Известно, что есть неберущиеся интергалы, например этот:
В то же время, любой интеграл можно посчитать через ряд Тейлора. Я понимаю слово “неберущийся” так: его нельзя выразить через стандартные функции (синус, косинус, экспонента, логарифм, степень и т.п.). Но ведь можно придумать какую-нибудь новую функцию, например “гиперсинус”:
hypersin(x)=
Как я понимаю, между обычным синусом и “гиперсинусом” нет принципиальной разницы, и тот и тот рассчитывается как сумма бесконечного сходящегося ряда.
Ещё я слышал, что полиномиальные уравнения выше третьей степени в общем случае не решаются. Как правильно интерпретировать это “не решаются”?
"Ты должен сделать добро из зла, потому что его больше не из чего сделать". АБ Стругацкие.
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
K>Как я понимаю, между обычным синусом и “гиперсинусом” нет принципиальной разницы, и тот и тот рассчитывается как сумма бесконечного сходящегося ряда.
Принципиальной разницы нет, это вопрос договорённости. Разница только в том, что синус — стандартная, общепризнанная функция, а "гиперсинус" — нет. Таким образом, неберущийся интеграл — тот, который нельзя выразить через некоторое множество стандартных (обычно элементарных) функций.
K>Ещё я слышал, что полиномиальные уравнения выше третьей степени в общем случае не решаются. Как правильно интерпретировать это “не решаются”?
Это значит, что корни нельзя аналитически выразить через неопределённые коэффициенты уравнения. То есть нельзя решить уравнение в общем виде (как например можно решить квадратное уравнение).
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
K>Я понимаю слово “неберущийся” так: его нельзя выразить через стандартные функции (синус, косинус, экспонента, логарифм, степень и т.п.). Но ведь можно придумать какую-нибудь новую функцию, например “гиперсинус”:
Так и есть, при «интегрировании в замкнутой форме» элементарные функции дополняют специальными: функция ошибок
функции Бесселя, и т.п.
Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
K>>Я понимаю слово “неберущийся” так: его нельзя выразить через стандартные функции (синус, косинус, экспонента, логарифм, степень и т.п.). Но ведь можно придумать какую-нибудь новую функцию, например “гиперсинус”:
Q>Так и есть, при «интегрировании в замкнутой форме» элементарные функции дополняют специальными: функция ошибок
url=https://upload.wikimedia.org/math/4/5/d/45d48c5003909c5eaba2f104c61645a1.png]Image: 45d48c5003909c5eaba2f104c61645a1.png[/url] Q>функции Бесселя, и т.п.
1) Есть ли какая-то принципиальная резница между элементарными функциями и специальными, вроде этой erf(x)?
2) Корни полиномиального уравнения 5-й степени можно выразить в специальных функциях?
"Ты должен сделать добро из зла, потому что его больше не из чего сделать". АБ Стругацкие.
“Hерешаемые уравнения” просто просторечие. В литературе обьічно встречаются более строгие и точньіе формулировки. Например, решения полиномиального уравнения вьіше пятой степени в общем случае невьіразимьі в виде радикалов. И т. п.
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
K>Здравствуйте, Qbit86, Вы писали:
K>>>Я понимаю слово “неберущийся” так: его нельзя выразить через стандартные функции (синус, косинус, экспонента, логарифм, степень и т.п.). Но ведь можно придумать какую-нибудь новую функцию, например “гиперсинус”:
Q>>Так и есть, при «интегрировании в замкнутой форме» элементарные функции дополняют специальными: функция ошибок K>url=https://upload.wikimedia.org/math/4/5/d/45d48c5003909c5eaba2f104c61645a1.png]Image: 45d48c5003909c5eaba2f104c61645a1.png[/url] Q>>функции Бесселя, и т.п.
K>1) Есть ли какая-то принципиальная резница между элементарными функциями и специальными, вроде этой erf(x)?
Что такое "принципиальная разница"? И то и другое -- функции. Эти функции аналитические, их значения можно посчитать, например, с помощью разложения в ряд.
K>2) Корни полиномиального уравнения 5-й степени можно выразить в специальных функциях?
Здравствуйте, Khimik, Вы писали:
K>Известно, что есть неберущиеся интергалы
Неберущийся интеграл — это жаргон, используемый школьниками. Интеграл (когда в нем указаны пределы интегрирования) может существовать или нет (причем в определенном смысле: Римана, Лебега, Стильтьеса, Коши, Ито и еще десяток других фамилий). Твой пример — это неопределенный интеграл, который не выражается в элементарных функциях (точнее — не имеет closed form solution, забыл как это называется на русском). Элементарные функции — это константы, 4 арифметические операции, экспонента и обратная к ней функция (логарифм). Комбинируя их, можно получить тригонометрчические и гиперболические фунцкции, квадратичную, кубическую и т.п. функции. Набор функций, которые называются элементарными, сложился исторически (некоторый стандартный math.h).
K>В то же время, любой интеграл можно посчитать через ряд Тейлора.
Не любой, а только тот, который существует
K>Как я понимаю, между обычным синусом и “гиперсинусом” нет принципиальной разницы, и тот и тот рассчитывается как сумма бесконечного сходящегося ряда.
Да
K>Ещё я слышал, что полиномиальные уравнения выше третьей степени в общем случае не решаются. Как правильно интерпретировать это “не решаются”?
Полиноминальные уравнения как раз очень хорошо решаются и про них известно, что уравнение степени n всегда имеет n корней в комплексной плоскости. Другое дело, что начиная с 4 степени нельзя написать обшую формулу, которая бы выражала эти корни как выражение, в котором присутсвуют коэффициенты уравнения, арифметические операции и радикалы. Но оно и не слишком нужно, т.к. корни относительно просто можно найти численно.
