Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:

__>Но даже введя таким образом скалярное произведение, ты не понучишь "того самого" -- "школьного" -- евклидова пространства, о котором шла речь.

Так это же прекрасно, скалярное произведение (и вытекающее понятие перпендикулярности) уже есть, а аффинного евклидова пространства ещё нет, оно просто не требуется для перпендикулярности. Это нечто более общее, чем школьная геометрия.

__>Мне кажется, возможность рассматривать прямые, проходящие не только через одну точку, больше приближает к "школьной" евклидовой геометрии, чем возможность говорить о перпендикулярах, но только проходящих через одну точку.

Так в том-то и дело, что само понятие – notion — ортогональности осмыслено и полезно даже на векторах (в смысле, элементах векторного пространства, не геометрических «школьных» векторах), не требуя точек и линий. И это уже позволяет формулировать содержательные утверждения и развивать на этой базе нетривиальные построения. Именно поэтому понятие ортогональности проникает почти во все разделы математики, оно универсально.

Именно это я имел в виду, когда написал исходный провокационный комментарий про «фундаментальность перпендикулярности», на который ты триггернулся выпадами про «агрессивное невежество».