Напрямую кратко можете ответить, что означает определитель?

Легко сказать, что значит сумма. Каков её смысл, и для чего она нужна, и что означает.
Легко сказать, что значит площадь.
Довольно легко сказать, что значит интеграл.
То же с квадратным корнем.

Но я никогда не понимал, что есть и для чего нужен определитель, хотя определение помню, сдал все предметы исключительно на "отл.", и т.д.
Каков его прямой смысл?

Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

Иногда некоторые штуки вводят не потому что в них какой-то сакральный смысл, а для того, чтоб удобно решался какой-то круг задач. В корне из минус единицы тоже особого смысла нет, но когда его вводят, получаются интересные решения, которые до этого были невозможны

H>Иногда некоторые штуки вводят не потому что в них какой-то сакральный смысл, а для того, чтоб удобно решался какой-то круг задач. В корне из минус единицы тоже особого смысла нет, но когда его вводят, получаются интересные решения, которые до этого были невозможны

Наивный, ты думаешь что существует ответ, который удовлетворит тс? "где море?"

Здравствуйте, s_aa, Вы писали:

_>Наивный, ты думаешь что существует ответ, который удовлетворит тс? "где море?"

Ну вопрос-то вроде не касается его непростых взаимоотношений с окружающими людьми. Если, конечно, он сейчас скажет, что он лектору так и ответил, а лектор над ним посмеялся, и вся аудитория долго смеялась, и все тупые и он всех ненавидит — то конечно я не буду ему на это отвечать

Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>Напрямую кратко можете ответить, что означает определитель?

M>Легко сказать, что значит сумма. Каков её смысл, и для чего она нужна, и что означает.
M>Легко сказать, что значит площадь.
M>Довольно легко сказать, что значит интеграл.
M>То же с квадратным корнем.

M>Но я никогда не понимал, что есть и для чего нужен определитель, хотя определение помню, сдал все предметы исключительно на "отл.", и т.д.
M>Каков его прямой смысл?

Обьем параллелепипеда, построенного на собственных векторах матрицы.

М>Обьем параллелепипеда, построенного на собственных векторах матрицы.

Спасибо, но я не увидел ответа на вопрос, который задал в начале.

Здравствуйте, Михaил, Вы писали:

M>>Каков его прямой смысл?

М>Обьем параллелепипеда, построенного на собственных векторах матрицы.
Вообще-то просто на векторах из матрицы. И размерность объёма будет только если матрица 3 на 3.
А собственные вектора вообще-то могут быть нормированы как попало.
И ещё знак будет определять левая или правая система векторов получилась.
Если равен 0 то вектора линейно зависимые.

|x1 x2|
|y1 y2|=x1*y1-x2*y1  -- площадь параллелограмма со знаком

|x1 x2 x3|
|y1 y2 y3|=x1*(y2*z3-y3*z2)-x2*(y1*z3-y3*z1)+x3*(y1*z2-y2*z1)  -- объём параллелепипеда со знаком
|z1 z2 z3|

|x1 x2 x3 x4|
|y1 y2 y3 y4|=x1*|y2 y3 y4|-x2*|y1 y3 y4|+x3*|y1 y2 y4|-x4*|y1 y2 y3| -- гипер объём 4х мерной раскоряки со знаком
|z1 z2 z3 z4|    |z2 z3 z4|    |z1 z3 z4|    |z1 z2 z4|    |z1 z2 z3|
|s1 s2 s3 s4|    |s2 s3 s4|    |s1 s3 s4|    |s1 s2 s4|    |s1 s2 s3|

...

Можно разложить по любой j строке (или при желании по колонке)
|x11 x12 ... x1j ... x1n|
|x21 x22 ... x2j ... x2n|
|.......................| = sum ( xij * (-1)^(i+j) * Aij , i=1..n)
|xn1 xn2 ... xnj ... xnn|

Aij = | матрица без i строки и j колонки |
Aij - дополнительные миноры
yji = (-1)^(i+j) * Aij - сопряженные вектора

Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

_>Вообще-то просто на векторах из матрицы. И размерность объёма будет только если матрица 3 на 3.

Для двумерной матрицы — площадь, для n-мерной — n-мерный объем.

Здравствуйте, Андрей Ушаков, Вы писали:
_>>Вообще-то просто на векторах из матрицы. И размерность объёма будет только если матрица 3 на 3.

АУ>Для двумерной матрицы — площадь, для n-мерной — n-мерный объем.
Мне больше нравится когда там мнимые числа встречаются.

Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M> Легко сказать, что значит сумма. Каков её смысл, и для чего она нужна, и что означает.
M> Легко сказать, что значит площадь.
M> Довольно легко сказать, что значит интеграл.
M> То же с квадратным корнем.
M> Но я никогда не понимал, что есть и для чего нужен определитель, хотя определение помню, сдал все предметы исключительно на "отл.", и т.д.
M> Каков его прямой смысл?
Если матрица — линейное преобразование пространства, то определитель — это коэффициент, на который изменяется площадь/объём.
https://www.youtube.com/watch?v=Ip3X9LOh2dk

Здравствуйте, kov_serg, Вы писали:

_>Здравствуйте, Михaил, Вы писали:

M>>>Каков его прямой смысл?

М>>Обьем параллелепипеда, построенного на собственных векторах матрицы.
_>Вообще-то просто на векторах из матрицы. И размерность объёма будет только если матрица 3 на 3.

Да, напутал. Собс вектор определяет, какие векторы не изменили бы направления, а детерминант — как меняется обобщенная площадь/обьем условного единичного квадрата/куба и т д, при преобразовании этой матрицей. Если он 0, то после преобразования этот квадрат потеряет измерение (параллелограм вытянется в отрезок, параллелепипед сожмется в параллелограмм и т д).

Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>Напрямую кратко можете ответить, что означает определитель?

M>Но я никогда не понимал, что есть и для чего нужен определитель, хотя определение помню, сдал все предметы исключительно на "отл.", и т.д.
M>Каков его прямой смысл?

А почему обязательно должен быть смысл? Я ещё понимаю, когда речь идёт о "проке". Т.е. если ставить вопрос "нафига нам вообще имеет смысл вести речь о такой штуке, как определитель? Не занимаемся ли мы ерундой какой?".

Так вообще, определитель задействован в том же признаке линейной зависимости столбцов/строк матрицы. Т.е. прок какой-то есть. Вот, выше уже сказали про объём (скажу честно, не знал. Учебник до того места не дочитал.).
Ещё определитель входит в формулу обратной матрицы. Тоже вполне себе польза. А обратная матрица — уже сам по себе интересный математический феномен, занятный факт. Польза ему найдётся.

Тебе бы надо отучиться искать везде смысл. Математики не всегда всё делают со смыслом. Это довольно абстрактная наука. Некоторые говорят, что она изучает паттерны, взаимосвязи, разные интересные конструкции. В учебниках они изложены. А смысл и пользу от них каждый находит сам. Воспринимай это как картинную галерею или там, как книжки по дизайну с картинками. В таких изданиях изложены самые красивые дома/картины мира. А в математических книжках — разные занятные математические конструкции и факты.

Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>Напрямую кратко можете ответить, что означает определитель?

Ориентированный объём.

Можно стандартно инвертировать направление определение->свойства с целью обобщения. А именно, посмотреть без каких свойств объём параллелепипеда, построенного на упорядоченном наборе векторов, вообще не объём, оставить их и попытаться построить аксиоматическое определение объёма. Т.е. хотим определить функцию V(v_1, ..., v_n). Что от неё хотим (не можем не хотеть)?

1. Линейность: V(..., v_k + u_k, ...) = V(..., v_k, ...) + V(..., u_k, ...), V(..., a v_k, ...) = a V(..., v_k, ...).
2. Обнуление на вырожденных параллелепипедах: V(..., v, ..., v, ...) = 0.
3. Нормировка (равенство 1 на единичном кубе): V(e_1, ..., e_n) = 1.

Нетрудно видеть, что такая функция существует и единственна. Так как никаким свойством поступиться нельзя, она обязана быть объёмом или тесно связана с ним.

Из 1 и 2 следует, что V(..., v, ..., u, ...) = — V(..., u, ..., v, ...) (идея та же, что в перемене местами значений двух переменных не заводя третью). Таким образом, знак функции зависиот от порядка аргументов, и она является ориентированным объёмом.

Если выбрать базис e_1, ..., e_n, то каждому аргументу функции можно сопоставить его координатный столбец. Так что, слегка абьюзя нотацию, V является функцией от n столбцов или, если угодно, квадратной матрицы. Она и назыавется детерминантом.

Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:

__>Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>>Напрямую кратко можете ответить, что означает определитель?

__>Ориентированный объём.

Что показывает ориентация (знак)?

Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:

__>>Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>>>Напрямую кратко можете ответить, что означает определитель?

__>>Ориентированный объём.

M>Что показывает ориентация (знак)?

Видео в ответе выше смотрел? Там как и об этом речь

Здравствуйте, Михaил, Вы писали:

М>Видео в ответе выше смотрел? Там как и об этом речь
Кстати есть переведенное на русский: Детерминант | Сущность Линейной Алгебры, глава 5

Здравствуйте, Homunculus, Вы писали:

H>Иногда некоторые штуки вводят не потому что в них какой-то сакральный смысл, а для того, чтоб удобно решался какой-то круг задач. В корне из минус единицы тоже особого смысла нет

В корне из минус единицы на числовой оси смысла, действительно, нет.


H>но когда его вводят, получаются интересные решения, которые до этого были невозможны

Не получается.
Пару веков ограничивались целочисленными корнями уравнений, пока во времена Петра в Петербургской Академии Эйлер, получавший от гос-во неплохое жалование, не отобразил комплексные числа на плоскость и не получилось, что это просто 2D вектор, безо всякой вещественности и мнимости, где эти определения скорее атавизм, чем имеющие смысл, бо оба компонента равноправны.
Т.е., пока тригонометрия независимо не развилась до нужной степени, мнимые числа особой пользы не несли.

Здравствуйте, vdimas, Вы писали:

V>В корне из минус единицы на числовой оси смысла, действительно, нет.

Мнимая единица, она же корень из минус единицы — вообще не часть числовой оси. Она не принадлежит множеству действительных чисел.

И насчёт этого у меня была такая история, когда нам в школе что-ли рассказывали про комплексные числа.
Учительница сказала что-то вроде "корень из отрицательных чисел брать нельзя. но вот давайте пофантазируем, что если это всё-таки можно. пусть будет такое число, равное корню из -1". У меня в голове как-то не укладывалось подобное противоречие: с одной стороны нет корней из отрицательных чисел, с другой стороны они есть. и как это согласуется с правилами математики — чёрт его знает.
а ответ прост — мнимая единица лежит вне действительных чисел.

Здравствуйте, jamesq, Вы писали:

J>а ответ прост — мнимая единица лежит вне действительных чисел.

Ответ еще более прост: мнимая единица никакая не мнимая, это компонент вектора.

Здравствуйте, jamesq, Вы писали:

V>>В корне из минус единицы на числовой оси смысла, действительно, нет.

J>Мнимая единица, она же корень из минус единицы — вообще не часть числовой оси. Она не принадлежит множеству действительных чисел.

J>И насчёт этого у меня была такая история, когда нам в школе что-ли рассказывали про комплексные числа.
J>Учительница сказала что-то вроде "корень из отрицательных чисел брать нельзя. но вот давайте пофантазируем, что если это всё-таки можно. пусть будет такое число, равное корню из -1". У меня в голове как-то не укладывалось подобное противоречие: с одной стороны нет корней из отрицательных чисел, с другой стороны они есть. и как это согласуется с правилами математики — чёрт его знает.
J>а ответ прост — мнимая единица лежит вне действительных чисел.
Можно еще проще если вместо чисел использовать матрицы:

1=|1 0|
  |0 1|

i=|0 -1|
  |1  0|

То получится что все правила арифметики совпадают и можно оперировать как с обычными числами

a+b=b+a
a+(b+c)=(a+b)+c
a*b=b*a
(a*b)*c=a*(b*c)

Но при этом

i*i=-1
|0 -1| * |0 -1| = |-1  0|
|1  0|   |1  0|   | 0 -1|

То есть мы можем системы из дух уравнений сводить к одному если их коэффициенты можно выразить через матрицы (1 и i)

x' = -y
y' =  x

=> z' = i*z

Подобных уравнений чуть больше чем почти все в мат физике особенно при описании колебаний, резонансов и полей. А уменьшение размерности уравнений упрощает задачу на порядки.
Следующие гиперчисла кватернионы ими хорошо описывать ориентацию в пространстве. Потом уже идут не коммутативные октонионы и cеденионы, но это уже для совсем больных.