Решение найдено.
Нужно использовать не функцию OnMouseDown, а функцию OnMouseMove. Функция OnMouseDown почему-то не работает в пределах сетки DBGrid.
Итак:
DragMode:Manual

void __fastcall TForm1::DBGrid1DragOver(TObject *Sender, TObject *Source,
      int X, int Y, TDragState State, bool &Accept)
{
  Accept=true;
}

//--------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::DBGrid1MouseMove(TObject *Sender,
      TShiftState Shift, int X, int Y)
{
  if(Shift.Contains(ssLeft))//если нажата левая кнопка мыши
  {
      DBGrid1->BeginDrag(true,0);//включаем Drag&Drop
  }
}
//--------------------------------------------------------------

И всё работает
Тема закрыта