Значение мнимых чисел с точки зрения физики — они описывают физические процессы, которые наш примитивный мозг и органы чувств не может воспринимать. Например, из возможности колебаний в комплексной плоскости следует наличие свойств, которые мы называем зарядом. То есть притягивание и отталкивание электронов происходит потому, что они описываются чем-то, что колеблется в комплексной плоскости.
С точки зрения математики — комплексные числа это самые "сложные" числа, которые можно построить. То есть это такие объекты, которые описываются парой вещественных чисел и которые можно, без ограничений, коммутативно складывать, вычитать, умножать и делить (кроме нуля). Вектора можно складывать, но умножать и делить вектора на вектора нельзя в общем случае. С матрицами, многочленами, распределениями случайных величин и всеми остальными мат. объектами похожая ситуация. Мнимая единица, определена так, как определена, для того, чтобы получившаяся конструкция (x + y*i) была числом и поддерживала коммутативное сложение, вычитание, умножение и деление. То, что комплексные числа это самые "сложные" числа устанавливает теорема Фробениуса. Заменить мнимую единицу на что-то еще можно, но результат будет вкладываться в множество комплексных чисел.
Можно сказать, что мнимых чисел как бы нет, потому что не бывает объектов длиной (1 + i) или потому что аналогичный "физический" аргумент. Но тогда нет и вещественных чисел, потому что во всей вселенной не найдется объекта, с длинной Pi метров. Что-то близкое будет, возможно очень близкое, но точного совпадения не будет с вероятностью 100%, на этот счет тоже есть теорема