Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:

Q>Эта «узость» всё ещё довольно широка.

Да что угодно довольно широко, при достаточно близком рассмотрении.

Q>(К слову, про устаревшесть: не понимаю твоего упорства в назывании векторных пространств линейными. Линейными их называли в советских учебниках по линейной алгебре в середине прошлого века. В современной литературе, что на западе, что в России, от этой традиции отказались. Но это оффтопик, мне в сущности всё равно, называй как хочешь. Но людей в треде запутывает.)

Никакого упорства нет. Это взаимозаменяемые синонимы, используемые в современном и русском и английском. Особенно в упомянутом функциональном анализе. Но, вообще, да. Я как-то не обращал внимания, что большинство людей предпочитает "векторное пространство".

Q>Повторю и я. Чтобы ввести понятие ортогональности, достаточно, оставаясь в структуре векторного пространства, ввести операцию скалярного произведения. Чтобы ввести понятие параллельности, векторного пространства недостаточно. Нужно перейти к совсем другой структуре — аффинному пространству.

Но даже введя таким образом скалярное произведение, ты не понучишь "того самого" -- "школьного" -- евклидова пространства, о котором шла речь. О чём также ранее писалось. Действительно, от векторного пространства к "настоящему" евклидову два шага: аффинизация и введение скалярного произведения, которые можно делать в любом порядке. Вопрос, что какой из этих шагов больше приближает к цели, конечно, дурацкий и, в некотором смысле, вкусовщина. Но мой голос -- за то, что первый. Мне кажется, возможность рассматривать прямые, проходящие не только через одну точку, больше приближает к "школьной" евклидовой геометрии, чем возможность говорить о перпендикулярах, но только проходящих через одну точку. В такой геометрии даже треугольников нет. А многие вопросы евклидовой геометрии (типа теоремы Чевы) -- это буквально вопросы аффинной геометрии.