Здравствуйте, ansi, Вы писали:

A>Имеется последовательность вписанных друг в друга фигур: в круг радиуса 1 вписан квадрат, в него вписан круг, в него — правильный 8-угольник, в него — круг, в него — правильный 16 — угольник, и т. д. Доказать, что радиус всех кругов > 0,636.

Доказательство:
найдем радиус n — й окружности.
R = cos(pi/4) *cos(pi/8) *cos(pi/16) *...*cos(pi/(4*2^n))
Домножим это выражение на sin(pi/(4*2^n)).
Получим R*sin(pi/(4*2^n)) = 1/(2^(n+1))*cos(pi/2)
То есть R = 1/(2^(n+1)*sin(pi/(4*2^n)))
Осталось найти значение R при n стремящемся в бесконечность.
sin(x) ~ x , x -> 0 => R ~ 1/(2^(n+1)*pi/(4*2^n)) = 4/(2*pi) = 2/pi > 0,636