Спасибо, я так и сделал (уже разобрался)
Посмотрел в каком виде возвращает куки HttpWebResponse и сравнил с текстом файла куки
Оказывается все легко выдергивается из файла куки — первая строка в имя, вторая в значение, третья в домен

Меня сначала смутил его формат — с кучей цифр, а оказывается нужную информацию легко извлечь