Здравствуйте, system.console, Вы писали:
RB>>Вот эллипс — континуум точек с определенными условиями на свое расположение. RB>>Что такое — "среднее расстояние" до этих точек (например, от фокуса)?
SC>а что тут непонятного ? SC>как сказал П.П.Шариков "взять все и поделить".
Средним значением некой величины обычно называется сумма нескольких значений деленная на их количество. Количество точек эллипса бесконечно, поэтому среднее таким способом не получишь. Мне кажется что даже если углубиться в матанализ и попытаться посчитать предел увеличивая количество точек до бесконечности, то и в этом случае результаты будут разными в зависимости от способа каким ты будешь выбирать точки: можно ставить их на равном расстояние по эллипсу, можно разбить лучами проведенными из фокуса, можно — лучами, проведенными из центра и т.д.
Я отвечаю за свои слова, а не за то как вы их интерпретируете!
Здравствуйте, rus blood, Вы писали:
RB>Здравствуйте, icWasya, Вы писали:
W>>Тогда посчитай сам. W>>Расстояние от фокуса до точки эллипса в полярных координатах W>> R = L/(1-ε*cos(φ))
RB>Проинтегрировать что и вдоль чего? RB>Параметр интегрирования какой?
Если речь про астрономию, то видимо, по времени. Берем спутник, двигающийся по орбите с переменной скоростью и т.д.и т.п.
Здравствуйте, qwertyuiop, Вы писали: Q>Средним значением некой величины обычно называется сумма нескольких значений деленная на их количество. Количество точек эллипса бесконечно, поэтому среднее таким способом не получишь. Мне кажется что даже если углубиться в матанализ и попытаться посчитать предел увеличивая количество точек до бесконечности, то и в этом случае результаты будут разными в зависимости от способа каким ты будешь выбирать точки: можно ставить их на равном расстояние по эллипсу, можно разбить лучами проведенными из фокуса, можно — лучами, проведенными из центра и т.д.
Здравствуйте, Pzz, Вы писали:
Pzz>Что такое среднее расстояние?
Матан что-ли забыл? Берем функцию расстояния от точки до фокуса от какого-нибудь параметра, хоть от угла. Потом интегрируем эту функцию от 0 до 2PI и делим на 2PI
По какой переменной интеграл? Можно по длине эллипса, можно по углу в полярных координатах, при этом начало координат может быть в фокусе, может быть в центре. Боюсь что результат во всех случаях будет разный.
Я отвечаю за свои слова, а не за то как вы их интерпретируете!
Здравствуйте, qwertyuiop, Вы писали:
Q>Никак, это не соответствует истине. Большой полуоси равна сумма расстояний от его фокусов до любой его точки. И доказать это невозможно, так как это определение эллипса.
Сумма расстояний от его фокусов до любой его точки равна большой оси, т.е. удвоенной большой полуоси. Поскольку усреднение является линейным функционалом, то усреднение этого факта в силу симметрии фокусов и отражён в первоначальном утверждении.
Здравствуйте, Vi2, Вы писали: Vi2>Сумма расстояний от его фокусов до любой его точки равна большой оси, т.е. удвоенной большой полуоси. Поскольку усреднение является линейным функционалом, то усреднение этого факта в силу симметрии фокусов и отражён в первоначальном утверждении.
Очевидно, это правда, если мера, по которой усредняют, симметрична относительно полюсов, то есть, например, длина участка эллипса или центральный угол. Из этого также очевидно, что если идёт усреднение по времени, и расстояние берётся до одного и того же полюса, например, до того, в котором находится Солнце (или барицентр), то среднее не будет равно полуоси, так как вблизи этого полюса планета пролетает быстрее, чем вдали от него. Исключение — совпадающие полюса, то есть окружность.
S>>http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D0%B5%D0%B5_%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 S>>Вобщем в дискретном случае мы берем сумму и делим на количество. S>>В непрерывном — сумма заменяется интегралом и делим на длину отрезка.
Q>По какой переменной интеграл? Можно по длине эллипса, можно по углу в полярных координатах, при этом начало координат может быть в фокусе, может быть в центре.
Мне кажется в полярных координатах с началом в фокусе, в котором находится Солнце, было бы самым правильным.
Тут кто-то уже приводил формулу R = p/(1-e*cos(fi))
Так что, наверное, среднее расстояние будет
Rср = integral(p/(1-e*cos(fi)),dfi,0,2*pi)/L
где L — длина элипса.
ЗЫ. Вопрос: длина элипса и периметр элипса — это одно и то же или нет ?
И как она вычисляется эта длина ?
Википедия дает приближенную формулу для периметра, а вот этот, например, сомнительный сайтец совсем простую L = Pi*(a+b)
Здравствуйте, cures, Вы писали:
C>Очевидно, это правда, если мера, по которой усредняют, симметрична относительно полюсов, то есть, например, длина участка эллипса или центральный угол. Из этого также очевидно, что если идёт усреднение по времени, и расстояние берётся до одного и того же полюса, например, до того, в котором находится Солнце (или барицентр), то среднее не будет равно полуоси, так как вблизи этого полюса планета пролетает быстрее, чем вдали от него. Исключение — совпадающие полюса, то есть окружность.
L1+L2=2*a => Ф(L1+L2)=Ф(2*a) => Ф(L1)+Ф(L2)=2*a => 2*L=2*a => L = Ф(L1) = Ф(L2) = a
Здравствуйте, Vi2, Вы писали: Vi2>L1+L2=2*a => Ф(L1+L2)=Ф(2*a) => Ф(L1)+Ф(L2)=2*a => 2*L=2*a => L = Ф(L1) = Ф(L2) = a
Откуда взяли Ф(L1) = Ф(L2) ? Из симметрии меры это следует, без симметрии это, вообще говоря, не верно, например, если усреднять по углу от фиксированного фокуса (Солнца), как предлагает выше system.console.
Здравствуйте, cures, Вы писали:
C>Откуда взяли Ф(L1) = Ф(L2) ? Из симметрии меры это следует, без симметрии это, вообще говоря, не верно, например, если усреднять по углу от фиксированного фокуса (Солнца), как предлагает выше system.console.
Из симметрии эллипса. У него два эквивалентных фокуса. Считай, что это дополнительное построение.
Здравствуйте, cures, Вы писали:
C>Так проведите это дополнительное построение. Эллипс симметричный, а мера, по которой интегрируем, — нет. Она привязана к одному из фокусов.
Все отрезки, которые фигурируют в операции усреднения, и манипуляции с ними могут быть проведены и из другого полюса. Поэтому результат усреднения не зависит от номера фокуса, и в силу этого равны друг другу. В силу линейности операции усреднения манипуляции с отрезками можно сгруппировать до определения эллипса, т.е. до константы. Единственная тут сложность — перестановка членов ряда, но эта операция, AFAIR, допустима в этом случае.
Симметрична или нет мера — это тут не играет никакой роли.
Здравствуйте, Vi2, Вы писали:
Vi2>Все отрезки, которые фигурируют в операции усреднения, и манипуляции с ними могут быть проведены и из другого полюса. Поэтому результат усреднения не зависит от номера фокуса, и в силу этого равны друг другу. В силу линейности операции усреднения манипуляции с отрезками можно сгруппировать до определения эллипса, т.е. до константы. Единственная тут сложность — перестановка членов ряда, но эта операция, AFAIR, допустима в этом случае. Vi2>Симметрична или нет мера — это тут не играет никакой роли.
Могут и из другого, но коэффициенты при них (длина отрезков в фокальной мере) будет другая, либо другим будет расстояние до фокуса, смотря как вы сгруппируете; соответственно, другой будет и сумма. Впрочем, хватит голословной философии, про неё рядом отдельный топик висит, тут всё чисто интегрируется в элементарных функциях, расстояние от фокуса до точки от угла зависит как
r = a*(1-e^2)/(1+e*cos(phi)), где e^2 = (a^2-b^2)/a^2, a и b — соответственно большая и малая полуоси эллипса.
При усреднении по углу получаем Ra = Int(r, phi=0..pi)/pi, при усреднении по времени пользуемся первым и вторым (постоянством секториальной скорости) законами Кеплера, получаем Rt = Int(r, t=0..T)/T = Int(r, s=0..S)/S = Int(r^3, phi = 0..pi)/(pi*a*b). Подинтегральные функции — рациональные от косинуса, стандартная подстановка и подсчёт первообразной в нуле и pi-0. У меня получилось Ra = b, Rt = a * (1 + e^2/2), то есть при усреднении по фокальному углу средним расстоянием до этого фокуса будет малая полуось, а при усреднении по времени — приведённое выше выражение, меняющееся от 1.5*a до a при фиксированном a и меняющейся от 0 до a длине малой полуоси b.
В выкладках я вполне мог ошибиться, надеюсь, меня проверят, но в точности a там будет только в случае окружности.
Здравствуйте, qwertyuiop, Вы писали:
Q>Здравствуйте, system.console, Вы писали:
RB>>>Вот эллипс — континуум точек с определенными условиями на свое расположение. RB>>>Что такое — "среднее расстояние" до этих точек (например, от фокуса)?
SC>>а что тут непонятного ? SC>>как сказал П.П.Шариков "взять все и поделить".
Q>Средним значением некой величины обычно называется сумма нескольких значений деленная на их количество. Количество точек эллипса бесконечно, поэтому среднее таким способом не получишь. Мне кажется что даже если углубиться в матанализ и попытаться посчитать предел увеличивая количество точек до бесконечности, то и в этом случае результаты будут разными в зависимости от способа каким ты будешь выбирать точки: можно ставить их на равном расстояние по эллипсу, можно разбить лучами проведенными из фокуса, можно — лучами, проведенными из центра и т.д.
Господи! Какие сложности. У вас с матанализом явно проблемы.
Вот вам строгое доказательство.
Начнем с определения среднего некоторой функции f(x) на некотором множестве M. Вы правильно сказали, что это есть сумма по всем точкам множества M значений функции f(x) на них,
деленное на количество точек. В случае, если множество M бесконечно, надо взять предел частичных сумм. Т.е если M у нас кривая ( эллипс ),
то мы выбираем на эллипсе некоторое разбиение конечным число точек. Для каждого разбиения считаем среднее. Далее берем предел по разбиениям, устремляя диаметр разбиения к нулю.
Этот предел называется интегралом. Собственно, это и есть определение интеграла.
Как вы верно заметили, можно выбирать разные разбиения, и далеко не для каждой функции f(x) такой предел может существовать.
Однако, в нашем случае, когда f(x) является непрерывной функцией ( а расстояние у нас непрерывная функция ), а множество M является компактом, то такой предел всегда существует.
А если он существует, то он единственен. Так что не переживайте по поводу того, что можете получить разный ответ.
Если для вас все вышесказанное неочевидно, то почитайте матанализ 1-го курса любого вуза. Это там есть. Есть даже и в старших классах школы, но не так строго.
Осталось только посчитать интеграл нашей функции. Итак. Мы берем интеграл по эллипсу ( т.е пробегаем все его точки ), от функции f(x) равной расстояние от точки эллипса до одного из его фокусов.
Пусть это число I1. Заметим, что в силу симметрии I1 = I2, где I2 интеграл от функции g(x) равной расстояние от точки эллипса до другого фокуса эллипса.
Расммотрим тогда интеграл по эллипсу от функции f(x) + g(x). В силу одного из эквивалентных определений эллипса, это множество точек у которых сумма расстояний до двух фокусов есть константа.
Т.е f(x) + g(x) = Сonst. Тогда 2*I1 = I1 + I2 = интеграл по эллипсу от Сonst = Const.
Но что такое Const? Возьмем на эллипсе точку, являющуюся вершиной большой оси. Тогда сумма расстояний от нее до фокусов это с одной стороны Const ( в силу определения эллипса ),
с другой стороны длина большой оси. Итого 2*I1 = Const = длина большой оси.
Таким образом I1 равен длине большой полуоси.
Здравствуйте, baily, Вы писали:
Q>>Средним значением некой величины обычно называется сумма нескольких значений деленная на их количество. Количество точек эллипса бесконечно, поэтому среднее таким способом не получишь. Мне кажется что даже если углубиться в матанализ и попытаться посчитать предел увеличивая количество точек до бесконечности, то и в этом случае результаты будут разными в зависимости от способа каким ты будешь выбирать точки: можно ставить их на равном расстояние по эллипсу, можно разбить лучами проведенными из фокуса, можно — лучами, проведенными из центра и т.д.
B>Господи! Какие сложности. У вас с матанализом явно проблемы. B>Вот вам строгое доказательство.
B>Начнем с определения среднего некоторой функции f(x) на некотором множестве M. Вы правильно сказали, что это есть сумма по всем точкам множества M значений функции f(x) на них, B>деленное на количество точек. В случае, если множество M бесконечно, надо взять предел частичных сумм. Т.е если M у нас кривая ( эллипс ), B>то мы выбираем на эллипсе некоторое разбиение конечным число точек. Для каждого разбиения считаем среднее. Далее берем предел по разбиениям, устремляя диаметр разбиения к нулю.
Совершенно верно. Только здесь у тебя аргумент задан — это x, а какой будет аргумент если мы захотим посчитать среднее расстояние от фокуса? В зависимости от того, как мы будем разбивать эллипс, результат может получиться разный. Потому что в одном случае мы можем в апогее взять больше точек, в другом — перигее. Можно круг с центром в фокусе разбивать на одинаковое количество углов и брать точки пересечения лучей с эллипсом, можно сам эллипс разбивать на равные отрезки, а можно запустить по нему спутник и отмечать его положение через равные промежутки времени. В этом случае (как подсказывает мне интуиция) результат будет самым большим, так как в апогее он движется медленнее и следовательно там будет больше всего точек.
Хорошо известно, что предел суммы бесконечной последовательности может сходиться к разным значениям если поменять местами члены. Это хорошо иллюстрируется на примере театра с бесконечно большим количеством мест. Однажды в театр пришло бесконечно много зрителей и оставили свои шляпы в гардеробе, а когда стали уходить, то n-й зритель брал шляпу с номером n+1, в результате все зрители ушли в шляпах, но одна шляпа осталась лишняя. В следующий раз каждый n-й зритель брал шляпу номер 2*n, в результате в гардеробе осталось бесконечно много шляп, хотя все зрители ушли в шляпах. Можно сделать наоборот — чтобы кому-то не хватило шляп или даже не хватило бесконечно большому числу зрителей.
Так что не стоит относиться к матанализу так поверхностно, это точная наука.
Я отвечаю за свои слова, а не за то как вы их интерпретируете!
Здравствуйте, qwertyuiop, Вы писали:
Q>Хорошо известно, что предел суммы бесконечной последовательности может сходиться к разным значениям если поменять местами члены.
Q>Совершенно верно. Только здесь у тебя аргумент задан — это x, а какой будет аргумент если мы захотим посчитать среднее расстояние от фокуса? В зависимости от того, как мы будем разбивать эллипс, результат может получиться разный. Потому что в одном случае мы можем в апогее взять больше точек, в другом — перигее. Можно круг с центром в фокусе разбивать на одинаковое количество углов и брать точки пересечения лучей с эллипсом, можно сам эллипс разбивать на равные отрезки, а можно запустить по нему спутник и отмечать его положение через равные промежутки времени. В этом случае (как подсказывает мне интуиция) результат будет самым большим, так как в апогее он движется медленнее и следовательно там будет больше всего точек.
Советую вам все же ознакомится с матанализом хотя бы на самом базовом уровне. А именно на таком тут идет обсуждение. 1-й семестр 1-го курса.
В частности, что такое предел и почему он будет единственным. Твоя интуиция тут тебе врет. Независимо от того, как мы будем разбивать эллипс,
сумма будет стремиться к одному и тому же числу. Важным является только то, что диаметр разбиения уменьшается.
Q>Хорошо известно, что предел суммы бесконечной последовательности может сходиться к разным значениям если поменять местами члены.
Это только в случае неабсолютно сходящегося ряда. В случае, когда ряд содержит только положительные слагаемые, то если он сходится, то всегда к одному числу.
В нашем случае, слагаемыми ряда будут всегда положительные члены, так как расстояние у нас не могут быть отрицательными. Таким образом он всегда сходится только к одному числу.
Q>Это хорошо иллюстрируется на примере театра с бесконечно большим количеством мест. Однажды в театр пришло бесконечно много зрителей и оставили свои шляпы в гардеробе, а когда стали уходить, то n-й зритель брал шляпу с номером n+1, в результате все зрители ушли в шляпах, но одна шляпа осталась лишняя. В следующий раз каждый n-й зритель брал шляпу номер 2*n, в результате в гардеробе осталось бесконечно много шляп, хотя все зрители ушли в шляпах. Можно сделать наоборот — чтобы кому-то не хватило шляп или даже не хватило бесконечно большому числу зрителей. Q>Так что не стоит относиться к матанализу так поверхностно, это точная наука.
Этот ваш пример, никоим образом не относится к сумме рядов.
Просто интересно в каком классе вы учитесь? Или просто троллите тут ?
Здравствуйте, cures, Вы писали:
C>Могут и из другого, но коэффициенты при них (длина отрезков в фокальной мере) будет другая, либо другим будет расстояние до фокуса, смотря как вы сгруппируете; соответственно, другой будет и сумма. Впрочем, хватит голословной философии, про неё рядом отдельный топик висит,
Тут главное понять, что усредняется. Если разные величины, то результат будет разным, если одна и та же, то и результат будет одним и тем же.
C>В выкладках я вполне мог ошибиться, надеюсь, меня проверят, но в точности a там будет только в случае окружности.
Тут есть пост от baily, я понимаю, профессионального математика. Вот с ним пообщайся.
Этот ваш пример, никоим образом не относится к сумме рядов.