Я хочу, чтобы добавив
A>новую строку, содержимое этой колонки я мог редактировать в этом же текстбоксе.

Ну вообще то если ты используя DataBinding дататейбл и текст бокс соединял, тогда должно и так всё работать. Если не работает попробуй заново забиндить сурс т.е.
textBox1.DataSource=null;
textBox1.DataSource=DataSet.Tables["my_tab"];