы выигрываем всегда, а у отца почти никогда.
Тогда в первом случае нам надо вымграть чётное число партий подряд, то есть
придётся выиграть у отца несколько (определённое число) партий подряд.
Понятно, что чем больше у нас всего партий с отцом, тем лучше. (Попыток больше)
Во втором случае надо выиграть подряд нечётное количество партий.
Гораздо проще выиграть серию, начинающуюся с матери, чем с отца.
Если общая серия начинается с матери, то нечётных подсерий,
начинающихся с неё же, там на 1 больше.
PS
Понятно, что выводы основанные на одном частном случае не строги.
Но вполне правдоподобны — вряд ли там кто ожидает каких-то немонотонностей.
PPS
Кстати этот же тривиальный частный случай позволяет сразу дать ответ на вопрос исходной задачи.
Перекуём баги на фичи!
Или я чего-то не понял? 
Apapa.gif)
