BFE>> (1) Если любой элемент множества X является элементом множества Y, то множество X называется подмножеством множества Y и обозначается это так: X ⊆ Y.
.>(2) Если для множеств X и Y имеем X ⊆ Y и Y ⊆ X, то будем считать множества X и Y равными и писать X = Y.
.>Таким образом, множество полностью определено своими элементами. В частности, существует только одно множество, не содержащие ни одного элемента. Такое множество будем называть пустым и обозначать символом Ø.
BFE>> Как это получилось? Откуда это следует? BFE>> Если множество полностью определено своими элементами и в множестве нет ни одного элемента, то значит ли это множество не определено? Раз мы не можем определить множество, то с чего мы взяли, что оно существует?
BFE>> Предположим, что существует пустое множество. Мы не можем указать ни одного элемента этого множества (по определению). Значит у нас нет способа сравнить два пустых множества и сказать, что они равны. Тогда почему утверждается, что существует (!?) только одно множество? BFE>> .>Потому что если мы возьмём в качестве X и Y пустые множества, то судя по определению (1) будет выполняться и X ⊆ Y и Y ⊆ X.
Нет, не будет. Более того. Нет такого элемента X, что X ⊆ Y. И нет такого элемента Y, что Y ⊆ X.
Другими словами, не существует такого элемента X, что X ⊆ Y и не существует такого элемента Y, что Y ⊆ X.
Разве это не очевидно? Просто по определению пустого множества. Пояснения ниже.
.>Вспомни, что из лжи следует всё что угодно, левая часть определения ложна (элементов же нет), то и вся импликация истинна.
Во-первых, определение лжи (и импликации) ещё не давалось (это вторая страница книги), поэтому совершенно не ясен вывод.
Во-вторых, нет доказательства самого существования пустого множества.
В третьих, проведём такое рассуждение:
1) предположим, что любой элемент множества X не является элементом множества Y, значит множество X не называется подмножеством множества Y.
2) предположим, что любой элемент множества Y не является элементом множества X, значит множество Y не называется подмножеством множества X.
Так как оба эти утверждения верны для двух пустых множеств (действительно, пустое множество не содержит никаких элементов, значит, в частности, оно не содержит элементов множества X для первого случая и не содержит элементов множества Y для второго случая), то получается что никакие два пустых множества не равны. Возможно вывод не верен. Буду рассуждать строже:
Предположим, что X и Y пустые множества. Тогда:
1) так как, согласно определению пустого множества, Y не содержит ни одного элемента, в том числе Y не содержит элементов множества X, следовательно любой элемент множества X не является элементом множества Y, значит множество X не называется подмножеством множества Y.
2) так как, согласно определению пустого множества, X не содержит ни одного элемента, в том числе X не содержит элементов множества Y, следовательно любой элемент множества Y не является элементом множества X, значит множество Y не называется подмножеством множества X.
следовательно для множеств X и Y мы не имеем X ⊆ Y и Y ⊆ X, следовательно мы не будем считать множества X и Y равными и не будем писать, что писать X = Y.
Получается, что предположение "X и Y пустые множества" — не верно. Следовательно так делать нельзя:
мы возьмём в качестве X и Y пустые множества
.>А т.к. X ⊆ Y и Y ⊆ X, то по определению (2) получается, что X = Y. Так что любые 2 пустые множества равны, что и значит что существует только одно множество.
.>Кстати, по сабжу могу порекомендовать Непейвода Н.Н. "Прикладная логика". http://ulm.uni.udm.ru/~nnn/prilog.pdf
спасибо.
Здравствуйте, B0FEE664, Вы писали:
BFE>Так как оба эти утверждения верны для двух пустых множеств (действительно, пустое множество не содержит никаких элементов, значит, в частности, оно не содержит элементов множества X для первого случая и не содержит элементов множества Y для второго случая), то получается что никакие два пустых множества не равны. Возможно вывод не верен. Буду рассуждать строже:
Утверждения так же верны и для непустых множеств. Например X={1, 2} и Y={3, 4}, они и вправду неравны. Так что вывод неверен.
BFE>... любой элемент множества X не является элементом множества Y, значит множество X не называется подмножеством множества Y.
Неверно. Не значит. Пусть X={}, Y={1}, однако, X ⊆ Y (по определению ⊆). Вообще говоря, пустое множество является подмножеством любого множества.
X не будет подмножеством Y, если существует элемент, такой что он принадлежит X, но не принадлежит Y.
BFE>следовательно для множеств X и Y мы не имеем X ⊆ Y и Y ⊆ X, следовательно мы не будем считать множества X и Y равными и не будем писать, что писать X = Y.
Из двух ложных посылок может следовать ложное утверждение.
.>>Кстати, по сабжу могу порекомендовать Непейвода Н.Н. "Прикладная логика". http://ulm.uni.udm.ru/~nnn/prilog.pdf BFE>спасибо.
Ты главное не останавливайся на первом шаге и читай дальше.
Разберись с языком логики — логические связки, кванторы, законы де Моргана, преобразования логических формул.
но это не зря, хотя, может быть, невзначай
гÅрмония мира не знает границ — сейчас мы будем пить чай
Здравствуйте, ., Вы писали:
BFE>> (1) Если любой элемент множества X является элементом множества Y, то множество X называется подмножеством множества Y и обозначается это так: X ⊆ Y.
BFE>>... любой элемент множества X не является элементом множества Y, значит множество X не называется подмножеством множества Y. .>Неверно. Не значит. Пусть X={}, Y={1}, однако, X ⊆ Y (по определению ⊆).
Чтобы это было так, необходимо указать элемент множества X, который принадлежит множеству Y. Вы можете указать мне такой элемент?
.>Вообще говоря, пустое множество является подмножеством любого множества.
Давайте сначала я разберусь существованием и единственностью пустого множества, а потом перейдём к выяснению подобных вопросов.
.>X не будет подмножеством Y, если существует элемент, такой что он принадлежит X, но не принадлежит Y.
Во-первых: это не совсем эквивалентно определению (1)
Во-вторых: не существует такого элемента, который принадлежит X, потому, что X не принадлежит ни одного элемента. А раз нет такого элемента, значит мы про этот элемент не можем сказать принадлежит он Y или нет, потому, что этот элемент не существует. Т.е. чтобы проверить данное высказывание относительно X={} и Y={1} нужно ответить на вопрос: принадлежит ли множеству Y некий произвольный несуществующий элемент? Ответить на этот вопрос мне не представляется возможным. Ответ не определён.
Мы не можем указать на элемент z из X, такой, что z принадлежит Y. Также,
мы не можем указать на элемент z из X, такой, что z не принадлежит Y.
Значит операция отношения между множествами X и Y не определена.
.>Ты главное не останавливайся на первом шаге и читай дальше.
Как я могу не останавливаться, если такой, видимо элементарной, вещи не понимаю?
Здравствуйте, B0FEE664, Вы писали:
BFE>>> (1) Если любой элемент множества X является элементом множества Y, то множество X называется подмножеством множества Y и обозначается это так: X ⊆ Y.
BFE>>>... любой элемент множества X не является элементом множества Y, значит множество X не называется подмножеством множества Y. .>>Неверно. Не значит. Пусть X={}, Y={1}, однако, X ⊆ Y (по определению ⊆). BFE>Чтобы это было так, необходимо указать элемент множества X, который принадлежит множеству Y. Вы можете указать мне такой элемент?
Нет, мы доказываем такое высказывание целиком: "Если эл-т a принадлежит X, то эл-т a принадлежит Y". Если оно истинно для всех эл-тов, то говорят, что X ⊆ Y.
Возьмём, например, X={1}, Y={1,2}. Проверим:
1. Пусть a=0, оно не принадлежит X, посылка ложна — высказывание истинно — всё ок.
2. Пусть a=1, посылка истина, заключение тоже — высказывание истинно — всё ок.
3. Пусть a=2, посылка ложна, заключение истинно — высказывание истинно — всё ок.
4. Пусть a=3, посылка ложна — высказывание истинно — всё ок.
и т.п. для всех a.
получилось что для всех a высказывание истинно, значит мы можем сказать, что {1} ⊆ {1,2}.
В качестве домашнего задания проделай то же самое для X={1,2}, Y={1,2}, потом для X={1,2}, Y={1}, потом для X={}, Y={1,2}, и потом для X={}, Y={}.
.>>X не будет подмножеством Y, если существует элемент, такой что он принадлежит X, но не принадлежит Y. BFE>Во-первых: это не совсем эквивалентно определению (1)
Да, эквивалентно так: X не будет подмножеством Y, ттт не все элементы, принадлежащие X, принадлежат Y.
Или так: X не будет подмножеством Y, ттт существует элемент, такой что он принадлежит X, но не принадлежит Y.
BFE>Во-вторых: не существует такого элемента, который принадлежит X, потому, что X не принадлежит ни одного элемента. А раз нет такого элемента, значит мы про этот элемент не можем сказать принадлежит он Y или нет, потому, что этот элемент не существует. Т.е. чтобы проверить данное высказывание относительно X={} и Y={1} нужно ответить на вопрос: принадлежит ли множеству Y некий произвольный несуществующий элемент? Ответить на этот вопрос мне не представляется возможным. Ответ не определён. BFE>Мы не можем указать на элемент z из X, такой, что z принадлежит Y. Также, BFE>мы не можем указать на элемент z из X, такой, что z не принадлежит Y. BFE>Значит операция отношения между множествами X и Y не определена.
Высказывание "для всех a выполняется P(a)" означает то, что выполняется сразу все P(a_1), P(a_2), P(a_n), где a_i это все возможные значения a. Это, грубо говоря, записывание потенциально бесконечного числа утверждений в виде одного, это называется квантор всеобщности.
Короче, изучи вначале формальный язык математики — эти всякие кванторы, логические связки, етс, оно гораздо проще. А вот теория множеств — вещь очень нетривиальная.
.>>Ты главное не останавливайся на первом шаге и читай дальше. BFE>Как я могу не останавливаться, если такой, видимо элементарной, вещи не понимаю?
Потом поймёшь.
но это не зря, хотя, может быть, невзначай
гÅрмония мира не знает границ — сейчас мы будем пить чай
Здравствуйте, ., Вы писали:
BFE>>>> (1) Если любой элемент множества X является элементом множества Y, то множество X называется подмножеством множества Y и обозначается это так: X ⊆ Y. .>Нет, мы доказываем такое высказывание целиком: "Если эл-т a принадлежит X, то эл-т a принадлежит Y". Если оно истинно для всех эл-тов, то говорят, что X ⊆ Y.
Нет. Это не эквивалентные формулировки. В определении (1) нет никаких элементов, кроме как элементов этих двух множеств X и Y (даже это не верно: можно рассматривать только элементы множества X). Значит когда мы говорим "для всех эл-тов" мы имеем ввиду только элементы этих двух множеств. Пояснение ниже.
.>Возьмём, например, X={1}, Y={1,2}. Проверим: .>1. Пусть a=0, оно не принадлежит X, посылка ложна — высказывание истинно — всё ок.
Во-первых, как и было указано, a=0 вообще не может быть нами взято, так как его нет в этих множествах.
Во-вторых, в данном случае мы ничего не можем сказать об истинности высказывания в целом. Для этого нет никаких оснований. Вернее я не вижу, как из ложности посылки следует истинность высказывания.
BFE>>Значит операция отношения между множествами X и Y не определена. .>Высказывание "для всех a выполняется P(a)" означает то, что выполняется сразу все P(a_1), P(a_2), P(a_n), где a_i это все возможные значения a.
Пусть так. Но, это очень странный подход. Надо подумать...
Ага, вот: так, как пустое множество не содержит элементов, то "все возможные значения a" превращаются в ничто. У нас нет ни одного a_i, для которого мы можем проверить P(a_i).
.>Это, грубо говоря, записывание потенциально бесконечного числа утверждений в виде одного, это называется квантор всеобщности.
потенциально бесконечное число утверждений здесь, видимо, будет только для потенциально бесконечного множества. так?
Здравствуйте, B0FEE664, Вы писали:
BFE>>>>> (1) Если любой элемент множества X является элементом множества Y, то множество X называется подмножеством множества Y и обозначается это так: X ⊆ Y. .>>Нет, мы доказываем такое высказывание целиком: "Если эл-т a принадлежит X, то эл-т a принадлежит Y". Если оно истинно для всех эл-тов, то говорят, что X ⊆ Y. BFE>Нет. Это не эквивалентные формулировки. В определении (1) нет никаких элементов, кроме как элементов этих двух множеств X и Y (даже это не верно: можно рассматривать только элементы множества X). Значит когда мы говорим "для всех эл-тов" мы имеем ввиду только элементы этих двух множеств. Пояснение ниже.
Если это формально переписать на язык математики, то получится что-то такое:
∀a (a ∈ X ⇒ a ∈ Y) ⇔ (X ⊆ Y).
И именно эта формальная запись является строгим определением, а не чьё-то понимание словесного определения, смысл которого зависит от оттенка смыслов каждого слова. Чтобы точно переводить словесные определения на язык математики необходимо разобраться во всех этих значках, этому посвящена часть 1 книги Непейводы.
Нужно тебе понять что такое импликация(⇒), посмотри таблицу истинности.
И в общем-то из этой формулы становится интуитивно понятно, что в качестве a достаточно брать только элементы принадлежащие X, но это не означает, что формула "ломается", если X — пусто (т.е. a ∈ X всегда ложно).
.>>Возьмём, например, X={1}, Y={1,2}. Проверим: .>>1. Пусть a=0, оно не принадлежит X, посылка ложна — высказывание истинно — всё ок. BFE>Во-первых, как и было указано, a=0 вообще не может быть нами взято, так как его нет в этих множествах.
Это неверно. Можно брать что угодно, хоть глоких куздр — логическое значение не меняется — магия!
BFE>Во-вторых, в данном случае мы ничего не можем сказать об истинности высказывания в целом. Для этого нет никаких оснований. Вернее я не вижу, как из ложности посылки следует истинность высказывания.
"Если 2+2=5, то я — Папа Римский" (с) Рассел.
И ещё более подробно: http://jurnal.org/articles/2008/ped1.html
BFE>>>Значит операция отношения между множествами X и Y не определена. .>>Высказывание "для всех a выполняется P(a)" означает то, что выполняется сразу все P(a_1), P(a_2), P(a_n), где a_i это все возможные значения a. BFE>Пусть так. Но, это очень странный подход. Надо подумать... BFE>Ага, вот: так, как пустое множество не содержит элементов, то "все возможные значения a" превращаются в ничто. У нас нет ни одного a_i, для которого мы можем проверить P(a_i).
Что значит тогда "проверить"? Если мы будем проверять P(a_i), только для нужных a_i (как выше только для эл-тов множества X), то все P(a_i) будут истинны. Получим тавтологию.
.>>Это, грубо говоря, записывание потенциально бесконечного числа утверждений в виде одного, это называется квантор всеобщности. BFE>потенциально бесконечное число утверждений здесь, видимо, будет только для потенциально бесконечного множества. так?
Есть такое понятие "универс" (универсальное множество).
но это не зря, хотя, может быть, невзначай
гÅрмония мира не знает границ — сейчас мы будем пить чай
Здравствуйте, ., Вы писали:
BFE>>>>>> (1) Если любой элемент множества X является элементом множества Y, то множество X называется подмножеством множества Y и обозначается это так: X ⊆ Y. .>∀a (a ∈ X ⇒ a ∈ Y) ⇔ (X ⊆ Y).
Вот если посмотреть на формальную запись и сравнить её с указанным предложением (1), то видно, что в записи ∀a есть неявное предположение о том, что из универсума мы можем выбрать некоторый элемент. Это утверждение мне не очевидно. Я не вижу способа выбрать случайный элемент из бесконечного множества. Впрочем, я могу указать на некие конкретные элементы из универсума и сказать, что для них это высказывание верно (если принимать определение импликации). Значит, видимо, чтобы перейти от конкретных элементов к всему множеству, нужно в какой-то момент применить аксиому индукции. Появление понятия бесконечности на таком раннем этапе меня огорчает (С некоторых пор я с большим подозрениям отношусь к бесконечности. Для меня это абсолютно неинтуитивное понятие. Если я не ошибаюсь, то существуют бесконечные несчётные множества. Применима ли для таких множеств аксиома индукции — мне не ведомо. В результате я не знаю, можно ли проверить простое высказывание ∀a (a ∈ X) для произвольного множества X) Но ещё больше огорчает, что утверждения подобного рода встречаются в книжках до введения формальных определений. Поэтому мне не представляется возможным отследить всю цепочку построения рассуждений, которая дальше излагается в книге. Я, конечно, прочту некоторые из приведённых книг, но не факт, что они мне помогут.
.>>>Возьмём, например, X={1}, Y={1,2}. Проверим: .>>>1. Пусть a=0, оно не принадлежит X, посылка ложна — высказывание истинно — всё ок. BFE>>Во-первых, как и было указано, a=0 вообще не может быть нами взято, так как его нет в этих множествах. .>Это неверно. Можно брать что угодно, хоть глоких куздр — логическое значение не меняется — магия!
То, что можно "брать что угодно", это некое неявно введённое в рассуждение правило.
BFE>>Во-вторых, в данном случае мы ничего не можем сказать об истинности высказывания в целом. Для этого нет никаких оснований. Вернее я не вижу, как из ложности посылки следует истинность высказывания. .>"Если 2+2=5, то я — Папа Римский" (с) Рассел. .>И ещё более подробно: http://jurnal.org/articles/2008/ped1.html
Спасибо за ссылку.
Здравствуйте, B0FEE664, Вы писали:
BFE>>>>>>> (1) Если любой элемент множества X является элементом множества Y, то множество X называется подмножеством множества Y и обозначается это так: X ⊆ Y. .>>∀a (a ∈ X ⇒ a ∈ Y) ⇔ (X ⊆ Y). BFE>Вот если посмотреть на формальную запись и сравнить её с указанным предложением (1), то видно, что в записи ∀a есть неявное предположение о том, что из универсума мы можем выбрать некоторый элемент. Это утверждение мне не очевидно. Я не вижу способа выбрать случайный элемент из бесконечного множества. Впрочем, я могу указать на некие конкретные элементы из универсума и сказать, что для них это высказывание верно (если принимать определение импликации). Значит, видимо, чтобы перейти от конкретных элементов к всему множеству, нужно в какой-то момент применить аксиому индукции. Появление понятия бесконечности на таком раннем этапе меня огорчает (С некоторых пор я с большим подозрениям отношусь к бесконечности. Для меня это абсолютно неинтуитивное понятие. Если я не ошибаюсь, то существуют бесконечные несчётные множества. Применима ли для таких множеств аксиома индукции — мне не ведомо. В результате я не знаю, можно ли проверить простое высказывание ∀a (a ∈ X) для произвольного множества X) Но ещё больше огорчает, что утверждения подобного рода встречаются в книжках до введения формальных определений. Поэтому мне не представляется возможным отследить всю цепочку построения рассуждений, которая дальше излагается в книге. Я, конечно, прочту некоторые из приведённых книг, но не факт, что они мне помогут.
На самом деле тут нет настоящей бесконечности. Просто это некий placeholder, дырка. Мы в качестве a можем взять что угодно, любой мыслимый объект.
Допустим мы задали множество явно: X={1, глокая куздра}, легко интуитивно понять что же можно брать в качестве a в формуле ∀a (a ∈ X). Понятно, что нам не требуется поштучно перебирать все возможные объекты, т.к. a ∈ X истинно только на двух — на числе 1 и на глокой куздре.
Примерно как имея простое уравнение x + 1 = 2 мы можем решить его используя правила арифметики (или интуицию), без явного поштучного перебора бесконечного количества значений x.
Но не стоит переупрощать, т.к. начинают появляться артефакты в виде странностей с пустым множеством.
Я уже говорил, что теория множеств очень сложная штука с кучей подводных камней, но обычно для начала достаточно изучить базовые понятия, закрывая глаза на некоторые несуразности. Когда возникнет понимание базового, можно приступать к сложным вещам — к парадоксам, бесконечностям и всяким аксиомам.
.>>Это неверно. Можно брать что угодно, хоть глоких куздр — логическое значение не меняется — магия! BFE>То, что можно "брать что угодно", это некое неявно введённое в рассуждение правило.
Нет, наоборот! Ограничение того — что брать можно, а что нельзя — должно быть введено явно (или хотя бы неявно). Например, ты для того множества X рассматриваешь выражение (a1 ∈ X & a2 ∈ X) и хочешь проверить это для a1=0, a2=1 — упс, ложно. Проверяешь для a1=1, a2=1 — оно истинно, проверяешь для a1=1 и a2="глокая куздрa" — тоже истинно, проверяешь для a1="бармаглот" — опять ложно. Собственно чем глокая куздра лучше бармаглота? Почему первое брать можно, а второе нельзя?
Ты утверждением "Я не вижу способа выбрать случайный элемент" неявно вводишь ограничение, что для формулы (1) должен существовать элемент удовлетворяющий "a ∈ X". Т.е. неявно вводишь требование ∃ a (a ∈ X), что прямо противоречит определению пустого множества, поэтому в качестве X пустое множество брать нельзя. И из этого ты делаешь вывод, что пустых множеств не существует. На самом деле это просто тавтология.
но это не зря, хотя, может быть, невзначай
гÅрмония мира не знает границ — сейчас мы будем пить чай
