У меня в этой области смутные познания, есть вероятность что что-то спутаю, поэтому прошу меня поправлять. Перельман доказал гипотезу Пуанкаре:

https://www.youtube.com/watch?v=5_ABSrpKytk

Односвязной поверхностью является поверхность сферы, а многосвязной — поверхность тора. Отличием многосвязной поверхности является то, что можно продеть по ней нитку так, что будет невозможно вытащить эту нитку, не разрушив всё остальное. Теорема Перельмана что-то рассказывает про то, как отличить односвязную трехмерную поверхность от многосвязной. Т.е., как я предполагаю, эта теорема позволяет экспериментально определить, является ли наша вселенная трехмерной поверхностью четырёхмерного шара, или же трехмерной поверхностью четырёхмерного бублика. Это очень интересная тема — может наша вселенная на самом деле многосвязна?