Здравствуйте, 31415926, Вы писали:

3>·>Загибаемость тоже ни при чем. Суть в дифферцируемости кривой (ака свойство гладкости). Но это уже за пределами школьной программы.
3>·>Можно на пальцах объяснить, что многоугольник при стремлении к бесконечности в малом масштабе всё более становится похож на прямую линию (углы стремятся к 180°) и поэтому в малом масштабе можно считать длину кривой как длину прямой. А ломаный квадрат так и будет кривым и так считать уже нельзя.
3>Дифференцируемость имеет отношение к обсуждаемому вопросу. Точнее, к метрике, в смысле которой последовательность кривых сходится к предельной. Эта метрика должна учитывать не только расстояние между функциями, но и их производными.
3>Например.
3>Пусть С(n) — график функции f(n; x) = sin(n*x)/n на интервале [0, 2*pi]. Понятно, что при n стремящемся к бесконечности эти кривые становятся все более близки к отрезку прямой [0, 2*pi]. Чуть более сложно убедиться, что при этом длина C(n) не зависит от n и сильно больше 2*pi (нужно уметь минимально обращаться с интегралами). При этом для любого сколь угодно малого положительного х длина графиков функций sin(n*x)/n^(1+x) на том же интервале бyдет таки стремиться к 2*pi. А все дело в поведении производной рассматриваемых последовательностей функций. Выпуклые кривые по ряду свойств близки к дифференцируемым. Поэтому аппоксимировать длину окружности длиной выпуклых многогранников корректно, в вот невыпуклых — нет.
Выпуклось тоже тут ни при чём. Можно, например, синусоиду невыпуклой ломаной померить, даже незамкнутой.