Совсем простая задача, но надо кое-что понимать, чтобы ответить

В урне лежит 1 шар. С вероятнотью 1/2 он белый.
Я положил туда же ещё один шар — точно белый.
Затем снова сунул руку и достал один шар, он — белый.
Какова вероятность, что оставшийся в урне шар белый?

PS
Задачу легко обобщить на любую исходную вероятность p.

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>В урне лежит 1 шар. С вероятнотью 1/2 он белый.
P>Я положил туда же ещё один шар — точно белый.
P>Затем снова сунул руку и достал один шар, он — белый.
P>Какова вероятность, что оставшийся в урне шар белый?

P>Задачу легко обобщить на любую исходную вероятность p.

Ответ: вероятность — исходная.
Прибавил белый шар, убавил белый шар. Ничего не изменилось в этой урне.

(Представим себе, что внутри урны был шар в квантовом состоянии (p:белый, 1-p:небелый). Он там и остался).

Другое дело, что тебе повезло с выниманием белого шара, с вероятностью (p+1)/2.

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Совсем простая задача, но надо кое-что понимать, чтобы ответить

P>В урне лежит 1 шар. С вероятнотью 1/2 он белый.
P>Я положил туда же ещё один шар — точно белый.
P>Затем снова сунул руку и достал один шар, он — белый.
P>Какова вероятность, что оставшийся в урне шар белый?

P>PS
P>Задачу легко обобщить на любую исходную вероятность p.
0.75?

Здравствуйте, Flea, Вы писали:

F>Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>>Совсем простая задача, но надо кое-что понимать, чтобы ответить

P>>В урне лежит 1 шар. С вероятнотью 1/2 он белый.
P>>Я положил туда же ещё один шар — точно белый.
P>>Затем снова сунул руку и достал один шар, он — белый.
P>>Какова вероятность, что оставшийся в урне шар белый?

P>>PS
P>>Задачу легко обобщить на любую исходную вероятность p.
F>0.75?

Присоединяюсь.

С р = 1/2 вытаскиваем второй шар, у оставшегося р = 1/2
С р = 1/2 вытаскиваем первый шар, у оставшегося р = 1
Итого р = 1/2 * 1/2 + 1/2 * 1 = 3/4

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>Ответ: вероятность — исходная.
К>Прибавил белый шар, убавил белый шар. Ничего не изменилось в этой урне.

Ууупс

Здравствуйте, Flea, Вы писали:

F>0.75?

Не-а

Здравствуйте, Pushkin


2/3

UgN>
UgN>2/3

было:                     W1         или            B1

добавили белый W2       W1  W2                    B1  W2
        
теперь убрали Wx      
осталось              W1 или  W2                 только B1

Всего 3 исхода, в двух случаях остался белый => вероятность 2/3

Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

F>>0.75?

M>Присоединяюсь.

Отсоединяйся быстрей

M>С р = 1/2 вытаскиваем второй шар, у оставшегося р = 1/2
M>С р = 1/2 вытаскиваем первый шар, у оставшегося р = 1
M>Итого р = 1/2 * 1/2 + 1/2 * 1 = 3/4

Вторая 1/2 слишком большая для нас — мы же можем вынуть и чёрный.
3/4 — правильный ответ для вероятности вынуть белый шар

Здравствуйте, UgN, Вы писали:

UgN>было:                     W1         или            B1

UgN>добавили белый W2       W1  W2                    B1  W2
UgN>        
UgN>теперь убрали Wx      
UgN>осталось              W1 или  W2                 только B1
                          (1)     (2)                       (3)

UgN>Всего 3 исхода, в двух случаях остался белый => вероятность 2/3
Исходы не равновероятны.
P(1) = p/2, P(2) = p/2, P(3) = 1-p

Здравствуйте, UgN, Вы писали:

UgN> 2/3

Правильный ответ появился. Но решения я не понял.
Приведу своё. Чукча, как говорится не читатель

Поставим 1000 ящиков с одним шаром — в 500 из них он белый.
Добавим в каждый ящик по белому шару — в 500 стало ББ в 500 — ЧБ.
Вынем везде по 1 шару — в 750 ящиках мы вынем белый, а в 250 — чёрный.
Там, где вынули чёрный — не считается — это противоречит условию.
Из 750 ящиков белый шар остался в 500. Ответ 500/750=2/3

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:


UgN>> 2/3

P>Правильный ответ появился. Но решения я не понял.
P>Приведу своё. Чукча, как говорится не читатель

Да в общем-то тоже самое, просто в 500 раз меньше! (я экономный )

Хотя фраза про три исхода с двумя шарами, наверное, действительно некорректна...

Но ход решения такой же.

Здравствуйте, UgN, Вы писали:

UgN>Да в общем-то тоже самое, просто в 500 раз меньше! (я экономный )

Да, конечно. Просто с этими каверзными вероятностями часто помогает мысленный эксперимент. Сразу меньше споров о равновероятности исходов

Привет всем!

Честно говоря, я ожидал увидеть не схемы с сомнительным подсчетом и не 1000 ящиков, хотя прием, несомненно, иногда бывает очень полезен, а нечто более строгое.

Данная задача, с одной стороны, достаточно проста, а с другой — позволяет продемонстрировать они из главных принципов элементарной теории вероятностей: исчисление условных вероятностей и формулу полной вероятности (ссылки приводятся как пример).

А именно,

P{второй шар белый | первый шар белый} = P{оба шара белые} / P{первый шар белый} = 0.5 / ( P{первый шар белый | шары разного цвета} * P{шары разного цвета} + P{первый шар белый | шары одного цвета - белые} * P{шары одного цвета} ) = 0.5 / ( 0.5 * 0.5 + 1 * 0.5 ) = 2/3

Здравствуйте, Apapa, Вы писали:

A>

A>P{второй шар белый | первый шар белый} = P{оба шара белые} / P{первый шар белый} = 0.5 / ( P{первый шар белый | шары разного цвета} * P{шары разного цвета} + P{первый шар белый | шары одного цвета - белые} * P{шары одного цвета} ) = 0.5 / ( 0.5 * 0.5 + 1 * 0.5 ) = 2/3
A>

Ой-ой-ой.
Знание, конечно, сила, но с ящиками существенно понятней
Всегда я к этому Байесу подозрительно относился.
Наверное в более сложных случаях он и полезен.
Но для двух шаров пожалуй явный overkill...

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Знание, конечно, сила, но с ящиками существенно понятней

Хм-м я посмотрел на задачу и в уме сделал так:

Один шар 50% белый, исходы:
достать белый
досьаьб чёрный
1/2
Добавили белый, исходы:
достать белый
досьаьб чёрный
достать белый
2/3
Или я чего-т не понял и это не всегда работает?
А с ящиками всегда?

Здравствуйте, Kluge, Вы писали:

K>Добавили белый, исходы:
K>достать белый
K>досьаьб чёрный
K>достать белый
K> 2/3
K>Или я чего-т не понял и это не всегда работает?
K>А с ящиками всегда?

Тут мноие могут спросить, а почему собственно исходы равновероятные.
Мощный ум скажет "Очевидно", но не убедит маловера.
Короче каждый убеждает себя как угодно, важно только почаще получать правильные ответы

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Здравствуйте, Apapa, Вы писали:

P>Знание, конечно, сила, но с ящиками существенно понятней
P>Всегда я к этому Байесу подозрительно относился.
P>Наверное в более сложных случаях он и полезен.
P>Но для двух шаров пожалуй явный overkill...

Да ладно тебе. Зачем изобретать велосипеды с ящиками, когда есть уже готовая формула?
Мне вот например твое решение не нравится. Что это за "вынули черный шар — не считается?"

BTW, в общем случае ответ 2p / (1+p)

Здравствуйте, Pushkin,

Встречная задача:

В урне лежит 1 шар, с вероятностью P1 — белый.
Злой колдун насыпал туда N белых шаров, пошуровал и вынул обратно N белых шаров.
Чему стала равна вероятность P2 что остался белый шар?

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>В урне лежит 1 шар, с вероятностью P1 — белый.
К>Злой колдун насыпал туда N белых шаров, пошуровал и вынул обратно N белых шаров.
К>Чему стала равна вероятность P2 что остался белый шар?

Маньяк.

P2 = P1 * (N + 1) / (1 + N * P1)