Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>3 человека стреляются.
P>Остаться должен только один.
P>Стреляют по-очереди (по кругу).
P>Первый выбирается жребием.
P>Каждый сам вибирает, в кого он сейчас стреляет.
P>Можно стрелять в воздух.
P>Меткости (т.е. вероятности попадания) у каждого — p1,p2,p3.
P>Найти оптимальные стратегии и вероятности w1,w2,w3 остаться в живых для каждого.

Задача удивительно сложная и красивая. У меня получилось решить её в 3-х частных случаях. В этом посте первый:

Пусть меткости равны (1,1,p) здесь p — параметр, любое число от 0 до 1 (включительно)

Ясно, что при малых p крутые стреляют друг в друга, не обращая внимание на мазилу, а потом разбираются с ним. Вероятность выжить для мазилы мала, а для крутых определяется шансом получить первый ход. Для того, кто стоит после мазилы он равен 2/3, а для того, то перед — 1/3. Это очеь важно — крутые не симметричны! В условии задачи сказано, что бросается жребий, кому первому стрелять, но НЕТ жребия кому как встать! Поэтому все ответы несимметричные — если надо усреднить и расстановке, можно всегда это сделать в конце.

С другой стороны, ясно, что при p=1 никто не захочет друг в друга стрелять. Первый убивший следующим ходом будет убит сам! Поэтому дуэль будет продолжаться вечно. Как это всё перевести в цифры? Как решить, какая стратегия выгоднее — позволяющая выжить с вероятностью 2/5 или вечная стрельба в воздух? Мне удалось найти на мой взгляд разумный выход из этой неприятности. Пусть на каждом выстреле есть очень маленькая (1/1000) вероятность того, что пистолет взорвётся и будет убит сам стреляющий. Это значит, что при длительной стрельбе в воздух всех троих будет по сути бросаться жребий, кому умереть (но обратите внимание, это не то же самое, что жребий кому выжить!). Например, три крутых очевидно предпочтут стрелять в воздух и выжить с вероятностью 1/3 (здесь везде 1/3 — что умереть от взрыва, что выжить в результате), чем кого-то убить и точно умереть самому.

Очевидно, есть такое значение p, при котором происходит перелом — сиена стратегий. Расчёты показали, что это p=2/3. При меньших p крутые палят друг в друга, а мазила стреляет в воздух. Вероятности выжить:

w1=2/3*(1-p)
w2=1/3*(1-p)
w3=p

Выйдя из точки (2/3,1/3,0) при p=0
пройдя затем точку оригинальной задачи (1/3,1/6,1/2) при p=0.5
мы достигаем при дикого превосходства мазилы (2/9,1/9,2/3) в критической точке p=2/3

Но дальше лафа кончается — в мазиле вдруг начинают видеть достойного противника и все начинают стрелять в воздух, ожидая божьего суда. Но вероятности выжить_в_итоге не одинаковы.

w1=2/3-p/3
w2=1/3
w3=p/3

Первый крутой опять имеет преимущество над вторым (он ведь стреляет после мазилы), а мазила наконец на законном последнем месте. При p=1 приходим к законному результату 1/3, 1/3, 1/3

Самое удивительное в ответах конечно то, что в критической точке все фунции рвутся и очень сильно!

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

Второй случай, который удаётся решить до конца
меткости=(1,p,p) где p-любое число от 0 до 1 включительно

Аналогично предыдущему случаю здесь есть критическое значение p, при котором происходит смена стратегий всех участников.

p<2/3
Крутой стреляет в кого попало. Мазила, стоящий перед крутым, стреляет в него. Мазила после крутого — в воздух.

w1=(1-p)*(3-2p)/3
w2=p*(2pp-7p+10)/(2-p)/6
w3=p*(2pp-11p+10)/(2-p)/6

Начинается всё при p=0 гарантией жизни для крутого и смерти для мазил.
Но затем при p=0.5 крутой имеет всего 1/3, а мазилы располагаются по обе стороны него симметрично.
При p=2/3 обе мазилы сильно обгоняют крутого w=(5/27,14/27,8/27).

Но в этот момент крутой наконец их пугается и начинает палить в воздух. В тот же момент второй мазиле тоже перестаёт хотеться убить крутого и все палят в воздух. Само собой рутой в результате имеет некоторое преимущество

w1=(2-p)/3
w2=1/(2-p)/3
w3=(1+p-pp)/(2-p)/3

К p=1 всё спокойно приходит к (1/3,1/3,1/3)

Таким образом, как и в случае (1,1,p), здесь тоже наблюдается полный разрыв всех функций в критической точке.

Ещё забавно, что в случае (1,p+0.001,p) вся картинка радикально меняется — крутому становится не всё равно в какую мазилу стрелять и все стратегии от этого меняются. У "крутого мазилы" почти нет шансов выжить, а честный мазила имеет большое преимущество даже над настоящим крутым

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

Совсем простой случай 1>>p1>p2>p3

Стратегии очевидны — стреляй в самого крутого из двух. Из за маленьких вероятностей здесь перестают играть роль очерёдности ходов. Поэтому эти ответы годятся для всех (не обязательно малых) вероятностей, если в исходную задачу внести правило, что стреляют все всегда по жребию.

w1=p1/(p1+p2+p3)*p1/(p1+p3)
w2=(p2+p3)/(p1+p2+p3)*p2/(p2+p3)
w3=(p2+p3)/(p1+p2+p3)*p3/(p2+p3)+p1/(p1+p2+p3)*p3/(p1+p3)

Забавно в этих крокодилах только то, что самый мазила совсем не обязательно имеет наихудшие шансы, а самый крутой наилучшие.

Здравствуйте, mrhru, Вы писали:


M>Обозначим противников А(Р=1) и Б1, Б2 (Р=1/2)
M>Начнем с А.

M>1) С Р=1/3, первый ход достанется А.
M>Он убивает одного из Б, затем оставшийся с Р=1/2 убивает А,
M>затем А убивает Б. Вероятность убития А равна 1/3 * 1/2 = 1/6.

Аккуратнеее!
1/6 это вероятность того, что первый ход был у A, но он всё равно был убит.

M>2) С Р=1/3, первый ход достанется одному из Б, а затем перейдет к А.

Не обязательно — может ход до А и не дойдёт.

M>3) С Р=1/3, первый ход достанется одному из Б, затем другому,
M>а потом перейдет к А.
M>С Р=1/2 Б убивает А, затем с Р=1/2 другой Б убивает А, потом А
M>убивает одного из Б, а оставшийся Б с Р=1/2 убивает А, затем А
M>убивает Б.

Вот здесь моё главное несогласие! Тот Б, который стоит сразу после А не будет стрелять в А, он предпочтёт выстрел в воздух. Действительно, вероятность выжить, если он убъёт А — 1/3 (дуэль двух Б, где начинает противник). А если не убъёт, то 1/2*2/3 + 1/2*1/4 = 11/24 — существенно больше (здесь первый член соответствует случаю, когда у второго Б получилось убить А, а второй — когда не получилось). Таким образом, оптимальная стратегия для первого мазилы — сваливать всю работу на второго. И второй ничего не может поделать — его оптимальная стратегия — таки стрелять в А!

Вероятность для А остаться в живых
w=1/3*1/2+2/3*1/2*1/2=1/3

Для Б1 (тот, кто стоит сразу после А и стреляет в воздух)
w=1/3*1/4+2/3*(1/2*1/4+1/2*2/3)=7/18

Для Б2 (тот, кто стоит перед А и стреляет в него)
w=1/3*1/4+2/3*(1/2*1/4+1/2*1/3)=5/18

Итак, крутой получает свою "честную" 1/3, а две мазилы располагаются тоже вокруг 1/3 — тот, кто "в тени" крутого получает чуть больше, а второй чуть меньше.

Забавно, что если Б1 имеет меткость 0.5000001, то крутому уже не всё равно, в кого стрелять. И значит Б1 теперь не может отсиживаться за спиной Б2 (тот стрельнет в воздух!). Вся ситуащия радикально меняется и все ответы претерпевают разрыв!

wA =5/12
wБ1=1/18
wБ2=19/36

Удивительный ответ! Б1 лишь слегка выпендрился и получил исчезающую вероятность выжить, в то время как скромный Б2 выживает с вероятностью больше половины. А бедный крутой снова в заднице

Мне кажется, мы незаслуженно рано забыли эту замечательную задачу.
Напомню ещё раз условие:

3 человека стреляются.
Остаться должен только один.
Стреляют по-очереди (по кругу).
Первый выбирается жребием.
Каждый сам вибирает, в кого он сейчас стреляет.
Можно стрелять в воздух.
Меткости (т.е. вероятности попадания) у каждого — p1,p2,p3.
Найти оптимальные стратегии и вероятности w1,w2,w3 остаться в живых для каждого.

Для p = { 1, 1, 0.5 } был получен замечательный ответ w = { 0.25, 0.25, 0.5 }

1) Предлагаю новую задачу: p = { 1, 0.5, 0.5 }
У меня получился совершенно замечательный ответ для w (если не соврал нигде )

2) Может есть ещё какие простые и красивые случаи?

3) А может, найдётся гигант, который сделает это в общем виде?

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Мне кажется, мы незаслуженно рано забыли эту замечательную задачу.
P>Напомню ещё раз условие:

P>3 человека стреляются.
P>Остаться должен только один.
P>Стреляют по-очереди (по кругу).
P>Первый выбирается жребием.
P>Каждый сам вибирает, в кого он сейчас стреляет.
P>Можно стрелять в воздух.
P>Меткости (т.е. вероятности попадания) у каждого — p1,p2,p3.
P>Найти оптимальные стратегии и вероятности w1,w2,w3 остаться в живых для каждого.

P>Для p = { 1, 1, 0.5 } был получен замечательный ответ w = { 0.25, 0.25, 0.5 }

Чем же он замечателен ...
Если ВСЕ 3 человека логически стремятся к max соотношению, то мне кажется ,что 100%-ки будут стрелять в воздух, пока не будут 3-ми в очереди !!!
Тогда они палят в 100% и потом 50%+25% ...

P>1) Предлагаю новую задачу: p = { 1, 0.5, 0.5 }
P>У меня получился совершенно замечательный ответ для w (если не соврал нигде )

P>2) Может есть ещё какие простые и красивые случаи?

P>3) А может, найдётся гигант, который сделает это в общем виде?

Здравствуйте, KGP, Вы писали:

P>>Для p = { 1, 1, 0.5 } был получен замечательный ответ w = { 0.25, 0.25, 0.5 }

KGP>Чем же он замечателен ...

Тем, что мазила выигрывает у крутых. И сильно выигрывает. И те ничего не могут сделать даже несмотря на то, что разрешено стрелять в воздух, и казалось бы, делай они это через раз, они могли бы стать точно такими мазилами.

KGP>Если ВСЕ 3 человека логически стремятся к max соотношению, то мне кажется ,что 100%-ки будут стрелять в воздух, пока не будут 3-ми в очереди !!!

Вот этого я совсем не понял. Крутые в воздух, конечно, никогда стрелять не должны. В воздух всё время (до последнего выстрела) стреляет мазила. (Десяток постов назад есть эта задача, там всё написано).

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>1) Предлагаю новую задачу: p = { 1, 0.5, 0.5 }
P>У меня получился совершенно замечательный ответ для w (если не соврал нигде )

w={ 0.5, 0.25, 0.25 }

Первому все равно, кого убивать. Далее оставшийся с вероятностью 0.5 промахнется по первому...

Второму/третьему нужно стрелять в первого ("самое сильное звено" ).
С вероятностью 0.5 он промахивается и будет застрелен.
Если повезет (0.5), то между вторым и третьим состоится честная дуэль (0.5).

P>2) Может есть ещё какие простые и красивые случаи?

P>3) А может, найдётся гигант, который сделает это в общем виде?

Имхо, общее правило такое: нужно стрелять в самого меткого.
Придерживаясь такой стратегии, для p={x,y,z}, x>=y>=z, получим

(предполагая, что после одного раунда выжившие мирятся)

w1 = x*duel(x,z) + (1-x)*(1-y)*duel(x,z)

w2 = y*duel(y,z) + (1-y)*(1-x)*duel(y,z)

w3 = z*duel(z,y) + (1-z)*(duel_win(x,y)*(1-x)+duel_win(y,x)*(1-y)+duel_draw(x,y)*(1-x)*duel(z,y))

где
duel(a,b) -- вероятность выживания в дуэли первого участника
= 0.5*a + 0.5*(1-a)*(1-b) -- очередность определяется жеребьевкой
duel_win(a,b) -- вероятность победы первого
= 0.5*a + 0.5*(1-b)*a
duel_draw(a,b) -- вероятность ничьей
= (1-a)*(1-b)

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>w={ 0.5, 0.25, 0.25 }

У меня другой ответ...

К>Первому все равно, кого убивать. Далее оставшийся с вероятностью 0.5 промахнется по первому...

Итак твой ответ годится, если начинает крутой.

К>Второму/третьему нужно стрелять в первого ("самое сильное звено" ).
К>С вероятностью 0.5 он промахивается и будет застрелен.

Совсем не обязательно, может крутой не злопамятный и выберет другого мазилу.

К>Если повезет (0.5), то между вторым и третьим состоится честная дуэль (0.5).

Вау! Честная дуэль?! Кто-то ж начинает! Это маленькая (совсем простая) задача в задаче: две мазилы стреляют по-очереди, найти вероятность остаться живым для первого и второго.

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>Имхо, общее правило такое: нужно стрелять в самого меткого.

Если ты убъёшь самого меткого, то в дуэли оставшихся двоих у твоего противника будет право первого хода.

Поэтому твоя простая замечательная стратегия действительно работает в случае, когда не столь важно, кто будет стрелять первым, т.е. в дуэли трёх мазил, (p1,p2,p3<<1) Здесь все вычисления легко довести до конца и получить понятные ответы.

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Может есть ещё какие простые и красивые случаи?

Для p = { 0.5, 0.5, 0.5 } все будут стрелять в воздух и дуэль не кончится !
Забавно, что и для p = { 1, 1, 1 } тоже. И вообще для любых равных соперников.

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

К>>Имхо, общее правило такое: нужно стрелять в самого меткого.

P>Если ты убъёшь самого меткого, то в дуэли оставшихся двоих у твоего противника будет право первого хода.

А если я убью самого криворукого, то моим противником окажется самый меткий. Вот я обрадуюсь!

P>Поэтому твоя простая замечательная стратегия действительно работает в случае, когда не столь важно, кто будет стрелять первым, т.е. в дуэли трёх мазил, (p1,p2,p3<<1) Здесь все вычисления легко довести до конца и получить понятные ответы.

Кстати, уточни пожалуйста, как проходит турнир.
Первый выбирается жеребьевкой. А второй (если первый промахнулся)?

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

P>>Если ты убъёшь самого меткого, то в дуэли оставшихся двоих у твоего противника будет право первого хода.
К>А если я убью самого криворукого, то моим противником окажется самый меткий. Вот я обрадуюсь!

Дык блин, можно же и в воздух стрелять!

К>Кстати, уточни пожалуйста, как проходит турнир.
К>Первый выбирается жеребьевкой. А второй (если первый промахнулся)?

Следующий по часовой стрелке. А если он убит, то следующий.
(Кстати, там в головном посте всё подробно написано, между прочим. )

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

...

P>1) Предлагаю новую задачу: p = { 1, 0.5, 0.5 }
P>У меня получился совершенно замечательный ответ для w (если не соврал нигде )

Обозначим противников А(Р=1) и Б1, Б2 (Р=1/2)
Начнем с А.

1) С Р=1/3, первый ход достанется А.
Он убивает одного из Б, затем оставшийся с Р=1/2 убивает А,
затем А убивает Б. Вероятность убития А равна 1/3 * 1/2 = 1/6.

2) С Р=1/3, первый ход достанется одному из Б, а затем перейдет к А.
Б с Р=1/2 убивает А, затем А убивает одного из Б, затем
оставшийся Б с Р=1/2 убивает А, затем А убивает Б.
Вероятность остаться в живых у А равна 1/4, соответственно
убития 1/3 * (1 — 1/4) = 1/4.

3) С Р=1/3, первый ход достанется одному из Б, затем другому,
а потом перейдет к А.
С Р=1/2 Б убивает А, затем с Р=1/2 другой Б убивает А, потом А
убивает одного из Б, а оставшийся Б с Р=1/2 убивает А, затем А
убивает Б.
Считаем для вероятность остаться в живых:
{Выстрел одного Б}1/2 * {Выстрел другого Б}1/2 * {оставщийся Б}1/2 = 1/8
соответственно, вероятность убития А в этом случае равна
1/3 * (1 — 1/8) = 1/3 * 7/8 = 7/24

Суммарная вероятность убития А равна

1/6 + 1/4 + 7/24 = 17/24

остаться в живых — 7/24

На каждого из Б остается (1 — 7/24) / 2 = 8.5/24

итого = (7/24, 8.5/24, 8.5/24) ~ (0.291, 0.354, 0.354)

Опять мазилы побеждают!

Стратегия, когда Б стреляют в воздух — для них хуже, так как:

Фактически А стреляет первым, убивает одного из Б, оставшийся
Б с Р=1/2 убивает А, затем А убивает Б.
Получается (0.5, 0.25, 0.25)

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>2) Может есть ещё какие простые и красивые случаи?

Вот красивый случай р = {2, 0.5, 0.5}

Для него w = (3/4, 1/8, 1/8)

Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

M>Вот красивый случай р = {_2_, 0.5, 0.5}

Это что? Одним махом двоерых побивахом? Дуэль на гранатах, что ли?

M>Для него w = (3/4, 1/8, 1/8)

Еще бы, с таким монстром воевать.

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

M>>Вот красивый случай р = {_2_, 0.5, 0.5}

К>Это что? Одним махом двоерых побивахом? Дуэль на гранатах, что ли?

Нет, это у него ствол пистолета раз-два-яи... э... двойной ствол такой.

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

M>>Вот красивый случай р = {_2_, 0.5, 0.5}

К>Это что? Одним махом двоерых побивахом? Дуэль на гранатах, что ли?

M>>Для него w = (3/4, 1/8, 1/8)

К>Еще бы, с таким монстром воевать.

Гм, мысль о гранатах навела на ещё один интересный случай

р = {3, 0.5, 0.5}

в котором суммарная вероятность выжить у участников дуэли, становится меньше 1
.

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:



...

P>Итак, крутой получает свою "честную" 1/3, а две мазилы располагаются тоже вокруг 1/3 — тот, кто "в тени" крутого получает чуть больше, а второй чуть меньше.

P>Забавно, что если Б1 имеет меткость 0.5000001, то крутому уже не всё равно, в кого стрелять. И значит Б1 теперь не может отсиживаться за спиной Б2 (тот стрельнет в воздух!). Вся ситуащия радикально меняется и все ответы претерпевают разрыв!

P>wA =5/12
P>wБ1=1/18
P>wБ2=19/36

P>Удивительный ответ! Б1 лишь слегка выпендрился и получил исчезающую вероятность выжить, в то время как скромный Б2 выживает с вероятностью больше половины. А бедный крутой снова в заднице

Интересно, в первом случае крутому всё равно в кого стрелять — и вероятность выжить равна 1/3.
Во втором случае, он выбирает Б1 из-за микроскопической разности и повышает свои шансы до 5/12 (> 1/3).
Следовательно, ему и в первом случае следует стрелять в Б1 — лишь для того, чтобы Б1 поменял свою стратегию!!! Так?

Здравствуйте, mrhru, Вы писали:


M>Интересно, в первом случае крутому всё равно в кого стрелять — и вероятность выжить равна 1/3.
M>Во втором случае, он выбирает Б1 из-за микроскопической разности и повышает свои шансы до 5/12 (> 1/3).
M>Следовательно, ему и в первом случае следует стрелять в Б1 — лишь для того, чтобы Б1 поменял свою стратегию!!! Так?

После того, как крутой стрельнет в Б1, тот уже никак не сможет поменять стратегию

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

P>
M>>Интересно, в первом случае крутому всё равно в кого стрелять — и вероятность выжить равна 1/3.
M>>Во втором случае, он выбирает Б1 из-за микроскопической разности и повышает свои шансы до 5/12 (> 1/3).
M>>Следовательно, ему и в первом случае следует стрелять в Б1 — лишь для того, чтобы Б1 поменял свою стратегию!!! Так?

P>После того, как крутой стрельнет в Б1, тот уже никак не сможет поменять стратегию

Давайте еще раз — про точки излома.

Пока у мазил меткости равны — крутой выбирает цель произвольно и получает себе шансы 1/3.

Если один мазила хоть чуть-чуть точнее другого (0.50000001), то крутой, по-прежнему стреляя произвольно — практически не меняет себе шансы. А вот если он выбирает (ничтожно) более меткого — то
1) меняет ему стратегию
2) заметно улучшает себе шансы (5/12 против 4/12)

Спрашивается, почему бы ему не поменять стратегию сразу, тогда, когда меткости у мазил равны? Тем самым, он сразу улучшит себе шансы!


Поэтому, точек разрыва, имхо, быть не должно.
Даже если меткость первого заметно ниже второго, то крутой должен взвесить свои шансы выжить для двух стратегий — произвольной стрельбы и стрельбы в Б1. И, естественно, выбырать лучшую стратегию.

Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

M>Вот красивый случай р = {2, 0.5, 0.5}
M>Для него w = (3/4, 1/8, 1/8)

Прости но баба яга и здесь против.

Стратегии очевидны — первый убивает обоих, оба мечтают замочить двустволку.
Если они это сделают, дальше "честная" дуэль (у начинающего шансы 2/3)
Вот вероятности (все множители 1/3 от первого жребия)

w1= 1/3*1 + 1/3*1/4                   + 1/3*1/2     = 7/12 = 21/36
w2= 1/3*0 + 1/3*(1/2*1/3+1/2*1/2*2/3) + 1/3*1/2*2/3 = 2/9  =  8/36
w3= 1/3*0 + 1/3*(1/2*2/3+1/2*1/2*1/3) + 1/3*1/2*1/3        =  7/36

Таким образом шансы мазил у меня чуть выше и не равны друг другу,
а шансы крутого с двустволкой наоборот не такие большие — чуть больше половины.
Его бедного все хотят убить

Здравствуйте, mrhru, Вы писали:


M> р = {3, 0.5, 0.5}
M>в котором суммарная вероятность выжить у участников дуэли, становится [b]меньше 1

Чувак с бомбой максимизирует вероятность своего выживания. Это значит ему по-фигу взрывать или не взрывать. Он так и так имеет честный ноль. Честный математик примет решение с вероятностью 1/2 бомбить и 1/2 не бомбить.

Далее тот мазила, который стоит перед бомбистом.
Если он убъёт этого опасного дядю, то будет иметь 1/3 выжить в дуэли с другим мазилой.
А если убъёт другого мазилу, то опасный дядя тоже ничем от второго мазилы не будет отличаться — с вероятностью 1/2 он убивает. Т.е. тоже имеем всего 1/3. Если же будет стрелять в воздух, то даже если второй мазила будет стрелять в бомбиста (а ещё и не факт), то свои 3/4 смерти стреляющий в воздух получит уже за 2 круга. Короче мазила,стоящий перед бомбистом с вероятностью 1/2 стреляет налево и с 1/2 направо.

На самом деле то же самое делает мазила, что стоит после бомбиста. Тут мазилы соображают, что бомбист опаснее, т.к. другой мазила выбирает жертву и потом ещё может промазать, а бомбист только решает взорвать/не взорвать.

Короче все стреляют в бомбиста, а он взрывает с вероятностью 1/2.

w1=0 — бомбист так и так помрёт

Для первого мазилы
w(при условии что первый стреляет бомбист)=1/2*(1/2*1/3+1/2*(1/2*2/3+1/2*w))
w(при условии что первый стреляет бомбист)=4/21

w(при условии что первый стреляет первый мазила)= 1/2*1/3+1/2*(1/2*2/3+1/2*1/2*w)
w(при условии что первый стреляет первый мазила)= 4/9

w(при условии что первый стреляет второй мазила)= 1/2*2/3+1/2*1/2*(1/2*1/3+1/2*w)
w(при условии что первый стреляет второй мазила)= 3/7

Итак имеем.
w2= 1/3*4/21+1/3*4/9+1/3*3/7= 67/63/3 — чуть больше 1/3

Для w3 аналогично, но лениво ужасно.
Сумма вероятно и правда окажется <1.

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Чувак с бомбой максимизирует вероятность своего выживания. Это значит ему по-фигу взрывать или не взрывать. Он так и так имеет честный ноль. Честный математик примет решение с вероятностью 1/2 бомбить и 1/2 не бомбить.

Ну, неправда! Бомбист может сказать: "ребята, мне самому страшно, ну ее бомбу нафиг". Тогда ситуация будет выглядеть так: p={0, 0.5, 0.5}

Причем бомбист может еще добавить: "Если нападете на меня — тогда я разозлюсь".

Поэтому стратегии будут такие:
— бомбист стреляет в воздух
— мазилы мочат друг друга, а потом все стреляют в воздух.

Ситуация похожа на современную, с атомными супердержавами.
Все прекрасно понимают, что после Великой Зимы победителей не будет, и при этом как-то не решаются массированно напасть на членов ядерного клуба.

Здравствуйте, mrhru, Вы писали:


M>Если один мазила хоть чуть-чуть точнее другого (0.50000001), то крутой, по-прежнему стреляя произвольно — практически не меняет себе шансы. А вот если он выбирает (ничтожно) более меткого — то
M>1) меняет ему стратегию
M>2) заметно улучшает себе шансы (5/12 против 4/12)

M>Спрашивается, почему бы ему не поменять стратегию сразу, тогда, когда меткости у мазил равны? Тем самым, он сразу улучшит себе шансы!

Нет. Как только у крутого возникает шанс применить свою стратегию, так тут же задача и кончается. Он же крутой. В тот момент, когда он решает, в кого стрельнуть, ответ уже есть — 1/2.

Иными словами вероятность крутому выжить при условии, что до него дошёл ход равна 1/2.
Ещё иными словами: из всех дуэлей, где крутой хоть раз стрелял, он выжил в половине.

Таким образом крутому всё равно в кого стрелять, он по сути не меняет свою стратегию.
Почему же для него всё меняется? Из-за того, что другие игроки меняют стратегии.
Раньше в него стрелял тот, кто стоит перед ним, а теперь тот, кто стоит после.
А не по фигу ли ему? Нет! Теперь у того, кто стоит после по изначальному жребию шансы стрельнуть 1/3 а раньше у того, кто стоит перед крутым шансов было 2/3.

Таким образом, знание мазилами того, что крутой владеет всей информацией меняет их стратегии и шансы всех, в том числе крутого. Боже, какая глубокая задача!

M>Поэтому, точек разрыва, имхо, быть не должно.

Блин, ну понятно, что подозрительно это всё. Но получаются же они! И я не вижу ошибок. Остаётся охреневать

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Тем, что мазила выигрывает у крутых. И сильно выигрывает. И те ничего не могут сделать даже несмотря на то, что разрешено стрелять в воздух, и казалось бы, делай они это через раз, они могли бы стать точно такими мазилами.

У Вас какие-то глупые 'крутые'

P>Вот этого я совсем не понял. Крутые в воздух, конечно, никогда стрелять не должны.
Этож почему они не должны и кому они не должны ...
при моём поведении крутых они получают больший процент, чем 25%

Тактика должна соответствовать max проценту

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>при моём поведении крутых они получают больший процент, чем 25%
А>Тактика должна соответствовать max проценту

Приведите полностью выши стратегии для всех трёх участников и расчёт вероятностей выжить для каждого при следовании этим стратегиям.

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>>Чувак с бомбой максимизирует вероятность своего выживания. Это значит ему по-фигу взрывать или не взрывать. Он так и так имеет честный ноль. Честный математик примет решение с вероятностью 1/2 бомбить и 1/2 не бомбить.

К>Ну, неправда! Бомбист может сказать: "ребята, мне самому страшно, ну ее бомбу нафиг". Тогда ситуация будет выглядеть так: p={0, 0.5, 0.5}

Посчитай {w1,w2,w3} для этого случая. Впрочем и без расчёта ясно, что w1=0.
Таким образом боись-не боись, а всё равно сдохнешь. Поэтому я и говорю, что у бомбиста нет причин предпочесть ту или иную стратегию. Поэтому он должен мограть между двумя.

Кстати, обрати внимание, если p1=2.99999 то бомбист точно взрывает! Потму что имеет хоть какую-то вероятность выжить. Для него, положим, это не сильно меняет результат, а вот для остальных двоих участников всё становится радикально иначе. Опять разрывы в ответах!

К>Причем бомбист может еще добавить: "Если нападете на меня — тогда я разозлюсь".

Остроумно, но это уже другая задача. В нашей задаче участники немые. Они не могут обмениваться информацией. Только стрелять. И месть это не математическое понятие. Даже если один из мазил стрелял в крутого и промазал, крутой, получив ход, максимизирует свою вероятнось, а не мстит стрелявшему. И даже если ему пофигу, выбирает с 1/2, а не из соображений мести. Оно, конечно, как договоримся, но мне кажется, так задача будет чище, математичней.

К>Ситуация похожа на современную, с атомными супердержавами.
К>Все прекрасно понимают, что после Великой Зимы победителей не будет, и при этом как-то не решаются массированно напасть на членов ядерного клуба.

У сверхдержав есть некий шанс вообще разойтись миром. Это сильно меняет поведение...