Здравствуйте, <Аноним>, Вы писали:

А>Может кто встречался с подобным явлением и знает, в какую сторону может копать? Может кто посоветует продвинутый (и, желательно, бесплатный) компонент для работы с иконками в системном трее, который сам решает подобные проблемы?

ShellNotifyIcon() — стандарт, вроде бы... Читай в хелпе.
Из бесплатного — RxLib. Правда, он теперь не развивается и вроде бы вошел как составная часть в JVCL. Можешь порыться и там.