Здравствуйте, Eugene Sh, Вы писали:
ES>Здравствуйте, Аноним, Вы писали:
А>>Если брать А>>f ~ U[0, 2*Pi] А>>r ~ U[0, R]
А>>и ставить точку с полярными коорд (r, f), то она будет распределена равномерно в круге. ES>Давайте посмотрим. В круг с центром в начале координат и радиусом r = R / 100 мы попадём с вероятностью 1/100 (достаточно того, что r < R/100, f — любое). Теперь рассмотрим такой же маленький круг, но возле границы исходного. Посчитать вероятность попадания точки в этот круг не могу, но явно видно, что она меньше 1/100. Т.к. для этого должно выполниться 2 условия: ES>R * 98 / 100 < r < R (вероятность 2/100) ES>f_1 < f < f_2, где f_2 — f_1 меньше какого-то числа, которое явно меньше чем Pi/2, т.е. вероятность этого меньше 1/4. ES>P(попадания в круг у границы) < 2/100 * 1/4 < 1/100 = P(попадания в круг того же радиуса, но в центре), т.е. распределение не будет равномерным.
А ? О чем это ? Что-то ты путаешь... как и я впрочем(в предыдущих постах )
1) Если рассматривать круг в пол. коорд., то он выглядит как прям-ик и верояность попасть в этот кружок с радиусом r=R/100, который предсатвляет их себя полосу, равна 1/100.
Так как : Плотность распределения в этом случае равна 1/2PiR и интеграл по этой полосе даст как раз 1/100.
2) То что ты пытаешся нарисовать такой же кружок в декартовых коорд. смещенный от центра и тем самым подловить меня, тебе не поможет. Так как в случае декартовых коорд. вероятность попасть в круг радиуса r=R/100 c центром в нуле не равна 1/100, а равна она 1/10000.
Так как : Плотность распределения в этом случае равна 1/PiR^2 и интеграл по этому кругу даст 1/10000. Аналогично и для смещенного от центра кружка получим такую же вероятность.
3) Собсно на этом я и подскользнулся а именно на том, что вероятность есть интеграл плотности по множеству, а при переходе от одной системы к другой подыинтегральное выражение претерпевает изменения. Нетрудно показать, что якобиан преобразования равен r, то есть dx1*dx2 = r*dr*df.
Это я конечно сглупил, притом очччень сильно ((( Эх... старею...
4) Ответ же есть такой :
А>>Если брать А>>f ~ U[0, 2*Pi] А>>r ~ U[0, R]
А>>и ставить точку с полярными коорд (r, f), то она будет распределена равномерно в круге.
в декартовых коорд. выглядит как :
x1 = r*cos(f)
x2 = r*sin(f)
Здравствуйте, Аноним, Вы писали:
А>4) Ответ же есть такой :
А>Если брать А>f ~ U[0, 2*Pi] А>r ~ U[0, R]
А>и ставить точку с полярными коорд (r, f), то она будет распределена равномерно в круге.
Ну вот посмотрите.
Распределение равномерное, если взяв любые две площади отношение p1/S1 = p2/S2 (а точнее p1*S2 = p2*S1),
где p1 и p2 — вероятности попадания произвольной точки в площадь S1 и S2 соответсвенно.
Ну хорошо, возьмем вот такие плошади, как на рисунки. И что же мы видим: вероятности попадания в площадь S1 и S2 одинаковы (т.к. r ~ U[0, R]), но площади то не одинаковые!!!
То есть получаем, что распределение неравномерное.
.
RB>Дан круг с центром в начале координат, и радиуса R. Нужно заполнять его случайными точками, равномерно, но при этом используя полярные координаты. Т.е. нужно случайно выбирать угол f и расстояние от центра r так, чтобы точки заполняли круг равномерно.
RB>1. Как это сделать? RB>2. Как это сделать, если в наличии имеется только ГСЧ с равномерным распределением (на заданном отрезке) ?
RB>ЗЫ. RB>Просьба к тем, кто просто знает, как это делается, дать возможность подумать остальным.
А по-моему вот это точно будет правильно.
Нам нужно выбирать случайную точку (r, f) для круга радиуса R в полярных координатах следующим образом:
r = sqrt(ГСЧ[0, R^2]);
f = ГСЧ[0, 2*Pi].
По моим расчетам при этом получается равномерное распределение.
Re[12]: Задача экспромт
От:
Аноним
Дата:
22.06.04 02:25
Оценка:
N>
N>Ну вот посмотрите. N>Распределение равномерное, если взяв любые две площади отношение p1/S1 = p2/S2 (а точнее p1*S2 = p2*S1), N>где p1 и p2 — вероятности попадания произвольной точки в площадь S1 и S2 соответсвенно. N>Ну хорошо, возьмем вот такие плошади, как на рисунки. И что же мы видим: вероятности попадания в площадь S1 и S2 одинаковы (т.к. r ~ U[0, R]), но площади то не одинаковые!!!
Ты определись у тебя круг в декартовых коорд или в полярных.
А то ты считаешь площадь(считай что вероятность) в пол. коорд., а потом сравниваешь её с площадью в дек. коорд.
Это не есть правильно.
Так как площадь S есть ингерал единицы(1) по элементу dS, а при переходе от одной системы коорд к другой dS меняется.
Пример на пальцах :
Поверхность сферы можно отобразить на плоскость("ставим" сферу на плоскость и из верхнего полюса испускаем лучи, проходящие через сферу. Точка пересечения луча с плоскостью — образ, точка пересечения луча с поверхностью сферы — прообраз). Переход от сферических коорд. к дек.
Площадь сферы какая ?
А площадь плоскости ?
А сравнивать их смысл есть ?
Вот и ты сравниваешь на сфере площади двух, скажем, полусфер, говоришь вот они равны. А потом смотришь на плоскость и говоришь, во а там они не равны...
Понятно, нет ?
N>То есть получаем, что распределение неравномерное.
равномерное-равномерное
Re[13]: Задача экспромт
От:
Аноним
Дата:
22.06.04 02:33
Оценка:
А>Так как площадь S есть интеграл по S от единицы(1) на элемент dS, а при переходе от одной системы коорд к другой dS меняется.
Процедура "развертывания" круга в прямоугольник и есть замена координат.
В декартовых координатах круг — это круг , в полярных — прямоугольник...
Вот это и есть замена координат, которую ты делаешь.
А>4) Ответ же есть такой :
А>>>Если брать А>>>f ~ U[0, 2*Pi] А>>>r ~ U[0, R]
А>>>и ставить точку с полярными коорд (r, f), то она будет распределена равномерно в круге.
А>в декартовых коорд. выглядит как : А>x1 = r*cos(f) А>x2 = r*sin(f)
IO>Я конечно извиняюсь, но почему просто не выбрать случайные координаты и если они попадают в круг, то посчитать угол и расстояние от центра. Получим функцию генерации f & r что удовлетворяет условию.
N>Нам нужно выбирать случайную точку (r, f) для круга радиуса R в полярных координатах следующим образом:
N>r = sqrt(ГСЧ[0, R^2]); N>f = ГСЧ[0, 2*Pi].
N>По моим расчетам при этом получается равномерное распределение.
Здравствуйте, Аноним, Вы писали:
А>Ты определись у тебя круг в декартовых коорд или в полярных. А>А то ты считаешь площадь(считай что вероятность) в пол. коорд., а потом сравниваешь её с площадью в дек. коорд. А>Это не есть правильно.
Это есть правильно!
Площадь в полярной и декартовой системах координат будет одинаковой.
А то что вы говорите, что круг в полярных координатах — прямоугольник, еще не значит, что его площадь нужно считать так же, как площадь прямоугольника в декартовых.
А>Так как площадь S есть ингерал единицы(1) по элементу dS, а при переходе от одной системы коорд к другой dS меняется.
А>Пример на пальцах :
А>Поверхность сферы можно отобразить на плоскость("ставим" сферу на плоскость и из верхнего полюса испускаем лучи, проходящие через сферу. Точка пересечения луча с плоскостью — образ, точка пересечения луча с поверхностью сферы — прообраз). Переход от сферических коорд. к дек.
А>Площадь сферы какая ? А>А площадь плоскости ? А>А сравнивать их смысл есть ?
А>Вот и ты сравниваешь на сфере площади двух, скажем, полусфер, говоришь вот они равны. А потом смотришь на плоскость и говоришь, во а там они не равны...
Неудачный пример. Приведите другой.
1) Здесь произведен грубый переход и неправильный конечно же. Вы переходите из системы координат с тремя степенями свободы в систему координат с двумя с.с. При этом у нас конечно же потеряется часть информации, и говорить о каком-то там равенстве или неравенстве уже бессмысленно.
2) И все же даже на плоскости проекции полусфер равны, если вы имеете в виду провести через центр сферы какую-то плоскость и разделить сферу на две.
А>Понятно, нет ?
Нет!
N>>То есть получаем, что распределение неравномерное.
Здравствуйте, rus blood, Вы писали:
RB>Дан круг с центром в начале координат, и радиуса R. Нужно заполнять его случайными точками, равномерно, но при этом используя полярные координаты. Т.е. нужно случайно выбирать угол f и расстояние от центра r так, чтобы точки заполняли круг равномерно.
RB>1. Как это сделать? RB>2. Как это сделать, если в наличии имеется только ГСЧ с равномерным распределением (на заданном отрезке) ?
N>>Нам нужно выбирать случайную точку (r, f) для круга радиуса R в полярных координатах следующим образом:
N>>r = sqrt(ГСЧ[0, R^2]); N>>f = ГСЧ[0, 2*Pi].
N>>По моим расчетам при этом получается равномерное распределение.
RB>Правильно. Решение, плз...
Нам нужно доказать что при таком выборе точек распределение получается равномерным.
Распределение по углам равномерно (т.к. f = ГСЧ[0, 2*Pi]), т.е для любой окружности с центром в начале координат вероятности любых точек на этой окружности равны.
Теперь нужно доказать, что для любых двух окружностей вероятности точек на них одинаковы.
Выберем произвольное число 0 < r < R
p1 и p2 — вероятности попадания случайной точки в площадь S1 и S2 соответственно.
N>Нам нужно доказать что при таком выборе точек распределение получается равномерным. N>Распределение по углам равномерно (т.к. f = ГСЧ[0, 2*Pi]), т.е для любой окружности с центром в начале координат вероятности любых точек на этой окружности равны. N>Теперь нужно доказать, что для любых двух окружностей вероятности точек на них одинаковы. N>Выберем произвольное число 0 < r < R
[skipped] N>p1 и p2 — вероятности попадания случайной точки в площадь S1 и S2 соответственно.
Это конечно верно, но это просто проверка, что полученное решение верное.
Здравствуйте, rus blood, Вы писали:
RB>Это конечно верно, но это просто проверка, что полученное решение верное.
RB>А как само решение было получено?
А решение было получено из простого предположения, а точнее когда я доказывал Анониму, что его решение неправильное, я подумал, как сделать так, чтобы все срослось.
А по-моему какое-то предположение с доказательством его правильности и является решением.
N>А по-моему какое-то предположение с доказательством его правильности и является решением.
Нет, решения способом божественного откровения не засчитывется...
ЗЫ.
Случай был как-то у нас на семинаре по алгебре. Задавал препод задачки на дом, а потом ищет того, кто решил, и кто не решил. Тот, кто решил идет к доске рассказывать, и тот, кто не решил встает и начинает пересказывать, типа что и как он понял.
Была у нас девушка одна. Однажды перед семинаром просит решение одной задачки. Ну, ессно, дал списать. Как назло вызывают ее идти к доске. Чувак, который пересказывает, начинает задавать дополнительные вопросы, девушка, ясный пень, не в теме...
В итоге звучит вопрос препода: "Ну, как Вы решали?".
Та выдает: "Ну, я вообще-то с помощью Руслана решала".
Препод в осадке — "Я", говорит, "много всяких способов знаю, как решать эту задачу, но про такой слышу впервые..."
Это... а не эквивалетно ли это тому что писал Аноним ?
Он типа написал что
x1=r*sin(f)
x2=r*cos(f)
Если взять sqrt(x1^2 + x2^2) = sqrt(r^2) = ваш r (то есть тот r который ты моделируешь)
гы-гы..
Мне кажется, что вы(Neo и Аноним) оба правы...Причем решение Анонима выглядит проще и по-моему убедительнее. Доказывать что-то лень. Может Аноним что-то докажет, а то как видно ему делать нечего
Здравствуйте, Аноним, Вы писали:
А>И хотя сама задача требовала ответа именно в полярных коорд., почему то rus blood ответ пытался услышать в декартовой.
Если бы смысл задачи был в том, чтобы найти "равномерное распределение в полярных координатах", то, я думаю, такая задача даже не появилась бы в этом форуме.
Если убрать в условии словосочетание "полярные координаты", которое вызывает споры, то задачу стоило бы читать так:
Дан круг с центром в начале координат, и радиуса R. Нужно заполнять его случайными точками, равномерно. При этом можно лишь случайно выбирать угол f и расстояние от центра r.
1. Как это сделать?
2. Как это сделать, если в наличии имеется только ГСЧ с равномерным распределением (на заданном отрезке) ?
)
Перекуём баги на фичи!
