Здравствуйте, _vanger_, Вы писали:
__>Здравствуйте, SomeOne_TT, Вы писали:
SO_>>Как сказали выше, считай его многомерной матрицей. SO_>>NxM — матрица SO_>>NxMxK — тензор SO_>>NxMxKx.... — тоже тензор
__>Перефразируя известную фразу Лебедева: "Так считают только муд@ки".
Тыртышников, "Матричный анализ и линейная алгебра", издание ФИзматлит 2007, ISBN 978-5-9221-0778-5
"Матрицу можно рассматривать как способ задания числовой функции от дискретных переменных i, j или, в терминологии
некоторых языков программирования, как двумерный массив. Данная точка зрения приводит к такому естественному
обобщению, как m-мерный массив (m-мерная матрица) с элементами x i1...im или функция от m индексов i1..im,
часто называемая также тензором"
Здравствуйте, alpha21264, Вы писали:
A>Расскажите простыми словами, что такое "тензор"!
Это матрица преобразований координат.
Когда в OpenGL или DirectX загоняешь вершины, вот как раз предварительно надо выставить матрицу преобразований — тот самый тензор.
Например, для 2D-преобразования матрица будет двумерная:
a b e
c d f
где преобразованные координаты считаются по формуле:
x'=x*a+y*b+e
y'=x*c+y*d+f
Если начала обеих систем координат совпадают, то матрица будет 2x2, без e f.
Ну и, абстрагируясь от конкретно 2D или 3D, размерность тензора зависит от размерности систем преобразуемых координат.
Далее.
Тензорное поле — это, в первом приближении, набор тензоров.
Например, есть некое магнитное поле вокруг проводника. Каждой точке пространства вокруг этого проводника можно поставить в соответствие тензор, который переводит 3D координаты этой точки в 3D вектор, описывающий направление и силу напряженности магнитного поля в этой точке.
Т.к. пространство в математическом смысле непрерывно, то существует бесконечное кол-во точек вокруг проводника из примера, поэтому этот "бесконечный набор тензоров" образует поле.
С учётом того, что например энергия (да и вообще любой скаляр) также является тензором, парочка определений от коллег выше является особо забавными. )))
Здравствуйте, alex_public, Вы писали:
_>С учётом того, что например энергия (да и вообще любой скаляр) также является тензором, парочка определений от коллег выше является особо забавными. )))
Не вижу противоречий:
размерность тензора зависит от размерности систем преобразуемых координат
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
_>>С учётом того, что например энергия (да и вообще любой скаляр) также является тензором, парочка определений от коллег выше является особо забавными. ))) V>Не вижу противоречий: V>
V>размерность тензора зависит от размерности систем преобразуемых координат
Размерность то пространства может быть какая угодно, только в данном случае это безразлично — для тензора нулевого ранга это вообще не видно. Так я не очень понял, что там будет преобразовывать энергия (ну или например заряд)?
Здравствуйте, alex_public, Вы писали:
_>для тензора нулевого ранга это вообще не видно. Так я не очень понял, что там будет преобразовывать энергия (ну или например заряд)?
Ага, в Матлабе скаляры тоже представлены матрицей 1x1 ))
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
V>Это матрица преобразований координат. V>Когда в OpenGL или DirectX загоняешь вершины, вот как раз предварительно надо выставить матрицу преобразований — тот самый тензор. V>Например, для 2D-преобразования матрица будет двумерная:
Это не тензор, совсем. Хотя матрица может быть представлением некоторых тензоров и линейных операторов, по смыслу (и по типам) тензоры и линейные операторы это совсем разные вещи.
V>Ну и, абстрагируясь от конкретно 2D или 3D, размерность тензора зависит от размерности систем преобразуемых координат.
А еще ты спутал размерность пространства и ранг тензора, это еще смешнее.
Здравствуйте, D. Mon, Вы писали:
V>>Это матрица преобразований координат. V>>Когда в OpenGL или DirectX загоняешь вершины, вот как раз предварительно надо выставить матрицу преобразований — тот самый тензор. V>>Например, для 2D-преобразования матрица будет двумерная: DM>Это не тензор, совсем.
DM>Хотя матрица может быть представлением некоторых тензоров
Угу, ранга (0, 2), когда речь о преобразовании координат.
Так, вектор (тензор первого ранга) задаётся одномерным массивом (строкой или лучше — столбцом), а такие объекты, как линейный оператор и квадратичная форма, — двумерной матрицей.
DM>и линейных операторов, по смыслу (и по типам) тензоры и линейные операторы это совсем разные вещи.
V>>Ну и, абстрагируясь от конкретно 2D или 3D, размерность тензора зависит от размерности систем преобразуемых координат. DM>А еще ты спутал размерность пространства и ранг тензора, это еще смешнее.
И где ты увидел слово "ранг"? Речь шла о размерности представления тензора.
И примеры были вполне доступные для понимания. Пример с тензорным полем преобразования координаты в вектор можно далее обобщить, скажем, на силу Лоренца, задав отображение вектора из 6-ти компонент (мгновенные координаты и мгновенная скорость частицы, т.е. исходное многообразие) на вектор действующей силы из 3-х компонент. И т.д. Это же просто математическая абстракция.
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
V>>>Это матрица преобразований координат. V>>>Когда в OpenGL или DirectX загоняешь вершины, вот как раз предварительно надо выставить матрицу преобразований — тот самый тензор. V>>>Например, для 2D-преобразования матрица будет двумерная: DM>>Это не тензор, совсем.
V>Приплыли. V>Уже с определениями спорим.
О, веселуха. По ссылке у тебя нормально написано, но то ли прочитать ты не смог, то ли понять, то ли что такое линейный оператор не знаешь.
Хинт: смотри на типы, что именно стоит справа от стрелки.
DM>>Хотя матрица может быть представлением некоторых тензоров
V>Угу, ранга (0, 2), когда речь о преобразовании координат.
Да не занимается тензор преобразованием координат. На типы смотри еще раз. Ты не видишь отличия между элементом векторного пространства над полем и элементом того поля? Они ж совсем из разных множеств.
Открой свою же ссылку и прочитай:
Существуют объекты, которые не только похожи на тензоры, ... однако при этом тензорами не являющиеся:
Прежде всего, к тензорам не относятся сами матрицы преобразования координат
V>>Ну и, абстрагируясь от конкретно 2D или 3D, размерность тензора зависит от размерности систем преобразуемых координат. DM>А еще ты спутал размерность пространства и ранг тензора, это еще смешнее.
V>И где ты увидел слово "ранг"? Речь шла о размерности представления тензора.
Что такое размерность по-твоему? Скажем так: число измерений в прадставлении тензора определяется его рангом, т.е. количеством векторов и ковекторов, которые он принимает, но не размерностью самого векторного пространства, откуда эти вектора берутся.
V>И примеры были вполне доступные для понимания. Пример с тензорным полем преобразования координаты в вектор можно далее обобщить
Это неправильные примеры. Ни один тензор никакие координаты в вектор не переводит.
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
_>>для тензора нулевого ранга это вообще не видно. Так я не очень понял, что там будет преобразовывать энергия (ну или например заряд)? V>Ага, в Матлабе скаляры тоже представлены матрицей 1x1 ))
Ты похоже всё время путаешь размерность представления тензора и его ранг. Вот смотри простейший пример, обычный вектор трёхмерной скорости V={V_x, V_y, V_z} — это тензор 1-го ранга при этом данное его представление имеет размерность 3. И очевидно, что данная конструкция не занимается никаких преобразованием координат. Более того, всё как раз наоборот — это скорость (как и любой тензор) преобразуют, причём вполне конкретным образом (собственно это и есть определение понятия тензор, частным случаем которого является всем известный вектор).
Здравствуйте, alex_public, Вы писали:
_>>>для тензора нулевого ранга это вообще не видно. Так я не очень понял, что там будет преобразовывать энергия (ну или например заряд)? V>>Ага, в Матлабе скаляры тоже представлены матрицей 1x1 )) _>Ты похоже всё время путаешь размерность представления тензора и его ранг.
Не путаю. Представление тензора зависит от его ранга, заданного парой чисел и от размерностей участвующих в отношениях пространств (многообразий).
_>Вот смотри простейший пример, обычный вектор трёхмерной скорости V={V_x, V_y, V_z} — это тензор 1-го ранга
Это тензор ранга (1, 0).
Из теории множеств одноарное отношение тоже будет отношение ранга 1. ))
Т.е. не вижу пока никаких граблей.
_>при этом данное его представление имеет размерность 3.
Да хоть 10.
_>И очевидно, что данная конструкция не занимается никаких преобразованием координат.
Занимается преобразованием в самого себя прямо по определению.
Т.е. задаёт исходное пространство/многообразие.
_>Более того, всё как раз наоборот — это скорость (как и любой тензор) преобразуют, причём вполне конкретным образом (собственно это и есть определение понятия тензор, частным случаем которого является всем известный вектор).
Э-э-э... Как бэ тут ответить, чтобы не сгоряча. В общем, я не думаю, что топикстартер спрашивал ссылки на точное математическое определение и тем более не думаю, что на первых же этапах знакомства интересуют вырожденные случаи. Думаю, что с задачей поиска ссылок он прекрасно справляется сам, а с вырожденными случаями лучше разобраться в самом конце, чем в самом начале. Поэтому я ответил сугубо прикладными примерами. Собсно, тензорное исчисление и родилось из подобных прикладных применений (геометрии/топологии/метрики и т.д.), где сам матаппарат впоследствии был обобщён до задания отношений м/у любыми многообразиями (или не обобщён, но оказался подходящим, что скорее всего, но не суть).
Тут важно скорее другое. Тензоры, как и лагранжианы, гамильтонианы, "соглашение Энштейна" и т.д. и т.п. используются как аппарат сокращённой математической записи. Т.е. задают эдакую терминологию. ИМХО, корни любой терминологии всегда любопытны. Тензорный анализ развился как обобщение векторного анализа, который исторически имел сугубо прикладное значение как раз в геометрии, топологии, ньютоновской физике и т.д.
Здравствуйте, vdimas, Вы писали:
_>>Ты похоже всё время путаешь размерность представления тензора и его ранг. V>Не путаю. Представление тензора зависит от его ранга, заданного парой чисел и от размерностей участвующих в отношениях пространств (многообразий).
Да.
_>>Вот смотри простейший пример, обычный вектор трёхмерной скорости V={V_x, V_y, V_z} — это тензор 1-го ранга V>Это тензор ранга (1, 0).
Да.
_>>при этом данное его представление имеет размерность 3. V>Да хоть 10.
Да.
_>>И очевидно, что данная конструкция не занимается никаких преобразованием координат. V>Занимается преобразованием в самого себя прямо по определению. V>Т.е. задаёт исходное пространство/многообразие.
_>>Более того, всё как раз наоборот — это скорость (как и любой тензор) преобразуют, причём вполне конкретным образом (собственно это и есть определение понятия тензор, частным случаем которого является всем известный вектор). V>Э-э-э... Как бэ тут ответить, чтобы не сгоряча. В общем, я не думаю, что топикстартер спрашивал ссылки на точное математическое определение и тем более не думаю, что на первых же этапах знакомства интересуют вырожденные случаи. Думаю, что с задачей поиска ссылок он прекрасно справляется сам, а с вырожденными случаями лучше разобраться в самом конце, чем в самом начале. Поэтому я ответил сугубо прикладными примерами. Собсно, тензорное исчисление и родилось из подобных прикладных применений (геометрии/топологии/метрики и т.д.), где сам матаппарат впоследствии был обобщён до задания отношений м/у любыми многообразиями (или не обобщён, но оказался подходящим, что скорее всего, но не суть).
) естественное физическое (потому как тензоры были созданы в физике и для физики) определение этого понятия, являющиеся просто многомерным обобщением понятия вектора. А именно сущности неизменной (но при этом его компоненты меняются, причём по строго определённому закону) при произвольных изменениях систем координат. Именно в этом ключевой смысл данной сущности — преобразуют её компоненты, а не она преобразует кого-то. Собственно прямо по твоей же ссылке на Википедию имеется практически мой вариант определения, в разделе "О классическом определении" — может ты до него не дочитал? )
V>Тут важно скорее другое. Тензоры, как и лагранжианы, гамильтонианы, "соглашение Энштейна" и т.д. и т.п. используются как аппарат сокращённой математической записи. Т.е. задают эдакую терминологию. ИМХО, корни любой терминологии всегда любопытны. Тензорный анализ развился как обобщение векторного анализа, который исторически имел сугубо прикладное значение как раз в геометрии, топологии, ньютоновской физике и т.д.
Да, причём не только в ньютоновской физике, но и по сути вообще во всей современной физике. )))
) естественное физическое (потому как тензоры были созданы в физике и для физики) определение этого понятия, являющиеся просто многомерным обобщением понятия вектора. А именно сущности неизменной
Это результат применения тензора должен оставаться неизменным.
_>(но при этом его компоненты меняются, причём по строго определённому закону)
Угу. По тому "закону", что я написал абзацем выше. ))
_>при произвольных изменениях систем координат.
И это интуитивно-понимаемое, согласись, бо напряженность, скажем, электрического поля в какой-то точке пространства не должна зависеть от выбранной системы координат.
) естественное физическое (потому как тензоры были созданы в физике и для физики) определение этого понятия, являющиеся просто многомерным обобщением понятия вектора. А именно сущности неизменной V>Это результат применения тензора должен оставаться неизменным.
Ты всё же настаиваешь на своём? ) Ну тогда укажи к чему конкретно применяется например мощность системы (физическая величина, которая является скаляром и соответственно тензором 0-го ранга).
V>И это интуитивно-понимаемое, согласись, бо напряженность, скажем, электрического поля в какой-то точке пространства не должна зависеть от выбранной системы координат.
Конечно. Для того вектора и позже тензоры собственно и придуманы.
