LV Белорусская математическая олимпиада школьников
Заключительный этап
28 марта — 1 апреля 2005, г.Гродно.

Первый день.
(Время на решение — 5 часов)

10 класс
1. В остроугольном треугольнике ABC угол A = 45. Высоты BB1 и CC1 пересекаются в точке H. Докажите, что прямые BC, B1C1 и прямая l, проходящая через точку A перпендикулярно AC, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда H — середина BB1.
2. Множество М неотрицательных действительных чисел вместе с любыми двумя своими числами (не обязательно различными) содержит и их сумму. Докажите, что М содержит некоторый бесконечный промежуток (луч), если известно, что М содержит конечный интервал.
3. Найдите все натуральные n, при которых существуют такие простые числа p и q, p + 2 = q, что числа 2^n + p и 2^n + q также являются простыми.
4. Найдите максимальное n, при котором существует таблица (n + 1)x(n — 1), клетки которой можно покрасить в три цвета так, чтобы для любых двух различных строк и для любых двух различных столбцов четыре клетки, стоящие на их пересечении, не были покрашены в один цвет.

11 класс
1. Докажите, что для любых положительных чисел a и b выполняется неравенство (a^2 + b + 3/4)(b^2 + a + 3/4) >= (2a + 1/2)(2b + 1/2)
2. Прямая, параллельная стороне AC прямоугольного треугольника ABC (угол C — прямой), пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, так, что CN/BN = AC/BC = 2. Пусть O — точка пересечения отрезков CM и AN. НА отрезке ON взята точка K так, что MO + OK = KN. Перпендикуляр к отрезку AN в точке K и биссектриса угла B треугольника ABC пересекаются в точке T. Найдите угол MTB.
3. Найдите все пары натуральных чисел a, b, a > b, при которых (a-b)^(ab) = (a^b)x(b^a)
4. Таблицу n x n, назовём хорошей, если её клетки можно покрасить в три цвета так, чтобы для любых двух различных строк и для любых двух различных столбцов четыре клетки, стоящие на их пересечении, не были покрашены в один цвет.
a) Покажите, что существует хорошая таблица 9х9.
b) Докажите, что n < 11 для всякой хорошей таблицы n x n.