Однажды на закате маленький Фаэтон, сын Бога Солнца Гелиоса, обратил внимание на то, что у заходящего и уже наполовину красного Светила ровно одиннадцать желтых лучей и одиннадцать красных. И тогда он придумал очередную игру на Солнце...
Он взял один из желтых лучей на солнце и посчитал угол, который этот луч составляет со следующим по часовой стрелке лучом красного цвета. После этого он убрал эти лучи с солнца... Осталось десять красных лучей и десять желтых. Тогда он снова взял один из лучей желтого цвета на солнце и посчитал угол, который он составляет со следующим по часовой стрелке лучом красного цвета. Этот угол он прибавил к предыдущему и убрал с Солнца оба луча... И так он делал, пока не получил сумму из одиннадцати углов и не убрал с Солнца все лучи.
Ему так понравилась новая забава, что он тут же решил поделиться ею со своей мамой — нимфой Клименой. Он вернул все лучи на прежние места на Солнце и пошел к ней. Когда он пришел и проделал все то же самое, то (о, Боги!) он получил в сумме тот же самый угол...
Вопрос: какова вероятность случившегося события?
P.S. Лучи на Солнце, как волосы на голове — два из одного места не растут...
Здравствуйте, Apapa, Вы писали:
P>>Если точно на прежние места, то, похоже 1
A>Проблема в том, что он забыл последовательность, с которой он брал лучи в первый раз, и взял их в произвольном случайном порядке...
Я понял, но порядок лучей похоже не важен, результат один!
Привет, Pushkin!
A>>Проблема в том, что он забыл последовательность, с которой он брал лучи в первый раз, и взял их в произвольном случайном порядке... P>Я понял, но порядок лучей похоже не важен, результат один!
Здравствуйте, Apapa, Вы писали:
M>>И сумма равна разности сумм углов красных и желтых лучей.
A>1) Лучи не чередуются A>2) "разность сумм углов ..."???
Вах-вах, какой все непонятливый, да!
Берем все углы красных лучей. Складываем. Это первая сумма.
Берем все углю желтых лучей. Складываем. Это вторая сумма.
Теперь из первой суммы вычитаем вторую. Это и есть искомое число.
Привет, mihoshi!
M>Берем все углы красных лучей. Складываем. Это первая сумма. M>Берем все углю желтых лучей. Складываем. Это вторая сумма. M>Теперь из первой суммы вычитаем вторую. Это и есть искомое число. M>Проще говоря, M>(r1-y1) + (r2-y2) + ... + (rn-yn) = (r1 + r2 + ... rn) — (y1 + y2 + yn)
Во-первых, откуда углы считать?
Во-вторых, что это дает? Эта разность сумм может быть, например, отрицательной! И какое это имеет отношение к задаче?
Однажды на закате маленький Фаэтон, сын Бога Солнца Гелиоса, обратил внимание на то, что у заходящего и уже наполовину красного Светила ровно одиннадцать желтых лучей и одиннадцать красных. И тогда он придумал очередную игру на Солнце...
Он взял один из желтых лучей на солнце и посчитал угол, который этот луч составляет со следующим по часовой стрелке лучом красного цвета. После этого он убрал эти лучи с солнца... Осталось десять красных лучей и десять желтых. Тогда он снова взял один из лучей желтого цвета на солнце и посчитал угол, который он составляет со следующим по часовой стрелке лучом красного цвета. Этот угол он прибавил к предыдущему и убрал с Солнца оба луча... И так он делал, пока не получил сумму из одиннадцати углов и не убрал с Солнца все лучи.
Ему так понравилась новая забава, что он тут же решил поделиться ею со своей мамой — нимфой Клименой. Он вернул все лучи на прежние места на Солнце и пошел к ней. Когда он пришел и проделал все то же самое, то (о, Боги!) он получил в сумме тот же самый угол...
Небольшой комментарий к условию: 1. Выбор очередного луча желтого цвета маленьким Фаэтоном производится абсолютно случайно и равновероятно среди оставшихся лучей желтого цвета. Выбор красного луча вполне определен — он первый по часовой стрелке от выбранного желтого луча. 2. Прежде чем пойти к матери Фаэтон вернул все лучи на свои места, желтые и красные на свои места. 3. Когда он пришел к Климене, он напрочь забыл последовательность выбора лучей желтого цвета, поэтому при демонстрации игры пользовался пунктом 1 данного комментария.
Здравствуйте, Apapa, Вы писали:
P>>Я понял, но порядок лучей похоже не важен, результат один!
A>Не могли бы Вы пояснить, что Вы имеете в виду... A> A>P.S. Или доказать?..
Пожалуйста.
Разрежем всю картинку по красным лучам на сектора.
Все жёлтые лучи, попавшие в каждый сектор, свалятся в правый красный луч этого сектора.
Причём совершенно неважно, свалились ли туда уже другие жёлтые лучи этого сектора,
и уж совсем независимо от других секторов.
Сумма, зависящая только от исходной картинки, может быть посчитана следующим образом:
Привет, Pushkin!
P>Разрежем всю картинку по красным лучам на сектора. P>Все жёлтые лучи, попавшие в каждый сектор, свалятся в правый красный луч этого сектора. P>Причём совершенно неважно, свалились ли туда уже другие жёлтые лучи этого сектора, P>и уж совсем независимо от других секторов.
Как же так? Ведь мальчик убирает красные лучи вместе с желтыми...
...После этого он убрал эти лучи с солнца... Осталось десять красных лучей и десять желтых...
Любой желтый луч может быть взят с любым красным (или, во всяком случае, со многими)!
P>Сумма, зависящая только от исходной картинки, может быть посчитана следующим образом: P>
И всё-таки как ни крути в этой игре для заданной начальной расстановки лучей всегда получается одинаковый ответ. Вот новое, доказательство. Думаю, верное.
Сначала докажем вспомогательное утверждение.
Для любого набора из одинакового количества красных и жёлтых лучей существует хотя бы одно направление (назовём его зелёным лучом), которое не пересекает ни один жёлтый луч при падении на красные в процессе игры.
Сначала алгоритм нахождения зелёного луча.
В последовательности одинакового количества букв Ж и К обязательно хоть раз встретится сочетание ЖК.
Уберём его — получим снова последовательность из одинакового, но меньшего, числа букв Ж и К.
Продолжаем до тех пор, пока не останутся всего по одному лучу каждого цвета.
Утверждается, что зелёный луч совпадает с оставшимся красным.
Докажем это по индукции, развёртывая картинку назад.
Для последних двух лучей утверждение справедливо — жёлтый упадёт на красный, а не пересечёт его. Далее пусть для некоторого количества пар мы уже доказали,добавим ещё одну пару ЖК. В тот момент, когда в процессе игры какой-нибудь жёлтый луч свалится на добавленный красный, мы будем иметь некую серию жёлтых лучей, стоящих подряд перед нашим красным, но до зелёного.С точки зрения нашего вопроса все лучи этой серии эквивалентны, и мы можем со спокойной совестью считать, что это наш добавленный жёлтый упал на красный (он уж точно не пересёк зелёный) и отдав на это ход, продолжать играть в старую игру.
Замечание 1.
Зелёных лучей модет быть много — например, для чередующихся ЖК их столько же, сколько пар, но нам достаточно гарантированного существования хотя бы одного такого луча.
Имея зелёный луч, задача решается очень легко.
Обозначим через ж1,ж2,ж3...к1,к2,к3 — углы отклонения всех лучей от зелёного по часовой стрелке. Последнему красному лучу, совпадающему с зелёным присвоим отклонение 360 градусов.
Тогда наша сумма может оказаться, например, такой:
(к1-ж1)+(к2-ж2)+(к3-ж3)+... А может такой:
(к2-ж3)+(к1-ж2)+(к3-ж1)+...
Но при любой расстановке в сумму войдут все к со знаком плюс и все ж со знаком минус, т.е. она равна просто сумме углов всех красных лучей минус сумма углов всех жёлтых лучей. Доказанная предварительно лемма гарантирует нам, что все скобки положительны и не требуют добавления 360 для спасения ситуации.
Глядя на формулу sum=sum(к)-sum(ж) легко заметить, что максимальное число, которое можно получить в этой игре 360*N. Это можно сделать единственным способом — всем красным лучам надо скучковаться перед всеми жёлтыми. Минимальную же сумма — 0 — можно получить многими способами.
Однажды на закате маленький Фаэтон, сын Бога Солнца Гелиоса, обратил внимание на то, что у заходящего и уже наполовину красного Светила ровно одиннадцать желтых лучей и одиннадцать красных. И тогда он придумал очередную игру на Солнце...
Он взял один из желтых лучей на солнце и посчитал угол, который этот луч составляет со следующим по часовой стрелке лучом красного цвета. После этого он убрал эти лучи с солнца... Осталось десять красных лучей и десять желтых. Тогда он снова взял один из лучей желтого цвета на солнце и посчитал угол, который он составляет со следующим по часовой стрелке лучом красного цвета. Этот угол он прибавил к предыдущему и убрал с Солнца оба луча... И так он делал, пока не получил сумму из одиннадцати углов и не убрал с Солнца все лучи.
Ему так понравилась новая забава, что он тут же решил поделиться ею со своей мамой — нимфой Клименой. Он вернул все лучи на прежние места на Солнце и пошел к ней. Когда он пришел и проделал все то же самое, то (о, Боги!) он получил в сумме тот же самый угол...
Итак, правильный ответ прозвучал: вероятность равна единице. Отдельное спасибо Pushkin-у за его красивое решение!
Тем не менее, хотелось бы привести свой вариант:
Рассмотрим два желтых луча, которые мальчик выбрал последовательно в первый раз. Рассмотрим так же соответствующие им красные лучи (на картинке уже не обязательно 11 красных лучей).
Эти лучи могут следовать в одном из двух порядков: Ж1 К1 Ж2 К2 или Ж1 Ж2 К1 К2. В первом случае сумма соответствующих углов Ж1<К1 + Ж2<К2, во втором Ж1<Ж2 + 2 * Ж2<К1 + К1<К2.
Если поменять выбор этих желтых лучей местами, то в первом случае мы получим сумму Ж2<К2 + Ж1<К1, а во втором, т.к. между Ж1 и К2 всего один красный луч К1, то Ж2<К1 + Ж1<К2 = Ж1<Ж2 + 2 * Ж2<К1 + К1<К2.
Таким образом, если Фатон поменял местами выбор двух любых последовательных желтых лучей, то сумма осталась та же. От любой комбинации выбора желтых лучей таким приемом можно прийти к любой другой комбинации!
Здравствуйте, Apapa, Вы писали:
A>>Недавно придумал следующую задачу... A>Итак, правильный ответ прозвучал: вероятность равна единице. Отдельное спасибо Pushkin-у за его красивое решение!
Тебе спасибо за красивую задачу. Если ты правда её придумал с нуля, имеешь полное право купить себе медаль
A>Тем не менее, хотелось бы привести свой вариант: A>Рассмотрим два желтых луча, которые мальчик выбрал последовательно в первый раз.
Да, клёво. Выкладки даже лишние. Достаточно просто идеи, что любая последовательность может быть набрана последовательными попарными перестановками из некоторой одной стартовой. А для анализа попарного обмена хватает картинки.
Apapa.gif)
Евгений
