(Навеяно задачей "Пересечь все отрезки")

Пусть в некотором графе существует путь Эйлера, причём из каждой вершины выходит чётное число рёбер.
Будем считать, что путь проходит через вершину х

1 3
\ /
х
/ \
2 4

в порядке (1,2) и (3,4), не самопересекающийся, иначе (например, (1,4) и (2,3)) — самопересекающийся.

Можно ли любой такой путь с чётными вершинами построить без самопересечений?
(И почему можно? )