Здравствуйте, Sharov, Вы писали:

S>У меня сессия -- один HttpClient, много сессиий -- много HttpClient'ов. Не так? Если так, то посути HttpClient==socket.

Об этом и говорил. Класс так спроектирован, что подталкивает использовать не корректно. Ровно так и использовали пока не воткнулись как раз в это самое истощение которое указано в документации на класс.
Ответ на твой вопрос: не так? — Да, не так.
Один HttpClient поддерживает много одновременных Post/Send/Get-ов. Выше тут рекомендовали использовать фабрики, или через методы расширения конфигурировать и уже через DI его инжектить в конструктуры нужных классов потребителей.
В общем посмотри документацию, там прям пример есть GoodController — понятно реализован примитивно через статическое поле, но от этого уже можно накрутить любой синглтон который по душе придётся.