ТВ: задача Монти Холла
От: Andy77 Ниоткуда  
Дата: 16.01.03 20:13
Оценка: 10 (3)
Монти Холл — ведущий пеpедачи "Let's make a deal"

Вы — участник пеpедачи "Давайте заключим сделку". Монти Холл показывает вам тpи закpытых двеpи. Он говоpит, что за двумя двеpьми ничего нет, а за тpетьей двеpью находится машина. Вы выбиpаете двеpь, но, пеpед тем как откpыть ее, Монти откpывает одну из оставшихся двеpей (он всегда выбирает пустую, т.к. знает, где машина) и показывает, что за ней ничего нет. Затем он пpедлагает вам изменить свой выбоp на оставшуюся двеpь. Дает ли это вам пpеимущества?
Re: ТВ: задача Монти Холла
От: Flamer Кипр http://users.livejournal.com/_flamer_/
Дата: 16.01.03 20:15
Оценка:
Здравствуйте, Andy77, Вы писали:

[]

A>Дает ли это вам пpеимущества?


Нет.
Re: ТВ: задача Монти Холла
От: Slamin США  
Дата: 16.01.03 21:03
Оценка:
Здравствуйте, Andy77, Вы писали:

A> Дает ли это вам пpеимущества?


Да.

Этот топик может легко войти в top 100
Дважды я сталкивался с таким вопросом, и оба раза были горячие дискуссии
There are 10 types of people in the world, those who don't understand binaries, those who do, and those who understand not only binaries.
Re[2]: ТВ: задача Монти Холла
От: Slamin США  
Дата: 16.01.03 21:08
Оценка:
Здравствуйте, Slamin, Вы писали:

S>Здравствуйте, Andy77, Вы писали:


A>> Дает ли это вам пpеимущества?

S>Да.

Вот моя цепочка рассуждений. Допустим ведущий загадал карту и сказал вам ее (туз пик для примера), после этого предложил выбрать одну из колоды. После того как вы выбрали ведущий переворачивает все карты кроме одной — туза пик там нет. Итого имеем две закрытые карты: у вас и у ведущего. Вероятность того что туз пик окажется у ведущего на много больше.
There are 10 types of people in the world, those who don't understand binaries, those who do, and those who understand not only binaries.
Re: ТВ: задача Монти Холла
От: Андрей Тарасевич Беларусь  
Дата: 16.01.03 21:40
Оценка:
Здравствуйте, Andy77, Вы писали:

A>Монти Холл — ведущий пеpедачи "Let's make a deal"


A>Вы — участник пеpедачи "Давайте заключим сделку". Монти Холл показывает вам тpи закpытых двеpи. Он говоpит, что за двумя двеpьми ничего нет, а за тpетьей двеpью находится машина. Вы выбиpаете двеpь, но, пеpед тем как откpыть ее, Монти откpывает одну из оставшихся двеpей (он всегда выбирает пустую, т.к. знает, где машина) и показывает, что за ней ничего нет. Затем он пpедлагает вам изменить свой выбоp на оставшуюся двеpь. Дает ли это вам пpеимущества?


Эта задача уже была обсосана в разнообразых конференциях и всегда вызывала большое количество споров. На самом деле увидеть, что стратегия со сменой двери действительно увеличивает вероятность выигрыша с 1/3 до 2/3, несложно путем простого рассмотрения вариантов. А вот попытки правильного теоретического ообоснования этого факта обычно приводят к продожительному флейму.
Best regards,
Андрей Тарасевич
Re[2]: ТВ: задача Монти Холла
От: Andy77 Ниоткуда  
Дата: 16.01.03 23:12
Оценка:
Здравствуйте, Андрей Тарасевич, Вы писали:

АТ> А вот попытки правильного теоретического ообоснования этого факта обычно приводят к продожительному флейму.


Каюсь, именно для этого я задачу и запостил
Re[2]: ТВ: задача Монти Холла
От: Andy77 Ниоткуда  
Дата: 16.01.03 23:18
Оценка:
Здравствуйте, Flamer, Вы писали:

A>>Дает ли это вам пpеимущества?


F>Нет.


Подходящий у тебя ник

А если в игре десять дверей и ведущий открывает восемь пустых?
Re: ТВ: задача Монти Холла
От: Сray  
Дата: 17.01.03 05:02
Оценка:
Здравствуйте, Andy77, Вы писали:

A>Монти Холл — ведущий пеpедачи "Let's make a deal"


A>Вы — участник пеpедачи "Давайте заключим сделку". Монти Холл показывает вам тpи закpытых двеpи. Он говоpит, что за двумя двеpьми ничего нет, а за тpетьей двеpью находится машина. Вы выбиpаете двеpь, но, пеpед тем как откpыть ее, Монти откpывает одну из оставшихся двеpей (он всегда выбирает пустую, т.к. знает, где машина) и показывает, что за ней ничего нет. Затем он пpедлагает вам изменить свой выбоp на оставшуюся двеpь. Дает ли это вам пpеимущества?


Конечно дает. Первый раз можно указать на любую дверь (от фонаря), а ведущий отбросит один из неверных вариантов, т.е. повысит вероятность отгадывания с 1/3 до 1/2.
Re[2]: Изменения выбора не увеличивает шансы угадать
От: Vi2 Удмуртия http://www.adem.ru
Дата: 17.01.03 05:28
Оценка: +1
Здравствуйте, Сray, Вы писали:

С>Конечно дает. Первый раз можно указать на любую дверь (от фонаря), а ведущий отбросит один из неверных вариантов, т.е. повысит вероятность отгадывания с 1/3 до 1/2.

Если бы задачи были независимы, то это верные решения.

Однако, поскольку выбор сделан, то предоставление возможности изменения выбора не увеличивает шансы угадать. Т.е. с вероятностью 1/2 либо вы сейчас угадали, либо вы угадаете, если начнете угадывать заново.
Vita
Выше головы не прыгнешь, ниже земли не упадешь, дальше границы не убежишь! © КВН НГУ
Re[3]: Изменения выбора не увеличивает шансы угадать
От: Андрей Тарасевич Беларусь  
Дата: 17.01.03 05:44
Оценка:
Здравствуйте, Vi2, Вы писали:

Vi2>

С>>Конечно дает. Первый раз можно указать на любую дверь (от фонаря), а ведущий отбросит один из неверных вариантов, т.е. повысит вероятность отгадывания с 1/3 до 1/2.

Vi2>Если бы задачи были независимы, то это верные решения.
Vi2>Однако, поскольку выбор сделан, то предоставление возможности изменения выбора не увеличивает шансы угадать. Т.е. с вероятностью 1/2 либо вы сейчас угадали, либо вы угадаете, если начнете угадывать заново.

Не понял. Вероятность угадывания "сразу" равна 1/3, а не 1/2. А вероятность неправильного выбора "сразу" равна 2/3. Несложно видеть, что безусловное использование стратегии смены выбора "переворачивает" исход задачи: если изначальный выбор был неверным, то данная стратегия всегда превращает его в верный выбор и наоборот — если начальный выбор был верным, то он становится неверным. Совершенно аналогичным образом меняются местами вероятности: вероятность выигрыша — 2/3, вероятность проигрыша — 1/3.
Best regards,
Андрей Тарасевич
Re[4]: Изменения выбора не увеличивает шансы угадать
От: Vi2 Удмуртия http://www.adem.ru
Дата: 17.01.03 06:34
Оценка:
Здравствуйте, Андрей Тарасевич, Вы писали:

АТ>Не понял. Вероятность угадывания "сразу" равна 1/3, а не 1/2. А вероятность неправильного выбора "сразу" равна 2/3. Несложно видеть, что безусловное использование стратегии смены выбора "переворачивает" исход задачи: если изначальный выбор был неверным, то данная стратегия всегда превращает его в верный выбор и наоборот — если начальный выбор был верным, то он становится неверным. Совершенно аналогичным образом меняются местами вероятности: вероятность выигрыша — 2/3, вероятность проигрыша — 1/3.

Тогда так. Пусть вы не делаете выбор, вероятность угадывания равна 0. Соответственно, "перевернутая" вероятность равна 1. Смешно, не правда ли?

Пусть Х — наличие машины, 0 — отсуствие ее, Y — это ваш выбор, и * — открытая дверь.
Для варианта Х00 (остальные 0Х0 и 00Х аналогичны и должны быть учтены в результате)
1. Начальная постановка

Y..
.Y.
..Y

— вероятность угадывания равна 1/3 = 1удача/3исхода

2. Теперь с открыванием двери (без изменения выбора, т.е. после выбора открывается дверь и выбор не меняется)

Y*. => Y*.
Y.* => Y.*
.Y* => .Y*
.*Y => .*Y

— вероятность 1/2 = 2удачи/4исхода

3. Теперь с изменением выбора после открывания двери

Y*. => Y*. и .*Y
Y.* => Y.* и .Y*
.Y* => .Y* и Y.*
.*Y => .*Y и Y*.

— вероятность 1/2 = 4удачи/8исходов

4. Теперь с безусловным изменением решения

Y*. => .*Y
Y.* => .Y*
.Y* => Y.*
.*Y => Y*.

— вероятность 1/2 = 2удачи/4исхода

Тут скорее всего формула Байеса работает, но это было так давно... что уже не помню.
Vita
Выше головы не прыгнешь, ниже земли не упадешь, дальше границы не убежишь! © КВН НГУ
Re[4]: Изменения выбора не увеличивает шансы угадать
От: small_cat Россия  
Дата: 17.01.03 06:36
Оценка:
Здравствуйте, Андрей Тарасевич, Вы писали:

АТ>Не понял. Вероятность угадывания "сразу" равна 1/3, а не 1/2. А вероятность неправильного выбора "сразу" равна 2/3. Несложно видеть, что безусловное использование стратегии смены выбора "переворачивает" исход задачи: если изначальный выбор был неверным, то данная стратегия всегда превращает его в верный выбор и наоборот — если начальный выбор был верным, то он становится неверным. Совершенно аналогичным образом меняются местами вероятности: вероятность выигрыша — 2/3, вероятность проигрыша — 1/3.


Ничего она не равняется 1/3 . На самом деле вероятность не меняется. С самог начала она равна 1/2, так как по условию задачи известно, что фактически делается выбор между одной пустой и одной полной (остальные выйдут из игры сразу после выбора, при этом "полная" в ней останется).
- Простите, профессор, не пса, а когда он уже был человеком.
— То-есть он говорил? Это еще не значит быть человеком. (с) Булгаков
Re[5]: Изменения выбора не увеличивает шансы угадать
От: Андрей Тарасевич Беларусь  
Дата: 17.01.03 07:09
Оценка: 45 (3)
Здравствуйте, Vi2, Вы писали:

Vi2>Здравствуйте, Андрей Тарасевич, Вы писали:


Vi2>

АТ>>Не понял. Вероятность угадывания "сразу" равна 1/3, а не 1/2. А вероятность неправильного выбора "сразу" равна 2/3. Несложно видеть, что безусловное использование стратегии смены выбора "переворачивает" исход задачи: если изначальный выбор был неверным, то данная стратегия всегда превращает его в верный выбор и наоборот — если начальный выбор был верным, то он становится неверным. Совершенно аналогичным образом меняются местами вероятности: вероятность выигрыша — 2/3, вероятность проигрыша — 1/3.

Vi2>Тогда так. Пусть вы не делаете выбор, вероятность угадывания равна 0. Соответственно, "перевернутая" вероятность равна 1. Смешно, не правда ли?

Что такое "перевернутая вероятность" в данном случае? Вероятность "не угадывания"? Да, она разумеется равна 1. Ничего смешного в этом нет.

Vi2>Пусть Х — наличие машины, 0 — отсуствие ее, Y — это ваш выбор, и * — открытая дверь.

Vi2>Для варианта Х00 (остальные 0Х0 и 00Х аналогичны и должны быть учтены в результате)
Vi2>1. Начальная постановка
Vi2>

Vi2>Y..
Vi2>.Y.
Vi2>..Y

Vi2>- вероятность угадывания равна 1/3 = 1удача/3исхода

Совершненно верно.

Vi2>2. Теперь с открыванием двери (без изменения выбора, т.е. после выбора открывается дверь и выбор не меняется)

Vi2>

Vi2>Y*. => Y*.
Vi2>Y.* => Y.*
Vi2>.Y* => .Y*
Vi2>.*Y => .*Y

Vi2>- вероятность 1/2 = 2удачи/4исхода

Нет. Это полный бред, причем совершенно очевидный. Совершенно ясно, что в стратегии без смены двери вероятность выигрыша никак не поменяется и поменяться не может. Она останется равной 1/3.

Твоя ошибка заключается в том, что ты рассматриваешь выбор ведущего, как совершенно самостоятельный выбор из оставшихся дверей. Это не так. В случае, если игрок изначально выбрал правильную дверь, выбор ведущего действительно свободен — он может выбрать любую из оставшихся дверей. А вот если игрок изначально сделал неправильный выбор, то ведущий вынужден открывать одну и только одну оставшуюся "пустую" дверь. Никакого выбора у ведущего нет.

Ты правильно указал исходы, но твоя формула 2/4 была бы верна только в том случае, если бы исходы были равновероятны. А они и таковыми не являются. Вероятность первого исхода равна вероятности выбора первой двери игроком (1/3) умноженной на вероятность поледующего выбора второй двери ведущим (1/2). Результирующая вероятность первого исхода равна 1/6. Точно такой же будет вероятность второго исхода.

Вероятность третьего исхода равна выбора второй двери игроком (те же 1/3) умноженной на вероятность выбор третьей дверм ведущим, а это ровно 1 (!) так как никакого выбора у ведущего в этой ситуации нет. Результирующая вероятность равна 1/3. Такой же будет вероятность четвертого варианта.

Итого, вероятность выигрыша в этом случае равна 1/6 + 1/6 = 1/3. Что, собственно, неудивительно.

Vi2>3. Теперь с изменением выбора после открывания двери

Vi2>

Vi2>Y*. => Y*. и .*Y
Vi2>Y.* => Y.* и .Y*
Vi2>.Y* => .Y* и Y.*
Vi2>.*Y => .*Y и Y*.

Vi2>- вероятность 1/2 = 4удачи/8исходов

Что ты в данном случае понимаешь под "изменением выбора"? Случайное изменение выбора с вероятностью 1/2? ОК, давай посмотрим, что получится в этом случае. У нас есть восемь исходов.

Как раньше, Вероятность исхода 1а равна вероятности выбора игроком первой двери (1/3) умноженной на вероятность выбора ведущим второй двери (1/2) умноженной на вероятность того, что игрок не сменит выбор (1/2) — это 1/12. Точно такой же будет вероятность исхода 1б, 2а и 2б.

Вероятность исхода 3а равна все той же 1/3 умноженной на вероятность выбора ведущим третьей двери (1) умноженной на все ту же 1/2 (вероятность того, что игрок не сменит свой выбор). Итого 1/6. Такова же будет вероятность исходов 3б, 4а и 4б. Благоприятными исходами являются только исходы 1а, 2а, 3б и 4б. Суммарная вероятность равна 1/12 + 1/12 + 1/6 + 1/6 = 1/2.

Как видишь ты случайно попал пальцем в правильное значение, несмотря на совершенно некорректное решение.

Vi2>4. Теперь с безусловным изменением решения

Vi2>

Vi2>Y*. => .*Y
Vi2>Y.* => .Y*
Vi2>.Y* => Y.*
Vi2>.*Y => Y*.

Vi2>- вероятность 1/2 = 2удачи/4исхода

Рассмортим последний вариант по той же схеме.

Вероятность и первого, и второго исхода: 1/3 * 1/2 = 1/6
Вероятность и второго, и третьего исхода: 1/3 * 1 = 1/3

Суммарная вероятность выигрыша: 1/3 + 1/3 = 2/3. Это и есть оптимальная стратегия.

Всем фомам-неверующим, у которых в голове не укладывается данное решение я могу порекомендовать для убавления строптивости прост написать тестовую программку, которая проведет экперимент и выдаст отношение количества удач к количеству попыток при каждой стратегии. Я думаю, это поможет вам убедиться в том, что я прав. Или можете просто поэкпериментировать с бросанием кубика и монеты, что, конечно, более трудоемко.
Best regards,
Андрей Тарасевич
Re[5]: Изменения выбора не увеличивает шансы угадать
От: Андрей Тарасевич Беларусь  
Дата: 17.01.03 07:13
Оценка:
Здравствуйте, small_cat, Вы писали:

SC>Здравствуйте, Андрей Тарасевич, Вы писали:


АТ>>Не понял. Вероятность угадывания "сразу" равна 1/3, а не 1/2. А вероятность неправильного выбора "сразу" равна 2/3. Несложно видеть, что безусловное использование стратегии смены выбора "переворачивает" исход задачи: если изначальный выбор был неверным, то данная стратегия всегда превращает его в верный выбор и наоборот — если начальный выбор был верным, то он становится неверным. Совершенно аналогичным образом меняются местами вероятности: вероятность выигрыша — 2/3, вероятность проигрыша — 1/3.


SC>Ничего она не равняется 1/3 . На самом деле вероятность не меняется. С самог начала она равна 1/2, так как по условию задачи известно, что фактически делается выбор между одной пустой и одной полной (остальные выйдут из игры сразу после выбора, при этом "полная" в ней останется).


Ты говоришь ерунду. В моем соседнем письме подробно расписан способ вычисления вероятности дял каждой стратегии. Осмелюсь еще раз предложить всем, кто подходит к рассмотрению данных мною вычислений предвзято, сначала поставить виртуальный эксперимант (написать программу, моделирующую игру) или реальный эксперимент (побросать кубик или монету). Или, в конце концов, пусть товарищь вам тремя наперстками промоделирует. Советую начать со стратегии с безусловной сменой выбора. Я думаю, что вы быстро убедитесь в том, что вероятность выигрыша при такой стратегии равна 2/3.

Попробуйте. Потом будем говорить.
Best regards,
Андрей Тарасевич
Re[6]: Изменения выбора не увеличивает шансы угадать
От: Alik Украина  
Дата: 17.01.03 13:44
Оценка: 16 (3)
Здравствуйте, Андрей Тарасевич, Вы писали:


АТ>Рассмортим последний вариант по той же схеме.


АТ>Вероятность и первого, и второго исхода: 1/3 * 1/2 = 1/6

АТ>Вероятность и второго, и третьего исхода: 1/3 * 1 = 1/3

АТ>Суммарная вероятность выигрыша: 1/3 + 1/3 = 2/3. Это и есть оптимальная стратегия.


АТ>Всем фомам-неверующим, у которых в голове не укладывается данное решение я могу порекомендовать для убавления строптивости прост написать тестовую программку, которая проведет экперимент и выдаст отношение количества удач к количеству попыток при каждой стратегии. Я думаю, это поможет вам убедиться в том, что я прав. Или можете просто поэкпериментировать с бросанием кубика и монеты, что, конечно, более трудоемко.


А ни неприятно это осознавать, но видимо я отношусь к таким Фомам.

Давайте подробно рассмотрим задачу:
1. Вам дается возможность угадать за какой из 3х дверей находится машина. Вероятность угадать 1/3. тут, как я понял, возражений нет.
2. Затем ведущий открывает одну "пустышку". Он это делает независимо от того, какую дверь вы выбрали. Т.е. о вероятностях тут говорить как-бы нет смысла. Он откроет дверь, за которой нет машины с вероятностью 1. И эта вероятность не зависит от вашего выбора, т.к. наверняка останется хоть одна пустая дверь, он знает какая и он хочет открыть именно пустую.
3. После этого он предлагает вам выбирать. Это абсолютно новый, независимый процесс. Отказаться от выбора вы не можете. Т.е. не процессуально не можете, а "де факто". Отказ от выбора равносилен выбору определенной двери (да, той же, которая была выбрана в предыдущий раз).
4. Таким образом вероятность того, что машина за выбранной дверью 1/2. И эта вероятность не зависит от того, делали ли вы выбор первый раз или нет.

Таким образом, ответ на вопрос: увеличится ли вероятность угадывания — да. А вот "увеличивает ли это шансы" — не совсем понятная формально формулировка.

Для того, чтобы было понятнее моя идея, давайте урежем задачу.
Есть 3 двери, ведущий открывает одну пустую дверь и предлагает угадать за какой из дверей машина. Какая вероятность угадать?
Или так:
Есть 3 двери. Вам предлагают выбрать несколько раз, за какой дверью машина. Причем проверять будут только последний выбор. Какова вероятность угадать?
С уважением. Алик.
Re: ТВ: задача Монти Холла
От: KGP http://kornilow.newmail.ru
Дата: 17.01.03 14:17
Оценка:
Здравствуйте, Andy77, Вы писали:

A>Монти Холл — ведущий пеpедачи "Let's make a deal"


A>Вы — участник пеpедачи "Давайте заключим сделку". Монти Холл показывает вам тpи закpытых двеpи. Он говоpит, что за двумя двеpьми ничего нет, а за тpетьей двеpью находится машина. Вы выбиpаете двеpь, но, пеpед тем как откpыть ее, Монти откpывает одну из оставшихся двеpей (он всегда выбирает пустую, т.к. знает, где машина) и показывает, что за ней ничего нет. Затем он пpедлагает вам изменить свой выбоp на оставшуюся двеpь. Дает ли это вам пpеимущества?


это 50/50.
Предположим есть 2+N дверей и он открывает N после Вашего подхода ...
И какая разница подошли вы или он сразу одну открыл ?
Re[7]: Изменения выбора не увеличивает шансы угадать
От: Slamin США  
Дата: 17.01.03 14:32
Оценка:
Здравствуйте, Alik, Вы писали:
A>Давайте подробно рассмотрим задачу:
A>1. Вам дается возможность угадать за какой из 3х дверей находится машина. Вероятность угадать 1/3. тут, как я понял, возражений нет.
Безусловно

A>3. После этого он предлагает вам выбирать. Это абсолютно новый, независимый процесс. Отказаться от выбора вы не можете. Т.е. не процессуально не можете, а "де факто". Отказ от выбора равносилен выбору определенной двери (да, той же, которая была выбрана в предыдущий раз).

Не согласен на счет того что это не зависимый процесс. Давайте немного переделаем задачу, допустим ведущий дал вам выбрать в начале две двери из трех. А потом открыл одну выбранную вами дверь. Будете ли вы менять свой выбор
There are 10 types of people in the world, those who don't understand binaries, those who do, and those who understand not only binaries.
Re[2]: ТВ: задача Монти Холла
От: Slamin США  
Дата: 17.01.03 14:35
Оценка:
Здравствуйте, KGP, Вы писали:

KGP>это 50/50.

KGP>Предположим есть 2+N дверей и он открывает N после Вашего подхода ...
KGP>И какая разница подошли вы или он сразу одну открыл ?

Разница в том что вы сделали свой выбор. Ведущий не знает заранее какие двери он откроет, ваш первоначальный выбор повлияет на его решение.
There are 10 types of people in the world, those who don't understand binaries, those who do, and those who understand not only binaries.
Re[6]: Изменения выбора не увеличивает шансы угадать
От: Slamin США  
Дата: 17.01.03 14:39
Оценка:
Здравствуйте, Андрей Тарасевич, Вы писали:

АТ>Всем фомам-неверующим, у которых в голове не укладывается данное решение я могу порекомендовать для убавления строптивости прост написать тестовую программку


Очевидность того, что вероятность резко возрастает с изменением первоначального выбора, появится еще на этапе составления программки
There are 10 types of people in the world, those who don't understand binaries, those who do, and those who understand not only binaries.
Re[8]: Изменения выбора не увеличивает шансы угадать
От: Alik Украина  
Дата: 17.01.03 14:43
Оценка:
Здравствуйте, Slamin, Вы писали:

S>Здравствуйте, Alik, Вы писали:

A>>Давайте подробно рассмотрим задачу:
A>>1. Вам дается возможность угадать за какой из 3х дверей находится машина. Вероятность угадать 1/3. тут, как я понял, возражений нет.
S>Безусловно

A>>3. После этого он предлагает вам выбирать. Это абсолютно новый, независимый процесс. Отказаться от выбора вы не можете. Т.е. не процессуально не можете, а "де факто". Отказ от выбора равносилен выбору определенной двери (да, той же, которая была выбрана в предыдущий раз).

S>Не согласен на счет того что это не зависимый процесс. Давайте немного переделаем задачу, допустим ведущий дал вам выбрать в начале две двери из трех. А потом открыл одну выбранную вами дверь. Будете ли вы менять свой выбор

Не буду. Но при чем тут это?
Я все равно сделаю выбор заново. Да, он совпадет с предыдущим. Да, вероятность будет 1. Она получается по все тем же рассуждениям: можно выбрать 2 двери из 2х, при чем известно, что за одной из них машина.
С уважением. Алик.
Подождите ...
Wait...
Пока на собственное сообщение не было ответов, его можно удалить.