Каждая из девяти прямых режет квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2:3. Доказать, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
new RSDN@Home(1.1.4, 303) << new Message(); std::head::ear << "Blackmore's Night — Loreley";
Здравствуйте, ansi, Вы писали:
A>Каждая из девяти прямых режет квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2:3. Доказать, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
Пусть у нас квадрат OXDY размером 10*10 (O{0,0}, X{10,0}, D{10,10}, Y{0,10}).
Лемма:
Если линия пересекает OX и DY, то она обязательно пройдёт через точку L{4,5} или R{6,5}, разбив квадрат на две трапеции. Аналогично, если пересекает OY и DX, то через B{5,4} или T{5,3}.
Доказательство очевидно, могу расписать.
Итого, есть 4 точки L,R,T,B. Если все линии пересекаются только попарно, то в каждой из этих точек есть по две линии. Итого, как максимум, 8. Девятая линия будет третьей в одной из этих точек.
Здравствуйте, Кодт, Вы писали:
К>Здравствуйте, ansi, Вы писали:
A>>Каждая из девяти прямых режет квадрат на два четырехугольника, площади которых относятся как 2:3. Доказать, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
К>Пусть у нас квадрат OXDY размером 10*10 (O{0,0}, X{10,0}, D{10,10}, Y{0,10}).
К>Лемма: К>Если линия пересекает OX и DY, то она обязательно пройдёт через точку L{4,5} или R{6,5}, разбив квадрат на две трапеции. Аналогично, если пересекает OY и DX, то через B{5,4} или T{5,3}. К>Доказательство очевидно, могу расписать.
К>Итого, есть 4 точки L,R,T,B. Если все линии пересекаются только попарно, то в каждой из этих точек есть по две линии. Итого, как максимум, 8. Девятая линия будет третьей в одной из этих точек.
new RSDN@Home(1.1.4, 303) << new Message(); std::head::ear << "Enigma — Mea Culpa";