Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>Возник такой момент.

M>Обдумывал вчера несколько часов всё это и пришёл к тому, что нужно быть честным вот в чём. В школе я не понял в полной мере. почему умножение с участием отрицательных чисел устроено именно так, как оно устроено. Я понимал, как устроено умножение положительных чисел друг на друга и на ноль, т.е. что значит эта операция. Но я не объяснил себе до конца, почему если умножать отрицательное число на положительное, должно получаться именно отрицательное, и ещё в меньшей степени понял, почему при перемножении двух отрицательных чисел друг на друга по определению должно получаться положительное. Почему так решили определить эти операции, когда распространили их на отрицательные числа?

Ну вообще, такой вопрос довольно туманный. Многое зависит от того, на что ты изначально опираешься в рассуждениях.

я тут немножко перепечатаю учебник...

Вот есть группы, у них есть множество элементов и групповая операция. Для неё, как известно есть аксиомы:
1. ассоциативности операции: (a * b) * c = a * (b * c)
2. наличие нейтрального элемента e, для которого a * e = e * a = a
3. для каждого элемента a группы есть противоположный a', с которым операция даёт нейтральный элемент: a * a' = e
если операция коммутативна, группа называется коммутативной

если операция обозначается как +, группа называется аддитивной, если она обозначается умножением *, группа мультипликативная

т.е. отсюда получается, что для нейтрального элемента e есть ему противоположный (возможно, он сам, если группа вырождена до самого e)

теперь берём действительные числа. они являются полем (а значит и кольцом). у них есть 2 операции: + и *
операция + образует группу, где нейтральный элемент 0
также, они являются коммутативным кольцом с единицей, что значит что умножение коммутативно и обладает нейтральным элементом, сиречь действительной единицей
к единице прилагается прилагается ему противоположная -1, т.к. у нас же группа по сложению
у всех колец есть аксиома, что сложение дистрибутивно относительно умножения.
(a + b)*c = a*c + b*c ; c*(a + b) = c*a + c*b

и вот если брать уже просто кольцо с единицей, то пусть есть любой его элемент a, и ему противоположный -a

для них выполняется

0 = x*a — x*a = (x — x)*a = 0*a где x — любой какой-то элемент кольца
т.е. здесь показано, что умножение на нулевой элемент кольца всегда даёт нулевой элемент

a + (-1)*a = 1*a + (-1)*a = (1 + (-1))*a = 0*a = 0

a + (-1)*a = 0
-a + a + (-1)*a = -a + 0
0 + (-1)*a = -a + 0
(-1)*a = -a

а здесь показано, что умножение любого элемента кольца на противоположный единице элемент даёт противоположный ему элемент.
т.е. если у нас действительные числа, то умножение числа на -1 должно поменять его знак на противоположный

В частности, это значит, что умножая -1 на саму себя, эта -1 должна стать снова единицей.
(-1)*(-1) = -(-1) = 1

а если мы говорим о произвольном отрицательном действительном числе... пусть это x.
тогда x = -1 * |x| = -|x|, где |x| — модуль x, положительное число
как видно, все такие числа представимы в виде произведения отрицательной единицы на положительное число
таким образом, если у нас есть ещё некое любое действительное число y, то произведение x * y = -1 * |x| * y = -1 * (|x| * y) = -(|x| * y)
|x| не меняет знак y, а вот -1 заставляет брать противоположное к произведению |x| * y
вот и ответ на твой вопрос, Marzec19.


в общем, это всё рассуждения, показывающие что наличие определённых фактов (аксиом кольца) влечёт за собой другие факты.
одно тянет за собой другое. только вот если брать твой главный вопрос: "почему умножение положительного числа на отрицательное должно давать отрицательное?", какие предпосылки мы будем принимать за исходные?
аксиомы кольца/поля? а с чего бы вдруг? ты тут можешь ещё спросить, с чего вдруг должна быть дистрибутивность сложения относительно умножения?
как по мне, здесь всё очень попахивает философией. в неё оч. легко удариться в конечном счёте.

вот ещё пример с вычитанием. в большой науке вычитание в группе определяется через сложение элемента, противоположного к данному.
но вот в начальной школе не то что про группы, даже про отрицательные числа никто не говорит. там идёт речь про натуральные числа и ноль, и результат вычитания не всегда определён.

какой подход самый правильный? если мы зададимся необходимостью всегда иметь результат вычитания, это одно. если на это пофиг, то другое.
аналогично деление. есть деление нацело, деление с остатком, и рациональные дроби наконец.

Здравствуйте, 31415926, Вы писали:

3>Здравствуйте, Шахтер, Вы писали:

Ш>>Ну да. Осталось определить, что такое ориентация. А это делается, сюрприз, через знак определителя.

3>Необязательно. GL(n) имеет две связные компоненты. Так что ориентация одинаковая, если матрица перехода принадлежит к связной компоненте единичного оператора. Все это, разумеется, эквивалентно. Хотя в предложенном варианте формально определитель не присутствует.

Угу. Осталось доказать, что GL(n) имеет две связные компоненты. Самый простой и естественный способ -- через определитель.

Копай Нео, копай -- летать научишься. © Matrix. Парадоксы

Здравствуйте, 31415926, Вы писали:

Ш>>Нет, извините, не имеет. Классификация основана на изучении систем корней простых алгебр Ли над полем комплексных чисел.
Ш>>Октавы нужны для построения некоторых исключительных алгебр.

3>Именно. Для построения. Само доказательство, насколько я помню, октав не использует. Система корней вполне определяет структуру алгебры Ли. То, что ее можно реализовать через октавы — это приятный бонус. А сама теорема верна для любого алнгебраически замкнутого поля характеритики 0. Причем алгебраическая замкнутость обеспечивает расщепляемость рассматриваемых алгебр Ли, которую без это следовало бы требовать.

Есть два пути доказательства теоремы существования алгебры Ли с заданной системой корней.
Первый -- прямой. Но он довольно сложный и техничный.
Второй -- получить сначала полную классификацию систем корней (которую всё равно нужно делать), а потом предъявить для каждой системы корней соответствующую алгебру Ли.
Этот путь оказывается более простым и наглядным. Тем более, что для почти всех систем корней получаются классические алгебры Ли. Остаётся несколько особых.
Поэтому при изложении теории алгебр Ли ему часто отдают предпочтение.

Копай Нео, копай -- летать научишься. © Matrix. Парадоксы

Ш>Есть два пути доказательства теоремы существования алгебры Ли с заданной системой корней.
Ш>Первый -- прямой. Но он довольно сложный и техничный.
Ш>Второй -- получить сначала полную классификацию систем корней (которую всё равно нужно делать), а потом предъявить для каждой системы корней соответствующую алгебру Ли.
Ш>Этот путь оказывается более простым и наглядным. Тем более, что для почти всех систем корней получаются классические алгебры Ли. Остаётся несколько особых.
Ш>Поэтому при изложении теории алгебр Ли ему часто отдают предпочтение.

Все правильно. Я просто говорил, что октавы появляются только на этапе построение алгебр Ли для система корней G(2), а не в процессе основного доказательства. И то, октавы просто делают это построение "более наглядным" что ли. Саму алгебру Ли можно предъявить и не апеллируя к октавам.

Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>Есть определение мнимого числа.
M>Есть фраза, что мнимые числа нужны для того, чтобы рациональные уравнения всегда решались.

M>Но мне сейчас неинтересно и противно насчёт обоих этих вещей. В чём их смысл-то, мнимых чисел? Что они описывают? Понятно, что описывают действительные числа — количества, а для чего могут понадобиться мнимые числа? Если не отвечать на вопрос посредством мыслей, аналогичных смыслу первым двум предложениям данного поста.

M>Что мнимые числа значат?

Исторически мнимые числа возникли из поиска формулы для решения кубических уравнений — формулы Кардано. Формула была найдена и работала, но в ряде случаев возникали отрицательные числа под корнями. Если на это закрыть глаза и применять стандатные математические операции, как будто корней с минусами нет, то корни эти сокращались, а решение приводило к нормальному корню в действительных числах.

Здравствуйте, marcopolo, Вы писали:

M>Комплексный обед состоит из действительной и мнимой частей.

Комплексный обед состоит их нескольких блюд. Комплексное число состоит из двух компонент.
Обед ко́мплесный, и число тоже ко́мплексное. Ни разу не копле́ксное.
Обед у математиков тоже комле́ксный?

Если хотите совсем простое объяснения, смотрите Бориса Трушина:

https://www.youtube.com/watch?v=4N1qybcVb1s

https://www.youtube.com/watch?v=GGaZ5IJEjXw

Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Что мнимые числа значат?

судя по истории математики ооочень долго мурыжились вокруг да около квадратного корня от отрицательного числа,
потому что не могли например вычислить объем пирамиды и какие другие простые уравнения,
которые должны иметь решение, потом придумали некую воображаемую величину (imaginary) квадрат которой равен -1,
и решить эти простые уравнения, а раз это работает и решения вполне реальные,
то они попытались их как-то "легализовать" в виде визуализации на отдельной оси, а потом просто все привыкли

история комплексных чисел

M>Комплексный обед состоит из действительной и мнимой частей.

макароны настоящие, котлеты мнимые.

D> макароны настоящие, котлеты мнимые.

Про применение кватернионов для подбора баланса белков, жиров и углеводов
есть что-нибудь почитать?

Здравствуйте, Эйнсток Файр, Вы писали:
ЭФ>Как человека без высшего образования они пугают меня.

как же так? ведь они используются в 3D-графике да и в уравнениях деформации от ударов, переноса тепла и проч., так что в физической виртуальности востребованы!

Здравствуйте, Pitirimov, Вы писали:

Проще говоря, комплексные числа в окружающей нас действительности не существуют, а выдуманы искусственно, чтобы облегчить математические расклады.

А обычные числа разве существуют. не выдуманы ли они искусственно?

Здравствуйте, deimos, Вы писали:

D> Проще говоря, комплексные числа в окружающей нас действительности не существуют, а выдуманы искусственно, чтобы облегчить математические расклады.

D>А обычные числа разве существуют. не выдуманы ли они искусственно?

В квантовой механике есть точные значения типа 1/2 (спин), 2/3 (заряд u-кварка) и т.п.

Здравствуйте, netch80, Вы писали:

N>В квантовой механике есть точные значения типа 1/2 (спин), 2/3 (заряд u-кварка) и т.п.

А существует ли квантовая механика, не выдумана ли она искусственно?

Здравствуйте, deimos, Вы писали:

N>>В квантовой механике есть точные значения типа 1/2 (спин), 2/3 (заряд u-кварка) и т.п.

D>А существует ли квантовая механика, не выдумана ли она искусственно?

Ну пока она верно описывает, что мы видим — да, существует.

Значение мнимых чисел с точки зрения физики — они описывают физические процессы, которые наш примитивный мозг и органы чувств не может воспринимать. Например, из возможности колебаний в комплексной плоскости следует наличие свойств, которые мы называем зарядом. То есть притягивание и отталкивание электронов происходит потому, что они описываются чем-то, что колеблется в комплексной плоскости.

С точки зрения математики — комплексные числа это самые "сложные" числа, которые можно построить. То есть это такие объекты, которые описываются парой вещественных чисел и которые можно, без ограничений, коммутативно складывать, вычитать, умножать и делить (кроме нуля). Вектора можно складывать, но умножать и делить вектора на вектора нельзя в общем случае. С матрицами, многочленами, распределениями случайных величин и всеми остальными мат. объектами похожая ситуация. Мнимая единица, определена так, как определена, для того, чтобы получившаяся конструкция (x + y*i) была числом и поддерживала коммутативное сложение, вычитание, умножение и деление. То, что комплексные числа это самые "сложные" числа устанавливает теорема Фробениуса. Заменить мнимую единицу на что-то еще можно, но результат будет вкладываться в множество комплексных чисел.

Можно сказать, что мнимых чисел как бы нет, потому что не бывает объектов длиной (1 + i) или потому что аналогичный "физический" аргумент. Но тогда нет и вещественных чисел, потому что во всей вселенной не найдется объекта, с длинной Pi метров. Что-то близкое будет, возможно очень близкое, но точного совпадения не будет с вероятностью 100%, на этот счет тоже есть теорема

Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>Что мнимые числа значат?

Численную меру двумерных сущностей.
Вот просто вероятность (интенсивность) потока вполне выражается вещественным числом. Но так это работает для потока пуль, например.
А если речь идёт о фотонах или ещё чем-то квантовом, то при сложении потоков может случится интерференция, то есть у потока есть не только интенсивность, но и фаза.
Вот эта интенсивность с фазой -- это вот и есть комплексное число.


То есть просто числа можно изобразить просто вертикальными стрелочками, определённой длины. (или горизонтальными)
Скажем
---> 3
-----> 5
--------> 8

А комплексные будут стрелочками под произвольными углами...

Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>Обдумывал вчера несколько часов всё это и пришёл к тому, что нужно быть честным вот в чём. В школе я не понял в полной мере. почему умножение с участием отрицательных чисел устроено именно так, как оно устроено. Я понимал, как устроено умножение положительных чисел друг на друга и на ноль, т.е. что значит эта операция. Но я не объяснил себе до конца, почему если умножать отрицательное число на положительное, должно получаться именно отрицательное, и ещё в меньшей степени понял, почему при перемножении двух отрицательных чисел друг на друга по определению должно получаться положительное. Почему так решили определить эти операции, когда распространили их на отрицательные числа?

Если ты взял в долг пять раз по пять, то твой долг увеличился на 25 рублей.

Если ты взял в долг минус пять раз (то есть отдал пять долгов) то твой долг уменьшился на 25 рублей

Что тут может быть не ясно?

Здравствуйте, 31415926, Вы писали:

3>Зря минусуете. Подсказка — для умножения отрицательных чисел хочется сохранить ассоциативность и дистрибутивность (по отношению к сложению).

Зачем и кому этого хочется?