Задачка про два ящика - Этюды для программистов

Здравствуйте, icWasya, Вы писали:

W>Какая нужна минимальная сила F, и на какой ящик её приложить,что бы заставить двигаться оба ящика.

Потянем любой ящик (с силой, большей чем kmg — преодолеем силу трения).
Тут же нам начнёт противодействовать сила пружины, скажем, cx. И по мере оттягивания ящика эта сила будет расти — а значит, будет расти и наше усилие, равное f(x) = kmg + cx.
Поскольку с того конца пружина крепится ко второму ящику, то она тянет его (но компенсируется силой трения покоя).
В тот момент, когда ящик готов стронуться, сила пружины равна cx = kMg.
Итого, какой ящик ни тяни, получаем k(m+M)g.

При этом неважно, будем ли мы делать это медленно (постепенно наращивая усилие от kmg до k(m+M)g, при этом первый ящик движется равномерно) или рывком (ящик сперва ускоряется, а потом замедляется).

Аналогия с задачей про поезд — неточна:
— Во-первых, упругость сцепки существенно нелинейно зависит от растяжения (почти ноль в ослабленном состояния и упругость стали в растянутом)
— Во-вторых, паровоз прикладывает силу к рельсам. Он не может тянуть состав с силой, большей чем сила трения скольжения его собственных колёс (сорвётся в пробуксовку). А сила трения качения колёс состава — меньше силы трения покоя их подшипников, поэтому стронуть весь состав сразу не получится, а тянуть — на это силы хватит.

Здравствуйте, hemmul, Вы писали:

H>если не секрет, какая разница от пружины или к пружине?
Ну как же.. От надо тянуть, а к -- толкать... А бампер жалко.. Поэтому в основном тянут.

... << RSDN@Home 1.1.3 stable >>

навеяно Машинист джигит
на гладкой поверхности стоят два ящика, соеденённые пружиной

  ----------
  |        |            ---------
  |        |            |       |
  |   M    |--/\/\/\/\--|   m   |
  |        |            |       |
  ----------            ---------
========================================

Массы ящиков M и m,(M > m) коэффициент трения K .
На один из ящиков действует постоянная сила F.
Какая нужна минимальная сила F, и на какой ящик её приложить,что бы заставить двигаться оба ящика.

Здравствуйте, icWasya, Вы писали:

W>навеяно Машинист джигит
W>на гладкой поверхности стоят два ящика, соеденённые пружиной
W>

W>  ----------
W>  |        |            ---------
W>  |        |            |       |
W>  |   M    |--/\/\/\/\--|   m   |
W>  |        |            |       |
W>  ----------            ---------
W>========================================
W>

W>Массы ящиков M и m,(M > m) коэффициент трения K .
W>На один из ящиков действует постоянная сила F.
W>Какая нужна минимальная сила F, и на какой ящик её приложить,что бы заставить двигаться оба ящика.

Дожна быть приложена к большему ящику, направленна от пружины и должна быть больше, чем сила трения(скольжения) большого ящика плюс сила трения покоя маленького ящика.

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>Здравствуйте, icWasya, Вы писали:

W>>навеяно Машинист джигит
W>>на гладкой поверхности стоят два ящика, соеденённые пружиной
W>>

W>>  ----------
W>>  |        |            ---------
W>>  |        |            |       |
W>>  |   M    |--/\/\/\/\--|   m   |
W>>  |        |            |       |
W>>  ----------            ---------
W>>========================================
W>>

W>>Массы ящиков M и m,(M > m) коэффициент трения K .
W>>На один из ящиков действует постоянная сила F.
W>>Какая нужна минимальная сила F, и на какой ящик её приложить,что бы заставить двигаться оба ящика.

А>Дожна быть приложена к большему ящику, направленна от пружины и должна быть больше, чем сила трения(скольжения) большого ящика плюс сила трения покоя маленького ящика.

если не секрет, какая разница от пружины или к пружине?

Здравствуйте, VasilyZaytzev, Вы писали:

VZ>Здравствуйте, icWasya, Вы писали:

W>>Какая нужна минимальная сила F, и на какой ящик её приложить,что бы заставить двигаться оба ящика.

VZ>Для этого нужно, чтобы трение покоя перешло в трение скольжения. Это произойдет при F = g*(M+m)*k

Можно и меньше, но не зная силы трения движения сказать точную силу невозможно.
Если мы сначала прилагаем F > g * M * k к тяжелому ящику, то он начнёт двигаться и будет растягивать пружину, при этом на него будед действовать сила F, сила трения движения Ъ и сила натяжения пружины. Дальше возможно два варианта (беру уже проекцию на оси): либо (1) F — Ъ > g * m * k, либо (2) F — Ъ Б= g * m * k. В первом случае в какой-то момент пружина натянется настолько, что сдвинет и более лёгкий ящик. Во втором случае в какой-то момент наш ящик остановится.

То есть силу надо прикладывать следующую F = max(g * M * k, g * (M + m) * k — Ъ). Если считать что Ъ в данной задачки не зависит от скорости, а выражается как g * M * k`, то имеем:
F = g * M * k + max(0, g * (m * k — M * k')).

... << RSDN@Work 1.1.3 stable >>

Здравствуйте, icWasya, Вы писали:

W>навеяно Машинист джигит
W>на гладкой поверхности стоят два ящика, соеденённые пружиной
Так вот мне то же кажется, что по анологии с этой задачей надо решать. Т.е. сначала разгонять малый ящик, чтобы он потом вытянул больший.

Здравствуйте, DK3981, Вы писали:

DK>Здравствуйте, VasilyZaytzev, Вы писали:

VZ>>Здравствуйте, icWasya, Вы писали:

W>>>Какая нужна минимальная сила F, и на какой ящик её приложить,что бы заставить двигаться оба ящика.

VZ>>Для этого нужно, чтобы трение покоя перешло в трение скольжения. Это произойдет при F = g*(M+m)*k

DK>Можно и меньше, но не зная силы трения движения сказать точную силу невозможно.
DK>Если мы сначала прилагаем F > g * M * k к тяжелому ящику, то он начнёт двигаться и будет растягивать пружину, при этом на него будед действовать сила F, сила трения движения Ъ и сила натяжения пружины. Дальше возможно два варианта (беру уже проекцию на оси): либо (1) F — Ъ > g * m * k, либо (2) F — Ъ Б= g * m * k. В первом случае в какой-то момент пружина натянется настолько, что сдвинет и более лёгкий ящик. Во втором случае в какой-то момент наш ящик остановится.

Да, несколько ошибся (Re: Задачка про два ящика).

Так как сила натяжения пружины зависит линейно от растяжения, то можно считать, что график скорости первого тела будет симметричен относительно момента времени, когда сумма сил, действующих на тяжёлый ящик будет равна нулю, то есть нам надо чтобы сила натяжения пружины была больше силы трения покоя меньшего теле не в момент прекращения разгона большего тела, а в момент его остановки.

То есть F = g * M * k + max(0, g * (m * k / 2 — M * k')).

... << RSDN@Work 1.1.3 stable >>

Здравствуйте, DK3981, Вы писали:

DK>То есть F = g * M * k + max(0, g * (m * k / 2 — M * k')).

даже при условии k = k' всё таки на правильно

Здравствуйте, VasilyZaytzev, Вы писали:

VZ>Для этого нужно, чтобы трение покоя перешло в трение скольжения. Это произойдет при F = g*(M+m)*k

Вот если бы ящики были жестко соединены (например жестким стержнем или стояли вплотную друг к другу), то Вы были бы правы.
А так потребуется меньшее усилие.

Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>Здравствуйте, VasilyZaytzev, Вы писали:

VZ>>Для этого нужно, чтобы трение покоя перешло в трение скольжения. Это произойдет при F = g*(M+m)*k

А>Вот если бы ящики были жестко соединены (например жестким стержнем или стояли вплотную друг к другу), то Вы были бы правы.
А>А так потребуется меньшее усилие.

Докажи, может, нобелевскую получишь

Меньшим усилием можно сдвинуть эту систему только в одном случае, когда ящики связаны нерастягиваемой неразрываемой веревкой и в начальном положении у веревки есть запас, то есть она не натянута. Тогда для того, чтобы сдвинуть систему понадобится усилие, нужное для сдвига маленького ящика. При приложении усилия маленький ящик наберет скорость, и в момент натяжения нити большому ящику передастся часть импульса маленького и большой ящик начнет движение, но через некоторое время система придет в равновесие и остановится.

При пружинной связи такого никогда не получится, потому как она пружинная.

W>  ----------
W>  |        |            ---------
W>  |        |            |       |
W>  |   M    |--/\/\/\/\--|   m   |
W>  |        |            |       |
W>  ----------            ---------
W>========================================
W>

W>Массы ящиков M и m,(M > m) коэффициент трения K .
W>На один из ящиков действует постоянная сила F.
W>Какая нужна минимальная сила F, и на какой ящик её приложить,что бы заставить двигаться оба ящика.
По условию задачи у тебя система закрытая минус коффициенты трения которые являются константами. Соответсвенно, закон сохранения энергии никто не отменял.

С уважением, Gleb.

... << RSDN@Home 1.1.4 beta 4 rev. 358>>

VZ>>Для этого нужно, чтобы трение покоя перешло в трение скольжения. Это произойдет при F = g*(M+m)*k

А>Вот если бы ящики были жестко соединены (например жестким стержнем или стояли вплотную друг к другу), то Вы были бы правы.
А>А так потребуется меньшее усилие.

"3800 задач по физике для школьников и поступающих в вузы", М., "Дрофа" 2000, задача №3.106

Ответ: F = g*(M + m/2)*k

Почему m/2?

Здравствуйте, DK3981, Вы писали:

DK>Так как сила натяжения пружины зависит линейно от растяжения, то можно считать, что график скорости первого тела будет симметричен относительно момента времени, когда сумма сил, действующих на тяжёлый ящик будет равна нулю,

Не на "тяжелый" ящик, а на тот, к которому приложена сила. Если второй ящик слишком тяжелый, то он с места так и не сдвинется.

DK>то есть нам надо чтобы сила натяжения пружины была больше силы трения покоя меньшего теле не в момент прекращения разгона большего тела, а в момент его остановки.

Да с чего ты взял, что нужно тяжелый ящик толкать?

DK>То есть F = g * M * k + max(0, g * (m * k / 2 — M * k')).

Нет. Смотри, если обозначить массу тела, к которому приложена сила, как m1, а второго, как m2, то расстояние до точки "равновесия" (где ускорение первого тело равно нулю) будет

(1) x0 = (F — k * m1 * g) / K(spring),

где K(spring) — коэффициент жесткости пружины. Т.е. первое тело максимально сдвинется (если считать, что второе тело прибито к полу гвоздями) от начальной точки (кстати, это верно, только если изначально пружина не растянута) на расстояние

(2) x(max) = 2 * x0.

Чтобы второе тело тоже сдвинулось, должно выполнятся неравенство

(3) K(spring) * x(max) > k * m2 * g.

Подставив (1) и (2) в (3), получаем, что требуемая сила должна быть:

F > k * g * (m1 + m2 / 2).

Очевидно теперь, что силу надо прикладыват к меньшему телу (по условимю задачи m < M) и ответ

Fmin = k * g * (m + M / 2).

-andy-

Здравствуйте, SWW, Вы писали:

SWW>Ответ: F = g*(M + m/2)*k

SWW>Почему m/2?

С точностью до замены m на M. Почемы — cм. мое сообщение выше.

-andy-

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>При этом неважно, будем ли мы делать это медленно (постепенно наращивая усилие от kmg до k(m+M)g, при этом первый ящик движется равномерно) или рывком (ящик сперва ускоряется, а потом замедляется).

Это важно, потому что во втором случае мы запасем больше кинетической энергии на пути от начальной точки до точки "равновесия". Потом переведем ее в дополнительную потенциальную энергию (пружины) и сдвинем второе тело.

-andy-

Здравствуйте, tinytjan, Вы писали:

T>Здравствуйте, Аноним, Вы писали:

А>>Здравствуйте, VasilyZaytzev, Вы писали:

VZ>>>Для этого нужно, чтобы трение покоя перешло в трение скольжения. Это произойдет при F = g*(M+m)*k

А>>Вот если бы ящики были жестко соединены (например жестким стержнем или стояли вплотную друг к другу), то Вы были бы правы.
А>>А так потребуется меньшее усилие.

T>Докажи, может, нобелевскую получишь

T>Меньшим усилием можно сдвинуть эту систему только в одном случае, когда ящики связаны нерастягиваемой неразрываемой веревкой и в начальном положении у веревки есть запас, то есть она не натянута. Тогда для того, чтобы сдвинуть систему понадобится усилие, нужное для сдвига маленького ящика. При приложении усилия маленький ящик наберет скорость, и в момент натяжения нити большому ящику передастся часть импульса маленького и большой ящик начнет движение, но через некоторое время система придет в равновесие и остановится.

T>При пружинной связи такого никогда не получится, потому как она пружинная.

Пусть мы тянем первый ящик (не важно, тяжелый или лёгкий). Тогда второй ящик сдвинется в тот момент, когда сила, с которой на него действует пружина будет x * c = m2 * g * k (c — коэффициент сжатия пружины). При этом заметим, что отсюда x — константа для данного ящика и потенциальная энергия пружины в момент, когда сдвинется ящик всегда будет (c * x^2) / 2, так что этот случай эквивалентен случаю с верёвкой, с той разницей, что сперва ещё надо "накачать" потенциальньную энергию в пружину.

... << RSDN@Work 1.1.3 stable >>

Здравствуйте, GlebZ, Вы писали:

GZ>По условию задачи у тебя система закрытая минус коффициенты трения которые являются константами. Соответсвенно, закон сохранения энергии никто не отменял.

Система открытая: в ней есть диссипативные силы (трение), переводящие механическую энергию в другую (звук, тепло и т.п.)

Здравствуйте, DK3981

Погорячился я, так что звиняйте

Я почти сразу как написал, так и понял, что неправ.

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>Здравствуйте, GlebZ, Вы писали:

GZ>>По условию задачи у тебя система закрытая минус коффициенты трения которые являются константами. Соответсвенно, закон сохранения энергии никто не отменял.

К>Система открытая: в ней есть диссипативные силы (трение), переводящие механическую энергию в другую (звук, тепло и т.п.)
Это чем-то похоже на падение тел в вакууме. Быстро умом не поймешь почему танк и перо падает с одинаковой скоростью.

Повторюсь: "система закрытая минус коффициенты трения которые являются константами". Или у тебя другое мнения насчет констант? Если бы коэффициенты трения по условию задачи были разные, то еще можно было бы подумать над задачей. Можно условие поставить так, сколько нужно приложить энергии, чтобы сдвинуть стол на который действует обратная сила некоторой системы связанной с трением и потребляющая энергию на растяжение пружины. Притом, учитывая что энергия на растяжение пружины — линейно.

С уважением, Gleb.

... << RSDN@Home 1.1.4 beta 4 rev. 358>>

Здравствуйте, GlebZ, Вы писали:

... Соответсвенно, закон сохранения энергии никто не отменял.

GZ>С уважением, Gleb.

А про энергию в условии — ни слова.
Вы когда нибудь на качелях качались ?

Ведь до заданной амплитуды качели можно раскачать с одного сильного замаха

, а можно провести серию легких толчков

Энергии во втором случае энергии потратится столько-же, а может и больше, но сила будет использована меньшая

Здравствуйте, icWasya, Вы писали:

W>А про энергию в условии — ни слова.
Но ведь законы физики никто не отменял

W>Вы когда нибудь на качелях качались ?

W>Ведь до заданной амплитуды качели можно раскачать с одного сильного замаха

, а можно провести серию легких толчков

W>Энергии во втором случае энергии потратится столько-же, а может и больше, но сила будет использована меньшая

Все зависит от учета внешних факторов системы. А вообще, кинетическая энергия прямо пропорционально приложенной силе.

С уважением, Gleb.

... << RSDN@Home 1.1.4 beta 4 rev. 358>>

Здравствуйте, GlebZ, Вы писали:

GZ>А вообще, кинетическая энергия прямо пропорционально приложенной силе.

Это как так?

На тело действует сила (const). Тело, понятное дело, из-за этого движется с ускорением. Кинетическая энергия меняется. И где тут пропорция?

Здравствуйте, GarryIV, Вы писали:

GIV>На тело действует сила (const). Тело, понятное дело, из-за этого движется с ускорением. Кинетическая энергия меняется. И где тут пропорция?

Это как бы один из законов физики: изменение энергии тела равно скалярному произведению приложенной силы на вектор смещения тела.

-andy-

Здравствуйте, GlebZ, Вы писали:

К>>Система открытая: в ней есть диссипативные силы (трение), переводящие механическую энергию в другую (звук, тепло и т.п.)
GZ>Это чем-то похоже на падение тел в вакууме. Быстро умом не поймешь почему танк и перо падает с одинаковой скоростью.

GZ>Повторюсь: "система закрытая минус коффициенты трения которые являются константами". Или у тебя другое мнения насчет констант? Если бы коэффициенты трения по условию задачи были разные, то еще можно было бы подумать над задачей. Можно условие поставить так, сколько нужно приложить энергии, чтобы сдвинуть стол на который действует обратная сила некоторой системы связанной с трением и потребляющая энергию на растяжение пружины. Притом, учитывая что энергия на растяжение пружины — линейно.

И я повторюсь: при движении ящика часть энергии уходит в тепло — это действие силы трения; E=kmgx. ("Работа" силы трения — произведение силы на путь).
Кстати, нам пофиг, есть ли второй ящик или нет, одинаковый у него коэффициент трения или другой.
Заменим ящик динамометром. Задача: развить (хотя бы импульсно) на динамометре силу D, приложив к подвижному ящику силу F меньше, чем kmg+D.

Здравствуйте, Кодт, Вы писали:

К>И я повторюсь: при движении ящика часть энергии уходит в тепло — это действие силы трения; E=kmgx. ("Работа" силы трения — произведение силы
К>на путь).
По условию задачи, у нас путь стремится к нулю. Нам важно определить сам момент сдвига.

К>Кстати, нам пофиг, есть ли второй ящик или нет, одинаковый у него коэффициент трения или другой.
К>Заменим ящик динамометром. Задача: развить (хотя бы импульсно) на динамометре силу D, приложив к подвижному ящику силу F меньше, чем kmg+D.
Возможно ты прав.
В момент движения системы сила прилагаемая к системе равна силе трения системы. Нас по условию задачи, волнует только точка времени t. То есть, момент в который система начала двигаться. Пружина как таковая нас не волнует, как не волнует и все, что происходило до времени t. То есть, можно говорить о закрытой системе, на которую в момент t действуют две силы — трения Ft и толкающая F. lim F=Ft. Вот и по-моему все.
Что касается самой энергии потребляемой внутри системы, то энергия потребляемая пружиной одинакова энергии потребляемой силой трения второго ящика. Но поскольку нас волнует именно момент сдвига, то и я прав.

С уважением, Gleb.

... << RSDN@Home 1.1.4 beta 4 rev. 358>>

Здравствуйте, GlebZ, Вы писали:

К>>И я повторюсь: при движении ящика часть энергии уходит в тепло — это действие силы трения; E=kmgx. ("Работа" силы трения — произведение силы
К>>на путь).
GZ>По условию задачи, у нас путь стремится к нулю. Нам важно определить сам момент сдвига.

Ни фига он не стремится к нулю. Это путь, который проделал первый ящик (пока не сдёрнул второго).
Более того, можно сказать, чему этот путь равен: второй ящик сдёрнется, когда cx == kMg.

Итак:
сила трения первого ящика T1 = kmg, второго T2 = kMg (она же — сила сдёргивания).
Растяжение пружины x = T2/c.
Рассеянная в трении энергия E1 = T1*x = T1*T2/c
Потенциальная энергия пружины в момент сдёргивания — E2 = cx^2/2 = T2*T2/2c
Кинетическая энергия пусть равна нулю (мы не разгоняем ящик более, чем нам это нужно).

E = E1+E2 = T2*(T1+T2/2)/c

Если мы прикладывали к ящику постоянную силу F, то совершённая работа E = F*x = F*T2/c

F*T2/c = T2*(T1+T2/2)/c
F = T1+T2/2

Отсюда (если коэффициенты трения равны) F = k(m+M/2)g

Итак, мы обнаружили, что постоянное усилие F достаточно для сдёргивания ящика.
Правда, прикладывать его придётся длительное время (зависящее от коэффициента сжатия пружины).
Если на каком-то участке пути мы будем прикладывать меньшее усилие, то, чтобы интеграл силы по пути был равен E, придётся на каком-то другом участке приложить большее усилие.
Следовательно, меньше чем F мы ни в каком случае не обойдёмся.

	От:	VasilyZaytzev
	Дата:	01.04.05 11:50
	Оценка:	12 (1)

	От:	Кодт
	Дата:	01.04.05 12:58
	Оценка:	10 (1)

	От:	Leshi
	Дата:	01.04.05 12:15
	Оценка:

	От:	icWasya
	Дата:	01.04.05 11:39
	Оценка:

	От:	Аноним
	Дата:	01.04.05 11:59
	Оценка:

	От:	Всеволод П.
	Дата:	01.04.05 12:12
	Оценка:

	От:	Андрей Ушаков
	Дата:	01.04.05 19:23
	Оценка:

	От:	tinytjan
	Дата:	04.04.05 10:00
	Оценка:

	От:	GlebZ
	Дата:	04.04.05 10:34
	Оценка:

	От:	GlebZ
	Дата:	04.04.05 16:00
	Оценка:

	От:	GarryIV
	Дата:	04.04.05 19:00
	Оценка: