Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: scf  
Дата: 09.12.19 15:04
Оценка:
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>Что мнимые числа значат?


Наверное, самый простой пример — это кубическое уравнение 8х^3-6x+1=0

Одно из его решений — cos(40), число, непредставимое в виде алгебраического выражения над действительными числами.

Но его можно получить аналитически, сделав замену на выражение в комплексных числах и затем применив формулу Эйлера.
Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: baily Россия  
Дата: 09.12.19 18:17
Оценка:
> Понятно, что описывают действительные числа — количества

Судя по тому, что вы несете в этой ветке, боюсь, что вам только кажется, что вы понимаете что такое действительные числа и зачем они нужны.
Между прочим, строгое определение действительных чисел гораздо сложнее, чем определение мнимых.

Кроме того, вопрос "Что мнимые числа значат?" вряд ли имеет ответ, который вас устроит.
Попробуйте ответить на аналогичные вопросы вида
"Что натуральные числа значат?"
"Что целые числа значат?"
"Что рациональные числа значат?"
"Что действительные числа значат?"
"Что p-адические числа значат?"
"Что значат числа по модулю некоторого числа?"
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: Marzec19 Россия  
Дата: 09.12.19 21:58
Оценка:
Здравствуйте, baily, Вы писали:

>> Понятно, что описывают действительные числа — количества


B>Судя по тому, что вы несете в этой ветке, боюсь, что вам только кажется, что вы понимаете что такое действительные числа и зачем они нужны.

B>Между прочим, строгое определение действительных чисел гораздо сложнее, чем определение мнимых.

B>Кроме того, вопрос "Что мнимые числа значат?" вряд ли имеет ответ, который вас устроит.

B>Попробуйте ответить на аналогичные вопросы вида
B>"Что натуральные числа значат?"
B>"Что целые числа значат?"
B>"Что рациональные числа значат?"
B>"Что действительные числа значат?"
B>"Что p-адические числа значат?"
B>"Что значат числа по модулю некоторого числа?"

Вы не ответили на вопрос.
Во-вторых, объявите отдельную тему и напишите туда ответы на эти вопросы. Интересно почитать будет.
Мне интересен ответ на вопрос, который я спросил.
Re[3]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: kgd  
Дата: 10.12.19 00:33
Оценка:
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:



M>Вы не ответили на вопрос.

M>Во-вторых, объявите отдельную тему и напишите туда ответы на эти вопросы. Интересно почитать будет.
M>Мне интересен ответ на вопрос, который я спросил.


Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: marcopolo Россия  
Дата: 10.12.19 00:43
Оценка: +1 :))
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>Есть определение мнимого числа.

M>Есть фраза, что мнимые числа нужны для того, чтобы рациональные уравнения всегда решались.

Комплексный обед состоит из действительной и мнимой частей.
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: netch80 Украина http://netch80.dreamwidth.org/
Дата: 10.12.19 07:21
Оценка:
Здравствуйте, marcopolo, Вы писали:

M>Комплексный обед состоит из действительной и мнимой частей.


В него обязательно входит салат Фибоначчи — из остатков вчерашнего и позавчерашнего салата.
Если повезёт, то в нём будет салат "Рекурсивный": огурцы, помидоры, салат.
The God is real, unless declared integer.
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: jamesq Россия  
Дата: 10.12.19 20:56
Оценка: 3 (1) :)
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>Попробуем так. Комплексные числа — это по сути две вещи:


M>1. сложение по правилу параллелограмма,

M>2. произведение по правилу перемножения длин и сложения аргументов.

M>Тогда надо понять, а для чего нужны две эти вещи. Какие объекты или что-либо требует двух операций именно по этому принципу?


M>В чём смысл сложения векторов по правилу параллелограмма? Чем оно нужно и удобно?


M>Что значит произведение длин и сложение углов (аргументов)? Какой в этом смысл, где именно такое нужно?


В математике, в общей алгебре, есть такие штуки, как группы, кольца и поля. Может слышал.
Каждая последующая — это проапгрейженная версия предыдущей.

Все они — это некие общие абстракции, обобщающие понятие числа. Множества, к которым прилагаются операции (сложение, умножение),
и на них накладываются определённые требования (аксиомы). Эти множества могут быть любой природы, лишь бы соблюдались требования.
Требования эти похожи на свойства обычных чисел, как например: наличие нулевого, единичного элемента, противоположного, обратного, коммутативность, ассоциативность, и всё в таком духе.

Обычные действительные числа являются полем. Как и комплексные. Насколько помню, определённый подвид матриц также может считаться полем.

Ну и вот определение операций для комплексных чисел указаны так, чтобы аксиоматика поля соблюдалась.
Про кватернионы не знаю, могут ли они считаться полем, но вот вроде группой могут.
Вот ты говоришь про сложение по правилу параллелограмма и произведение. Это всё некие подручные средства. Основное — это формулы получения новых пар действ. и мнимой части на основе имеющихся чисел.
Они отвечают аксиоматике поля, и вот эти правила иллюстрируют эти сухие формулы.

Про теорему Фробениуса я знал уже лет 10 назад где-то.

Вопрос про "значение комплексных чисел" — он дурной. Математикам, чтобы что-то там исследовать и придумывать, совсем не обязательно задаваться каким-то "значением" или "нужностью" их конструкций. Им достаточно интереса пофантазировать над чем-то. Ну а то что эта фантазия с "комплексными числами" оказалась полезной — это побочный результат. Разговоры о том, что они нужны чтобы всегда решались рациональные уравнения — это фуфло. Как будто, кому-то там свербило, что уравнения не решаются, и они выдумали эти компл. чиселки. Нет конечно. А кватериноны придуманы Гамильтоном. Там в Англии, даже сохранился мост, по которому он гулял, когда ему в голову пришла их идея. Так что они не открыты, а придуманы.

Отличный пример математических отвлечённых измышлений, которым хрена с два найдёшь применение — это теоремы Чевы и Менелая в геометрии. Я вот когда их изучал, когда их требовали на экзамене, всё думал — нафига мне про них знать? Какой мне прок от них? Самое разумное, до чего я додумался — это то, что у нас в математике все рассуждения должны опираться на факты. И вот эти теоремы — полезные элементы в копилку фактов, которые могут пригодиться при случае. Это чисто математика для самой математики. И вот когда ты спрашиваешь, зачем нужно правило параллелограммов, ты просто можешь считать что это вот такой вот факт, который приведён в математической книжке. Тебя же не удивляет, что в биологическом справочнике написано про несметное количество видов животных, их особенности? Кому это всё нужно? Может кому-то и нужно, тираж у справочника большой.
Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: Pitirimov Россия  
Дата: 10.12.19 21:29
Оценка: +2
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:
M>Что мнимые числа значат?
Сколько бестолковых людей на форуме, ужас.
Я опишу на примере электротехники зачем нужны комплексные числа. В электрических цепях на практике всегда присутствуют активные (сопротивление) и реактивные (ёмкость и индуктивность) элементы. Активные элементы воздействуют на амплитуду сигналов, а реактивные — на сдвиг фазы сигналов. Теперь каким образом можно посчитать токи и напряжения в узлах электрической цепи? Обычно действуют путём решения дифференциальных уравнений. Их можно решить вручную через математические выкладки либо численными методами на ЭВМ через разностные уравнения. Оба способа довольно трудоёмки. Чтобы облегчить решение придумали комплексные числа (z = a + jb) — такой трюк позволяет решать не дифференциальные уравнения, а обычные линейные, применяя приёмчики для комплексных чисел. Проще говоря, комплексные числа в окружающей нас действительности не существуют, а выдуманы искусственно, чтобы облегчить математические расклады. Спрашивай, если что-то я не совсем понятно объяснил.
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: 31415926 Россия  
Дата: 10.12.19 23:24
Оценка: +2
P>Сколько бестолковых людей на форуме, ужас.
Согласен. И ценю Вашу самокритичность.

P>Я опишу на примере электротехники зачем нужны комплексные числа. В электрических цепях на практике всегда присутствуют активные (сопротивление) и реактивные (ёмкость и индуктивность) элементы. Активные элементы воздействуют на амплитуду сигналов, а реактивные — на сдвиг фазы сигналов. Теперь каким образом можно посчитать токи и напряжения в узлах электрической цепи? Обычно действуют путём решения дифференциальных уравнений. Их можно решить вручную через математические выкладки либо численными методами на ЭВМ через разностные уравнения. Оба способа довольно трудоёмки. Чтобы облегчить решение придумали комплексные числа (z = a + jb) — такой трюк позволяет решать не дифференциальные уравнения, а обычные линейные, применяя приёмчики для комплексных чисел. Проще говоря, комплексные числа в окружающей нас действительности не существуют, а выдуманы искусственно, чтобы облегчить математические расклады. Спрашивай, если что-то я не совсем понятно объяснил.


Вообще-то комплексные числа вошли в оборот в 16 веке, ибо неизбежно возникают при применении формулы Кардано для нахождения корней уравнения 3-й степени, причем как раз в ситуации, когда все три корня вещественные. До расчетов электрических цепей было еще очень далеко. И вообще, ситуации, когда математические понятия возникали из практических нужд реально очень редки. Советую в связи с этим ознакомиться с известной статье Ю. Вигнера "Непостижимая эффективность математики в естественных науках"

Просто поразительно, что куча народу вспомнила про электротехнику, но ни один не упомянул тот фундаментальный факт, что именно над полем комплексных чисел любое (полиномиальное, от одной переменной) уравнение имеет столько корней (с учетом их кратности), какова его степень.. И исторически эти был первый пример т.н. алгебраически замкнутого поля. Где вы все учились?
Отредактировано 10.12.2019 23:27 31415926 . Предыдущая версия .
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: Marzec19 Россия  
Дата: 11.12.19 06:14
Оценка:
Здравствуйте, Pitirimov, Вы писали:

P>Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>>Что мнимые числа значат?
P>Сколько бестолковых людей на форуме, ужас.
P>Я опишу на примере электротехники зачем нужны комплексные числа. В электрических цепях на практике всегда присутствуют активные (сопротивление) и реактивные (ёмкость и индуктивность) элементы. Активные элементы воздействуют на амплитуду сигналов, а реактивные — на сдвиг фазы сигналов. Теперь каким образом можно посчитать токи и напряжения в узлах электрической цепи? Обычно действуют путём решения дифференциальных уравнений. Их можно решить вручную через математические выкладки либо численными методами на ЭВМ через разностные уравнения. Оба способа довольно трудоёмки. Чтобы облегчить решение придумали комплексные числа (z = a + jb) — такой трюк позволяет решать не дифференциальные уравнения, а обычные линейные, применяя приёмчики для комплексных чисел. Проще говоря, комплексные числа в окружающей нас действительности не существуют, а выдуманы искусственно, чтобы облегчить математические расклады. Спрашивай, если что-то я не совсем понятно объяснил.

Поставил +1, но не потому, что получил ответ какой хотел, а потому, что интересно.
Физики у меня в вузе не было.
Re[3]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: pagid Россия  
Дата: 11.12.19 06:53
Оценка: +1 :)
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:

3>Просто поразительно, что куча народу вспомнила про электротехнику, но ни один не упомянул тот фундаментальный факт, что именно над полем комплексных чисел любое (полиномиальное, от одной переменной) уравнение имеет столько корней (с учетом их кратности), какова его степень.. И исторически эти был первый пример т.н. алгебраически замкнутого поля.


ТС спросил зачем нужны мнимые числа. Pitirimov дал ответ, неполный, но понятный. Ты же рассказал об истории и причинах появления понятия. Хорошо рассказал, но все равно возможность иметь столько корней уравнения какова его степень это не ответ на вопрос зачем.

3>Где вы все учились?

Ты уверен, что в курсе высшей математики всех технических ВУЗов на всех технических специальностях теория числовых полей изучается или изучалась, или это просто еще один способ рассказать в каком хорошем, в отношении высшей математики ВУЗе ты учился.
Re[3]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: pagid Россия  
Дата: 11.12.19 06:59
Оценка:
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>Поставил +1, но не потому, что получил ответ какой хотел, а потому, что интересно.

Похоже с ответом тебе угадать не сможет никто.

M>Физики у меня в вузе не было.

В технических ВУЗах рассказанное обычно изучается в курсе теории электротехники. Но при большом желании её можно считать разделом физики, хотя в ВУЗовской классификации это может быть не так.
Математики у тебя в ВУЗе тоже не было? Если не секрет, это ВУЗ какой направленности? И не стоит принимать близко к сердцу вопрос, ITшниками, в том числе программистами, случается вполне успешными и профессионально умелыми работают иногда и совсем без высшего образования.
Re[4]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: 31415926 Россия  
Дата: 11.12.19 08:26
Оценка:
P>ТС спросил зачем нужны мнимые числа. Pitirimov дал ответ, неполный, но понятный. Ты же рассказал об истории и причинах появления понятия. Хорошо рассказал, но все равно возможность иметь столько корней уравнения какова его степень это не ответ на вопрос зачем.

Вообще-то метод расчета электрических цепей, который у полуграмотных КЫВТовцев ассоциируется с понятием комплексного числа (как и вообще стандартный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами) основан как раз на теореме о корнях полиномов. Тот факт, что в Вашем ПТУ этого не объясняли (или Вы это благополучно забыли, т.к. нам об этом рассказывали в средней школе) говорит только о степени Вашего невежества.
Re[5]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: pagid Россия  
Дата: 11.12.19 08:42
Оценка: +1 -1 :)
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:

3>Вообще-то метод расчета электрических цепей, который у полуграмотных КЫВТовцев ассоциируется с понятием комплексного числа (как и вообще стандартный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами) основан как раз на теореме о корнях полиномов. Тот факт, что в Вашем ПТУ этого не объясняли (или Вы это благополучно забыли, т.к. нам об этом рассказывали в средней школе) говорит только о степени Вашего невежества.


Щеки так сильно не надувай — лопнут.
Но продолжай старательно скрывать ответ на вопрос ТС рассказами о своем великолепном образвании и ничтожестве окружающих, это забавно.
Re[6]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: 31415926 Россия  
Дата: 11.12.19 09:09
Оценка: +3
P>Щеки так сильно не надувай — лопнут.
P>Но продолжай старательно скрывать ответ на вопрос ТС рассказами о своем великолепном образвании и ничтожестве окружающих, это забавно.

Завидуйте молча Исходный вопрос бессмысленен, и я даже не пытаюсь на него отвечать в силу очевидной безнадежности пациента (он очевидно гуманитарий, если вообще имеет хоть-какое-то образование). Спрашивать, "что описывают комплексные числа" бессмысленно. Математика тем и полезна, что ее понятия и методы могут быть применены к самому широкому кругу проблем. Об этом как раз и пишет Ю. Вигнер в статье, которую я уже упоминал в этом топике. При этом комплексные числа являются настолько базовой вещью, что встречаются практически повсеместно. Если бы ТС был хоть чуть более грамотным (даже в гуманитарном смысле) и спросил о том, какова сфера применения комплексных чисел, то список бы получился практически бесконечным. Наиболее известные перечислены например в соответствующей статье в Википедии, в которую ТС видимо не удосужился заглянуть, или не понял.
Re: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: Marzec19 Россия  
Дата: 11.12.19 09:31
Оценка: :))
Возник такой момент.

Обдумывал вчера несколько часов всё это и пришёл к тому, что нужно быть честным вот в чём. В школе я не понял в полной мере. почему умножение с участием отрицательных чисел устроено именно так, как оно устроено. Я понимал, как устроено умножение положительных чисел друг на друга и на ноль, т.е. что значит эта операция. Но я не объяснил себе до конца, почему если умножать отрицательное число на положительное, должно получаться именно отрицательное, и ещё в меньшей степени понял, почему при перемножении двух отрицательных чисел друг на друга по определению должно получаться положительное. Почему так решили определить эти операции, когда распространили их на отрицательные числа?
Re[2]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: 31415926 Россия  
Дата: 11.12.19 09:45
Оценка: +2 -1
Здравствуйте, Marzec19, Вы писали:

M>Возник такой момент.


M>Обдумывал вчера несколько часов всё это и пришёл к тому, что нужно быть честным вот в чём. В школе я не понял в полной мере. почему умножение с участием отрицательных чисел устроено именно так, как оно устроено. Я понимал, как устроено умножение положительных чисел друг на друга и на ноль, т.е. что значит эта операция. Но я не объяснил себе до конца, почему если умножать отрицательное число на положительное, должно получаться именно отрицательное, и ещё в меньшей степени понял, почему при перемножении двух отрицательных чисел друг на друга по определению должно получаться положительное. Почему так решили определить эти операции, когда распространили их на отрицательные числа?


Совсем тяжелый случай. Попробуйте сузить Ваш вопрос до умножения -1 на -1.
Re[3]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: 31415926 Россия  
Дата: 11.12.19 09:53
Оценка: +2 -1
3>Совсем тяжелый случай. Попробуйте сузить Ваш вопрос до умножения -1 на -1.

Зря минусуете. Подсказка — для умножения отрицательных чисел хочется сохранить ассоциативность и дистрибутивность (по отношению к сложению). Ну же, напрягите мозги...
Re[4]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: 31415926 Россия  
Дата: 11.12.19 10:04
Оценка: +1 -2
3>Зря минусуете. Подсказка — для умножения отрицательных чисел хочется сохранить ассоциативность и дистрибутивность (по отношению к сложению). Ну же, напрягите мозги...

Ну вот. А Ваш однокашник по ЦПШ pagid хочет, чтобы я вам что-то объяснял. Да еще про комплексные числа...
Re[5]: Для чего нужны мнимые числа, в чём их значение?
От: pagid Россия  
Дата: 11.12.19 10:24
Оценка: -1 :)
Здравствуйте, 31415926, Вы писали:

3>Ну вот. А Ваш однокашник по ЦПШ pagid хочет,

Классно твое высокомерие и хамство позволяет и раскручивает на дальнейшую демонстрацию этих черт.

3>Да еще про комплексные числа...

Ну да, еще тот бином Ньютона, а уж если дело дойдет до святого святых — числовых полей...
Подождите ...
Wait...
Пока на собственное сообщение не было ответов, его можно удалить.