Ну раз уж так все за матику взялись, вот ещё простая, я бы даже сказал, устная задачка:
На окружность бросают ри случайные точки. Какова вероятность того, что треугольник в вершинах в этих точках тупоугольный?
Случайные точки имеется в виду три, независимые, равномерно распределённые на отрезке [0..2pi] точки.
Все эмоциональные формулировки не соотвествуют действительному положению вещей и приведены мной исключительно "ради красного словца". За корректными формулировками и неискажённым изложением идей, следует обращаться к их автором или воспользоваться поиском
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Ну раз уж так все за матику взялись, вот ещё простая, я бы даже сказал, устная задачка:
E>
E>На окружность бросают ри случайные точки. Какова вероятность того, что треугольник в вершинах в этих точках тупоугольный?
E>Случайные точки имеется в виду три, независимые, равномерно распределённые на отрезке [0..2pi] точки.
Треугольник будет тупоугольным, если все 3 точки находятся на одной полуокружности.
С учетом центральной симметрии окужность можно всегда развернуть так, чтобы одна из точек находилась в ее верхней точке. Следовательно две другие должны находиться либо обе в правой половине, либо обе в левой.
Т.е. либо 2 орла, либо 2 решки — вероятность 1/2.
Треугольник будет тупоугольным, если все 3 точки находятся на одной полуокружности (без концов).
И остроугольным — если такой полуокружности не существует.
Вероятность прямоугольного треугольника, очевидно, 0.
С учетом центральной симметрии можно считать, что первая точка падает в 0;
После этого с учетом зеркальной симметрии можно считать, что вторая точка падает в интервал ]0..pi[ с плотностью 1/pi.
Пусть вторая точка упала в x, 0<x<pi.
Треугольник будет остроугольным, если третья точка упадет в интервал ]pi..pi+x[. Вероятность этого равна x/2pi.
Берем интеграл от 0 до pi от (1/pi)*(x/2pi) и имеем вероятность остроугольного треугольника = 1/4.
А тупоугольного, значит, 3/4.
Здравствуйте, mikeh, Вы писали:
M>Треугольник будет тупоугольным, если все 3 точки находятся на одной полуокружности (без концов). M>И остроугольным — если такой полуокружности не существует. M>Вероятность прямоугольного треугольника, очевидно, 0. M>С учетом центральной симметрии можно считать, что первая точка падает в 0; M>После этого с учетом зеркальной симметрии можно считать, что вторая точка падает в интервал ]0..pi[ с плотностью 1/pi.
M>Пусть вторая точка упала в x, 0<x<pi. M>Треугольник будет остроугольным, если третья точка упадет в интервал ]pi..pi+x[. Вероятность этого равна x/2pi.
M>Берем интеграл от 0 до pi от (1/pi)*(x/2pi) и имеем вероятность остроугольного треугольника = 1/4. M>А тупоугольного, значит, 3/4.
ИМНО для нас нет ни какой разницы куда упадет 2 точка. т.к. с учетом центральной симметрии две любые точки будут лежать либо в пределах одной полуокружности либо быть диаметрально противоположными (вроятность этого очень мала). сответсвенно решающим фактором является куда упадет 3 точка.
Соответствено вероятность того что она упадет на на ту полуокрухность в которой уже лежат две точки очень близка к 1/2 (она не равна 1/2 по той причине что 2 или точки могут быть диаметрально противоположными).
Здравствуйте, kfmn, Вы писали:
K>Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>>Ну раз уж так все за матику взялись, вот ещё простая, я бы даже сказал, устная задачка:
E>>
E>>На окружность бросают ри случайные точки. Какова вероятность того, что треугольник в вершинах в этих точках тупоугольный?
E>>Случайные точки имеется в виду три, независимые, равномерно распределённые на отрезке [0..2pi] точки.
K>Треугольник будет тупоугольным, если все 3 точки находятся на одной полуокружности. K>С учетом центральной симметрии окужность можно всегда развернуть так, чтобы одна из точек находилась в ее верхней точке. Следовательно две другие должны находиться либо обе в правой половине, либо обе в левой. K>Т.е. либо 2 орла, либо 2 решки — вероятность 1/2.
Ну бывают случаи когда орел + решка и при этом треугольник тупоугольный
Например (обозначим координаты точек в градусах) 1ая точка — (0), 2ая — (+45), 3я — (-45)
угол у 1ой точки тупой. при этом 2ая и 3я точки в разных полуплоскостях
Здравствуйте, Radmir, Вы писали:
R>Здравствуйте, mikeh, Вы писали:
M>>Треугольник будет тупоугольным, если все 3 точки находятся на одной полуокружности (без концов). M>>И остроугольным — если такой полуокружности не существует. M>>Вероятность прямоугольного треугольника, очевидно, 0. M>>С учетом центральной симметрии можно считать, что первая точка падает в 0; M>>После этого с учетом зеркальной симметрии можно считать, что вторая точка падает в интервал ]0..pi[ с плотностью 1/pi.
M>>Пусть вторая точка упала в x, 0<x<pi. M>>Треугольник будет остроугольным, если третья точка упадет в интервал ]pi..pi+x[. Вероятность этого равна x/2pi.
M>>Берем интеграл от 0 до pi от (1/pi)*(x/2pi) и имеем вероятность остроугольного треугольника = 1/4. M>>А тупоугольного, значит, 3/4.
R>ИМНО для нас нет ни какой разницы куда упадет 2 точка. т.к. с учетом центральной симметрии две любые точки будут лежать либо в пределах одной полуокружности либо быть диаметрально противоположными (вроятность этого очень мала). сответсвенно решающим фактором является куда упадет 3 точка. R>Соответствено вероятность того что она упадет на на ту полуокрухность в которой уже лежат две точки очень близка к 1/2 (она не равна 1/2 по той причине что 2 или точки могут быть диаметрально противоположными).
очень мала стоит понимать как 0
По поводу куда попала 2ая точка нам очччень даже важно. так как только попадение на симметричную (относительно центра) дугу приводит к образованию остроугольного треугольника. Во всех остальных случаях к тупоугольному. (прямогуольные треугольники появляются с нулевой вероятностью). Таким макаром если 1ая и 2ая точка на расстоянии Х, то вероятность появления тупоугольного треугольника (1 — Х/(2*pi)) интегриуем это дело по Х и получаем 3/4.
Здравствуйте, ghost92, Вы писали:
G>очень мала стоит понимать как 0 G>По поводу куда попала 2ая точка нам очччень даже важно. так как только попадение на симметричную (относительно центра) дугу приводит к образованию остроугольного треугольника. Во всех остальных случаях к тупоугольному. (прямогуольные треугольники появляются с нулевой вероятностью). Таким макаром если 1ая и 2ая точка на расстоянии Х, то вероятность появления тупоугольного треугольника (1 — Х/(2*pi)) интегриуем это дело по Х и получаем 3/4.
G>mikeh
О какой дуге идет речь? Пока не появится второй точки дуги нет. (Точнее она есть но в вырожденой форме. )
Здравствуйте, Erop, Вы писали:
E>Ну раз уж так все за матику взялись, вот ещё простая, я бы даже сказал, устная задачка:
E>
E>На окружность бросают ри случайные точки. Какова вероятность того, что треугольник в вершинах в этих точках тупоугольный?
E>Случайные точки имеется в виду три, независимые, равномерно распределённые на отрезке [0..2pi] точки.
так вдогонку...
из миллиона бросков получилась вероятность тупоугольных .75028. Кто сказал 3/4 — поздравляю (хотя после ваших доказательств это не нужно
Здравствуйте, Radmir, Вы писали:
R>Здравствуйте, ghost92, Вы писали:
G>>очень мала стоит понимать как 0 G>>По поводу куда попала 2ая точка нам очччень даже важно. так как только попадение на симметричную (относительно центра) дугу приводит к образованию остроугольного треугольника. Во всех остальных случаях к тупоугольному. (прямогуольные треугольники появляются с нулевой вероятностью). Таким макаром если 1ая и 2ая точка на расстоянии Х, то вероятность появления тупоугольного треугольника (1 — Х/(2*pi)) интегриуем это дело по Х и получаем 3/4.
G>>mikeh
R>О какой дуге идет речь? Пока не появится второй точки дуги нет. (Точнее она есть но в вырожденой форме. )
Да... стоило бы уточнить. Имелась ввиду кратчайшая.
Пока не появится второй точки дуги нет. (Точнее она есть но в вырожденой форме. 
)
