Здравствуйте, Atilla, Вы писали:

A>это смотря какая лампочка. Если стоватовые за 5 рублей, то в доме их будет перегорать по 10-20 штук каждый день, т.е. распределение Пуассона (для редких событий!) работать не будет

Пуассон это не обязательно редкие события. Достаточно, чтобы каждая лампочка горела в среднем N>>1 дней. Неужели ты такого плохого мнения о наших лампочках, что отказываешь им в недельном сроке работы ??? Другое дело, что если ежедневно перегорает K>>1 лампочек, то Пуассон примерно совпадает с Гауссом.

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Это уже было, но чтобы в этой ветке...

P>У меня двое детей, один из них мальчик.
P>Какова вероятность того, что и другой мальчик?

f — female, m — male

варианты
f+f
f+m
m+m
не равновероятны, с точки зрения генетики и человеческой популяции.

И только при равномерном распределении рождения детей, P(f)=P(m) = 1/2,

P(m+m|m+?) = блин, формулу не помню, выведем на пальцах
варианты: P(mf)=P(fm)=P(mm),
P(m+m|m+?) = 1/3.

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>P(m+m|m+?) = блин, формулу не помню, выведем на пальцах

Формула носит имя Байеса:
Pr(A|B)=Pr(A && B)/Pr(B)

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

P>Здравствуйте, Atilla, Вы писали:

P>
A>>О! задача с подковыкой!
A>>1/3 ?

P>
P>Угу Многие долго не могут в это поверить

Всю ночь не спал, думал, почему 1/3...
А сегодня внимательнее прочитал условие.

У меня двое детей, первый из них — мальчик.
Какова вероятность того, что и другой мальчик?

Здравствуйте, mrhru, Вы писали:

P>>Угу Многие долго не могут в это поверить

M>Всю ночь не спал, думал, почему 1/3...
M>А сегодня внимательнее прочитал условие.

M>У меня двое детей, первый из них — мальчик.
M>Какова вероятность того, что и другой мальчик?

Угу. Вот теперь законная 1/2, смешно да?

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:

M>>Всю ночь не спал, думал, почему 1/3...
M>>А сегодня внимательнее прочитал условие.

M>>У меня двое детей, первый из них — мальчик.
M>>Какова вероятность того, что и другой мальчик?

P>Угу. Вот теперь законная 1/2, смешно да?



Можно еще вспомнить задачу (Гарднера ?) о дуэли
(тоже с парадоксальным, на первый взгляд, результатом).

Три дулянта А, Б, В ведут дуэль на пистолетах.
1) Стреляют по очереди.
1.5) Очередность устанавливается по жребию.
2) Стреляющий выбирает себе противника произвольно
3) Выбывший (в кого попали) в дуэли в дальнейшем не учавствует
4) Вероятность попадания при выстреле:
А — 1.0
Б — 0.9
В — 0.4
(вероятности точно не помню, но пусть будут такие)

Определить
1) Наиболее оптимальную стратегию для каждого участника
2) Определить вероятность выживания при оптимальной стратегии.

Евгений, с приветом.

Здравствуйте, Pushkin, Вы писали:


P>Две колоды карт перемешали и положили рядом рубашкой вверх.
P>После этого начинают переворачивать попарно.
P>Какова вероятность того, что хоть раз пара полностью совпадёт?

P>PS Она удивительно большая, можно бабки зарабатывать

(1-1/e) с точностью до 1/(n+1)!, где n --- число карт.
Пусть у нас n карт.
Утверждение:
число вариантов, когда нет совпадений =
n!/0! — n!/1! + n!/2! — n!/3! + .... + (-1)^n * n!/n!.
Соответственно вероятность =
p_n = 1-1+1/2!-1/3!+1/4!-....+(-1)^n/n!, что удивительно напоминает ряд Тейлора для экспоненты в точке -1.
Поэтому p_n->exp(-1)=1/e, n->\infty и |p_n-1/e| <= 1/(n+1)!, что ооочень мало при n=36.
То есть, вероятность, что есть совпадения равна =( 1-1/е ) --- около 0.63 и что-то очень маленькое.
Доказательство.
A_0 = n!/0! --- всего вариантов
Рассматриваем для каждого числа от 1 до n число вариантов, когда в этом числе есть совпадения, а остальные неважно
Таких вариантов = (n-1)!. Карт n обозначим A_1 = n*(n-1)! = n!
Рассматриваем для каждого набора из k карт число вариантов, когда по всем этим k есть совпадения, а остальные неважно.
Таких вариантов (n-k)!. Всего наборов по k карт = n!/k!/(n-k)!. A_k = n!/k!/(n-k)! * (n-k)! = n!/k!.

Итак, если A_k = ( число_наборов_по_к_карт ) * ( количество_расположений_когда_по_набору_из_фиксированных_к_карт_совпадение_а_остальные_неважно_как)
То A_k = n!/k!.

Теперь, пусть у нас набор в котором нет совпадений.
Он входит только в A_0

Теперь, пусть у нас набор в котором ровно p совпадений.
Тогда он входит
в A_0 --- 1 раз
в A_1 --- p раз
в A_2 --- C из p по 2 (обозначим C_p^2)
...
в A_k --- C из p по k (обозначим C_p^k)

Известно,
C_p^0 — C_p^1 + C_p^2 — C_p^3 + ... + (-1)^p * C_p^p = 0.

Поэтому в сумме A_0 — A_1 + A_2 — A_3 +.... все с совпадениями сокращаются, остаются только без совпадений.
Все

Здравствуйте, KonstantinA, Вы писали:

P>>PS Она удивительно большая, можно бабки зарабатывать
KA>(1-1/e)

Согласитесь, 63% это больше, чем кажется многим

KA>Соответственно вероятность =
KA>p_n = 1-1+1/2!-1/3!+1/4!-....+(-1)^n/n!, что удивительно напоминает ряд Тейлора для экспоненты в точке -1.

Замечательно! Мне правда было ужасно лень писать выкладки и я рассуждал так

Мы делаем 52 испытания, вероятность успеха в каждом 1/52, мат ожидание числа совпадений 1. Типичное распределение Пуассона (оно правда для независимых событий, но для больших колод они практически независимы).

Вероятность n совпадений P(n) = 1/e * 1/n!

Обычно эту же задачу формулируют в виде "рассеянный почтальон" — рассовал 100 писем по конвертам как попало, найти вероятность, что хоть одно дойдёт.

А самое замечательное — задача о "стратегии невесты".
Девушка трезво взглянув в зеркало, предполагает, что за всю жизнь у неё будет N женихов. Как ей себя вести, чтобы с максимальной вероятностью выбрать наилучшего из N? (при случайном выборе вероятность 1/N)
Ответ такой — надо отказать первым N/e женихам, а потом, как только увидишь лучшего из всех предыдущих, выходить.

ИМХО для экзаменов попроще задачки нужны. Например, такая вспомнилась.

В связи с недостатком женщин в гаремах, султан издал закон, по которому женщинам запрещалось рожать детей после рождения первого мальчика. Предположим, что вероятность рождения мальчика равна p, девочки, соответственно, 1-p. Тогда, по прошествии достаточного времени.
1. Какое будет соотношение мальчиков и девочек?
2. Если предположить, что кол-во детей у женщины не ограничено и что женщины исправно рожают до первого мальчика. Какое среднее число детей будет у одной женщины?

Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:

MP>1. Какое будет соотношение мальчиков и девочек?
MP>2. Если предположить, что кол-во детей у женщины не ограничено и что женщины исправно рожают до первого мальчика. Какое среднее число детей будет у одной женщины?

хм... а как считать, всех отрожавших норму женщин + их детей?..

Здравствуйте, Atilla, Вы писали:

MP>>1. Какое будет соотношение мальчиков и девочек?
MP>>2. Если предположить, что кол-во детей у женщины не ограничено и что женщины исправно рожают до первого мальчика. Какое среднее число детей будет у одной женщины?

A>хм... а как считать, всех отрожавших норму женщин + их детей?..

Вопрос не совсем понял. Но первый вопрос более строго можно переформулировать так:

1. Какое будет соотношение мальчиков и девочек среди вновь родившихся за кокакой-либо период детей?

Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:

MP>1. Какое будет соотношение мальчиков и девочек?
MP>2. Если предположить, что кол-во детей у женщины не ограничено и что женщины исправно рожают до первого мальчика. Какое среднее число детей будет у одной женщины?

с вероятностью p у женжины будет 1 сын, p*(1-p) — сын и дочь, p*(1-p)^2 — сын и 2 дочери и т.д., т.о. сын каждой семье гарантирован, среднее кол-во детей в семье будет 1.
Дочерей в среднем будет

f=0*p+1*p*(1-p)+...=p*sum{n=1...+inf: n*(1-p)^n}=
p*sum{n=0...+inf: (n+1)*(1-p)^(n+1)}=
p*(p-1)*(sum{n=1...+inf: n*(1-p)^n}+sum{n=0...+inf: (1-p)^n});

sum{n=0...+inf: (1-p)^n}=1/(1-(1-p))=1/p - сумма геом. прогрессии

f=(1-p)*p*sum{n=1...+inf: n*(1-p)^n}+(1-p)=(1-p)*f+(1-p)  =>
p*f=(1-p) => f=(1-p)/p

При p=0.5 получается, что среднее число дочерей будет f=0.5, меньше чем мальчиков. Причем, если у султана с женским полом проблемы, значит скорее всего p>0.5 и он вообще прогадал

1. если считать, что дети родятся равномерно, то среднее соотношение по времени будет равняться среднему соотношению по семье:
   1 мальчик на (1-p)/p девочек
   Но в реальной жизни все будет намного сложнее.
   
2. 1+(1-p)/p=1/p ребенков.

Свободу женщинам востока!

Здравствуйте, Atilla, Вы писали:

A>с вероятностью p у женжины будет 1 сын, p*(1-p) — сын и дочь, p*(1-p)^2 — сын и 2 дочери и т.д., т.о. сын каждой семье гарантирован, среднее кол-во детей в семье будет 1.

имелось в виду мужского пола

Здравствуйте, Atilla, Вы писали:

A>с вероятностью p у женжины будет 1 сын, p*(1-p) — сын и дочь, p*(1-p)^2 — сын и 2 дочери и т.д., т.о. сын каждой семье гарантирован, среднее кол-во детей в семье будет 1.
A>Дочерей в среднем будет
A>

A>f=0*p+1*p*(1-p)+...=p*sum{n=1...+inf: n*(1-p)^n}=
A>p*sum{n=0...+inf: (n+1)*(1-p)^(n+1)}=
A>p*(p-1)*(sum{n=1...+inf: n*(1-p)^n}+sum{n=0...+inf: (1-p)^n});

A>sum{n=0...+inf: (1-p)^n}=1/(1-(1-p))=1/p - сумма геом. прогрессии

A>f=(1-p)*p*sum{n=1...+inf: n*(1-p)^n}+(1-p)=(1-p)*f+(1-p)  =>
A>p*f=(1-p) => f=(1-p)/p
A>

A>При p=0.5 получается, что среднее число дочерей будет f=0.5, меньше чем мальчиков. Причем, если у султана с женским полом проблемы, значит скорее всего p>0.5 и он вообще прогадал

A>

A>
1. если считать, что дети родятся равномерно, то среднее соотношение по времени будет равняться среднему соотношению по семье:
   A>1 мальчик на (1-p)/p девочек
   A>Но в реальной жизни все будет намного сложнее.
   A>
2. 1+(1-p)/p=1/p ребенков.
   A>

Все правильно. Но зачем же такие сложные формулы писать ?
1. Какого ребенка женщина не рожала 1-го или n-го, вероятность рождения мальчика равна p. Следовательно среднее соотношение родившихся мальчиков и девочек будет p/(1-p)
2. Просто немного пояснений для непонявших откуда взялась формула. Т.к. у каждой женщины ровно один мальчик, а соотношение мальчиков и девочек p/(1-p), то среднее число детей в семье 1+(1-p)/p=1/p

Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:

MP>Все правильно. Но зачем же такие сложные формулы писать ?

разве это — сложные формулы? просто матожидание — это интеграл, считаем его и все

MP>1. Какого ребенка женщина не рожала 1-го или n-го, вероятность рождения мальчика равна p. Следовательно среднее соотношение родившихся мальчиков и девочек будет p/(1-p)

а ведь правда!

MP>Все правильно. Но зачем же такие сложные формулы писать ?
MP>1. Какого ребенка женщина не рожала 1-го или n-го, вероятность рождения мальчика равна p. Следовательно среднее соотношение родившихся мальчиков и девочек будет p/(1-p)
MP>2. Просто немного пояснений для непонявших откуда взялась формула. Т.к. у каждой женщины ровно один мальчик, а соотношение мальчиков и девочек p/(1-p), то среднее число детей в семье 1+(1-p)/p=1/p

Кстати, если задачку немного усложнить и разрешить иметь в семье двух мальчиков, то "моим" методом решение получается элементарно, а с прогрессиями придется сильно помучиться.

Здравствуйте, IO, Вы писали:

IO>А вообще-то их можно легко придумать мульен. А вот решить?

Эх, не там Вы учились! Или мало учились! Меня это всё ещё во время учёбы заколупасило!

Здравствуйте, Real 3L0, Вы писали:

R3>Эх, не там Вы учились! Или мало учились! Меня это всё ещё во время учёбы заколупасило!

мы-то как раз в правильном месте учились

Здравствуйте, MichaelP, Вы писали:

MP>>Все правильно. Но зачем же такие сложные формулы писать ?

Просто забавно проследить как получается такой с первой секунды ясный ответ, и где таится ошибка султана.