У меня есть экранная клава, на ней много кнопок, каждая кнопка сделана по ControlTemplate. При жатии кнопок вызывается один и тот же обработчик. Можно ли как-то этот обработчик в ControlTemplate записать чтобы не копипастить в коде N-раз, где N — количество кнопок?

Для этого можно использовать RoutedEvents

Принимать событие на уровне вашего контрола а потом смотреть на OriginalSource.