C>Какая-то очень мутная фича. Решение крайне узкой задачи, которую можно решить другими методами.
C>Или я то-то упускаю?

Имхо, это очень простая фича. По-сути, это всего лишь возможность разбить код класса на несколько файлов в рамках одной сборки.
А прикладное применение из того, что вспомнилось:
1. Разделение объемного класса на несколько файлов для удобства восприятия и поддержки: по функциональности (My class.cs, MyClass.Feature1.cs, MyClass.Fearure2.cs), по платформе (My class.cs, MyClass.net4x.cs, MyClass.netcore.cs), по каким-то иным критериям. Причем, конкретные файлы могут включаться в проект по каким-то условиям.
2. Расширение функционала автоматически сгенерированных классов без необходимости наследования (e.g EFCore db first, кодогенераторы API-клиентов по swagger/avro/protobuf спекам)
3. Кодогенерация реализации partial методов, объявленных пользователем (см. например, Riok.Mapperly).